1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及第一讲平面向量的概念及其线性运算其线性运算1知识梳理 双基自测2考点突破 互动探究3名师讲坛 素养提升知识梳理知识梳理 双基自测双基自测 知识点一向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(或称_)(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的，零向量记作_.(3)单位向量：长度等于_个单位的向量(4)平行向量：方向相同或_的_向量；平行向量又叫_向量规定：0与任一向量_.(5)相等向量：长度_且方向_的向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量大小方向长度模长度为0 任意
2、0 1 相反非零共线平行相等相同相等相反三角形 平行四边形 ba a(bc)相反向量 三角形 向量 相同 相反 (a)aa ab 知识点三共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使_.ba ABCD B 3(必修4P84T4改编)(2019太原模拟)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量ab等于()A4e12e2 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 解析由图可知a4e2，b(e1e2)，abe13e2，故选CCD A 考点突破考点突破 互动探究互动探究考点一向量的基本概念自主练透ACD 例 1D 引申若本例(1)中的实数，满足220，该结论是否
3、正确？D 例 2考点二向量的线性运算师生共研A 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义(2)求已知向量的和或差一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则(3)与三角形综合，求参数的值求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数(4)与平行四边形综合，研究向量的关系画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解A D 考点三共线向量定理及其应用师生共研例 3 引申本例(2)中，若kab与akb反向，则k_；若kab与akb同向，则k_.解析由本例可知kab与akb反向时
4、0，从而k1.1 1 平面向量共线的判定方法(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线B D 名师讲坛名师讲坛 素养提升素养提升易错警示都是零向量“惹的祸”例 4ABC 在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论在向量的运算中
5、，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误ABCD 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入第二讲平面向量的基本定理及第二讲平面向量的基本定理及坐标表示坐标表示1知识梳理 双基自测2考点突破 互动探究3名师讲坛 素养提升知识梳理知识梳理 双基自测双基自测 知识点一平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a_.知识点二平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与_的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：axiyj，_叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，显
6、然i_，j(0,1)，0_.不共线1e12e2 x轴，y轴正方向相同(x，y)(1,0)(0,0)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)x1y2x2y10 两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的平面向量的基底可以有无穷多组ACD 题组二走进教材 2(必修4P100T2改编)(2020北京十五中模拟)如果向量a(1,2)，b(4,3)，那么a2b()A(9,8)B(7，4)C(7,4)D(9，8)解析a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选BBB A 考点突破考点突破 互动探究互动探究考点一平面向量基本定理的应用师生共研例 16 3
7、应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等 易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便(4，2)例 2考点二平面向量坐标的基本运算自主练透 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组
8、)来进行求解，并注意方程思想的应用考点三向量共线的坐标表示及其应用多维探究B 例 3例 445 k|kR，且k1 名师讲坛名师讲坛 素养提升素养提升三点共线的充要条件例 5D 例 6A B C 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积第三讲平面向量的数量积1知识梳理 双基自测2考点突破 互动探究3名师讲坛 素养提升知识梳理知识梳理 双基自测双基自测AOB 0，|a|b|cos x1x2y1y2 x1x2y1y20 (2)平面向量数量积的运算律 abba(交换律)ab(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)BCD A C 1 A
9、C B 考点突破考点突破 互动探究互动探究考点一平面向量数量积的运算师生共研10 例 112 向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2)B C D 例 2考点二向量的模、夹角多维探究C 5 C 例 3B 分析利用夹角公式求解A 例 4A 例 5 平面向量垂直问题
10、的解题思路 解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件ab0求解B 8 名师讲坛名师讲坛 素养提升素养提升有关数量积的最值(范围)问题B 例 6 平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入第四讲平面向量的综合应用第四讲平面向量的综合应用1知识梳理 双
11、基自测2考点突破 互动探究3名师讲坛 素养提升知识梳理知识梳理 双基自测双基自测ab x1y2x2y10 ab0 x1x2y1y20 知识点二向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体 知识点三向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题ACD C A 6 1 考点突破考点突破 互动探究互动探究考点一向量与平面几何师生共研A 例 1 平面几何问题的向量解法(1
12、)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解B 考点二向量在解析几何中的应用师生共研A 例 2例 3考点三向量与其他知识的交汇师生共研 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界
13、性，求得值A 名师讲坛名师讲坛 素养提升素养提升三角形的四“心”及三角形形状的判定D 例 4B B A C 例 5垂心 重心 外心 D 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入第五讲数系的扩充与复数的引入第五讲数系的扩充与复数的引入1知识梳理 双基自测2考点突破 互动探究3名师讲坛 素养提升知识梳理知识梳理 双基自测双基自测abi|z|abi|实轴 虚轴 实数 纯虚数 (ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i (2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即 交换律：z1z2_；结合律：(z1z2)z3_.z2z1 z1(z2x3)ABCD
14、 B D D C 6(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1i C1iD1iD C 考点突破考点突破 互动探究互动探究(1)(2020山东滨州模考)若复数(1ai)22i是纯虚数，则实数a()A0 B1 C1 D1(2)(2020河南郑州一测)若复数z满足(34i)z25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A3i B3i C3 D3考点一复数的基本概念自主练透C例 1CB D 例 2考点二复数的运算多维探究A B4i 例 32 A 例 4C B A B B 考点三复数的几何意义师生共研C 例 5C D D 名师讲坛名师讲坛 素养提升素养提升与复数模有关问题的解法6 例 65
