1、 普通高中课程标准普通高中课程标准 必修二必修二 4.1.2圆的一般方程圆的一般方程 牟平一中牟平一中问题问题1:圆的标准方程是什么圆的标准方程是什么?问题问题2:在圆的标准方程在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中中,圆心坐标和半圆心坐标和半径分别为什么径分别为什么?问题问题3:方程方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形表示什么图形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形表示什么图形?结束结束下页下页上页上页问题引入教学目标教学目标:结束结束下页下页上页上页1.通过实例，掌握圆的一般方程及其特点；通过实例，掌握圆的一般方程及其特点；2.探究出将圆的一般方程化为圆的标准方
2、程，并能熟探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；练地指出圆心的位置和半径的大小；3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程；程；4.通过对方程通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力用配方法和待定系数法解决实际问题的能力问题问题1:把把x2+y
3、2+Dx+Ey+F=0配方后配方后,将得到怎样的方程将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆这个方程是不是表示圆?问题探究圆的一般方程问题探究圆的一般方程Frba,Eb2,Da2222 导引导引:把圆的标准方程把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开展开,是否是二元是否是二元二次方程的形式？二次方程的形式？整理得整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,由于由于a,b,r均为常数均为常数,得得x2+y2+Dx+Ey+F=0,即即任何一个圆方程可以写成任何一个圆方程可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0.反过来给出一个形如反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的
4、方程的方程,它表示它表示的曲线一定是圆吗的曲线一定是圆吗?结束结束下页下页上页上页圆的一般方程圆的一般方程:当当D2+E2-4F0时时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆表示一个圆,我们我们把把x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做叫做圆的一般方程圆的一般方程.结束结束下页下页上页上页问题问题2:观察圆的一般方程观察圆的一般方程,你能归纳出圆的一般方程的特你能归纳出圆的一般方程的特点吗点吗?x2和和y2的系数相同都等于的系数相同都等于1;答答（1）没有没有xy这样的二次项这样的二次项.结束结束下页下页上页上页(2)圆的一般方程中有三个特定的系数圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求
5、出这三个系数，圆的方程就确定了只要求出这三个系数，圆的方程就确定了 (3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。成果展示：圆的一般方程的应用成果展示：圆的一般方程的应用结束结束下页下页上页上页一、圆方程的判断一、圆方程的判断例例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是如果是,请求出圆的圆心及半径请求出圆的圆心及半径(1)4x2+4y2-4x+12y+9
6、=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.是是,(1)x2+y2-2x+4y-4=0;(2)x2+y2-12x+6y+50=0;不是不是.变式训练变式训练1:判断下列方程是否表示圆判断下列方程是否表示圆,若是若是,写出圆心与半径写出圆心与半径.(3)x2+y2+2ax=0.圆心圆心(1,-2)半径为半径为3.结束结束下页下页上页上页例例2.求过三点求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程的圆的方程,并求这个圆的半径长并求这个圆的半径长和圆心坐标和圆心坐标.设所求的圆的方程为设所求的圆的方程为解解:x2+y2+Dx+Ey+F=0.它们的坐标是方程的解它们的坐标是方程的
7、解.A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上在圆上,可以得到关于可以得到关于D,E,F的三元一次方程的三元一次方程组组:把它们的坐标代入上面的方程把它们的坐标代入上面的方程,即即 020FE2D402FED0F解此方程组解此方程组,得得 068FED所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.得圆心坐标为得圆心坐标为(4,-3).,32E,42D ,5F4ED21r22 结束结束下页下页上页上页二、求圆的方程1、根据题意，选择标准方程或一般方程；、根据题意，选择标准方程或一般方程；2、根据条件列出关于、根据条件列出关于a、b、r或或D、E、F的方程组；的方程组；3、解出、解出
8、a、b、r或或D、E、F，代入标准方程或一般方程。，代入标准方程或一般方程。使用待定系数法的一般步骤使用待定系数法的一般步骤 变式训练变式训练2:ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(-1,0),B(1,0),C(3，2),求它的外接圆方程求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标并求其半径和圆心坐标.结束结束下页下页上页上页例例3.已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.解解:设点设点M的坐标是的坐标是(x,y),点点A的坐标是的坐标是(x0,y0),由
9、于点由于点B的坐标是的坐标是(4,3)且且M是线段是线段AB的中点的中点,23yy24xx00 3y2y4x2x00即即 点点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,4y)1x(2020 把代入把代入,得得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理整理,得得.1)23y()23x(22 点点A的坐标满足方程的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,xyoBAM结束结束下页下页上页上页三、与圆有关的轨迹问题在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)(xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆C.求圆C的方程；拓展引申bxx 22本节课你收获了什么教学目标教学目标:结束结束下页下页上页上页
10、1.通过实例，掌握圆的一般方程及其特点；通过实例，掌握圆的一般方程及其特点；2.探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；练地指出圆心的位置和半径的大小；3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程；程；4.通过对方程通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力用配方法和待定系数法解决实际问题的能力
