1、2021/4/912009高教社杯全国大学生数学高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目建模竞赛题目B题题 眼科病床的合理安眼科病床的合理安排排2021/4/92v 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。受某种服务。v 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题
2、。建模问题。v 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年年7月月13日至日至2008年年9月月11日这段时间里各日这段时间里各类病人的情况。类病人的情况。2021/4/93v 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只天
3、。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。周一先做一只，周三再做另一只。v 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。排住院，住院后第二天便会安排手术。v 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于
4、急据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。2021/4/94v 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come,First serve）规则
5、安排住院，但等待住）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题，以提高对医院资源的有效利用。2021/4/95v问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。评价该问题的病床安排模型的优劣。v问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人病床安排模型，以根据已知的
6、第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。v问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。住时间区间。2021/4/96v问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排
7、是否你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整应作出相应调整?v问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2021/4/97v【附录】【附录】2008-07-13到到2008-09-11的病人信息的病人信息202
8、1/4/982021/4/992021/4/9102021/4/9112021/4/9122021/4/9132021/4/9142021/4/9152021/4/9162021/4/9172021/4/9182021/4/9192021/4/9202021/4/9212021/4/9222021/4/9232021/4/9242021/4/9252021/4/9262021/4/9272021/4/9282021/4/9292021/4/9302021/4/9312021/4/9322021/4/9332021/4/9342021/4/9352021/4/9362021/4/9372021/
9、4/9382021/4/9392021/4/9402021/4/9412021/4/9422021/4/9432021/4/944眼科病床安排的优化模型眼科病床安排的优化模型 v摘要摘要：本文针对眼科病床的合理安排问题，分：本文针对眼科病床的合理安排问题，分析了影响医疗效率高低以及病人等待入院排队析了影响医疗效率高低以及病人等待入院排队队长的主要因素，并根据这些因素对医疗效率队长的主要因素，并根据这些因素对医疗效率影响程度的分析，得出单位时间接收病人数是影响程度的分析，得出单位时间接收病人数是评价病床安排模型优劣的最重要指标。单位时评价病床安排模型优劣的最重要指标。单位时间接收病人数增加了，相
10、应的队列长便会变短。间接收病人数增加了，相应的队列长便会变短。首先我们建立了科学的评价指标体系，建立了首先我们建立了科学的评价指标体系，建立了基于人均治疗时间最短为目标的优化模型。然基于人均治疗时间最短为目标的优化模型。然后利用我们建立的评价指标体系，对我们建立后利用我们建立的评价指标体系，对我们建立的模型与医院采用的的模型与医院采用的FCFS规则进行了比较，得规则进行了比较，得出我们建立的模型远远优于出我们建立的模型远远优于FCFS规则规则。2021/4/945v问题（问题（1）.我们以单位时间接收病人数、人均治我们以单位时间接收病人数、人均治疗时间、人均逗留时间、系统最大逗留时间为评疗时间
11、、人均逗留时间、系统最大逗留时间为评价指标体系。单位时间接收病人数是评价病床安价指标体系。单位时间接收病人数是评价病床安排模型优劣的最重要指标。单位时间接收病人数排模型优劣的最重要指标。单位时间接收病人数增加了，相应的队列长便会变短，从而提高医疗增加了，相应的队列长便会变短，从而提高医疗效率。而人均治疗时间、人均逗留时间、系统最效率。而人均治疗时间、人均逗留时间、系统最大逗留时间直接反应医疗系统的医疗质量。大逗留时间直接反应医疗系统的医疗质量。2021/4/946v问题（问题（2）.病人治疗时间是影响其在医院逗留时病人治疗时间是影响其在医院逗留时间长短的主要因素，在对各种病人治疗时间的分间长短
12、的主要因素，在对各种病人治疗时间的分析的基础上，我们建立了带有优先权重的以人均析的基础上，我们建立了带有优先权重的以人均治疗时间最短为目标的优化模型。在模型求解过治疗时间最短为目标的优化模型。在模型求解过程中，我们采用了一种基于治疗时间最短的启发程中，我们采用了一种基于治疗时间最短的启发式算法，大大降低了计算的复杂性，便于计算机式算法，大大降低了计算的复杂性，便于计算机实现。最终得出，经过我们的模型安排床位，可实现。最终得出，经过我们的模型安排床位，可使单位时间治疗人数由原先的使单位时间治疗人数由原先的6.07人提高到人提高到6.92人，大大提高了治疗效率。人，大大提高了治疗效率。2021/4
13、/947v问题（问题（3）.利用利用100次计算机模拟仿真结果，我次计算机模拟仿真结果，我们根据住院病人及等待住院病人的统计情况，对们根据住院病人及等待住院病人的统计情况，对各种病人入院时间区间给出了预测，得到单眼白各种病人入院时间区间给出了预测，得到单眼白内障、双眼白内障、青光眼、视网膜疾病病人等内障、双眼白内障、青光眼、视网膜疾病病人等待入院时间的随机区间，从而得出病人大致入住待入院时间的随机区间，从而得出病人大致入住时间区间，可信程度均达到了时间区间，可信程度均达到了80%以上。以上。v问题（问题（4）.在住院部周六、周日不安排手术的情在住院部周六、周日不安排手术的情况下，我们利用问题（
14、况下，我们利用问题（2）中建立的模型，给出）中建立的模型，给出了该情况下安排住院床位的方案，结合问题（了该情况下安排住院床位的方案，结合问题（1）我们建立的评价体系，得出结论：此情况下医院我们建立的评价体系，得出结论：此情况下医院的周一、周三进行白内障手术时间无需作出相应的周一、周三进行白内障手术时间无需作出相应调整。调整。2021/4/948v问题（问题（5）.在问题（在问题（2）建立的模型基础上，结）建立的模型基础上，结合各类病床平均使用时间尽可能接近原则，分两合各类病床平均使用时间尽可能接近原则，分两步建立了使得所有病人在系统内的平均逗留时间步建立了使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短
15、的病床比例分配模型。在模型求解中，首先最短的病床比例分配模型。在模型求解中，首先采用基于治疗时间最短的启发式算法计算出各种采用基于治疗时间最短的启发式算法计算出各种病人数、病人平均等待时间随床位数的变化率，病人数、病人平均等待时间随床位数的变化率，然后确定出最终床位分配方式为：分配给外伤、然后确定出最终床位分配方式为：分配给外伤、单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病的病床数分别为的病床数分别为4、13、20、11、31。v关键词：关键词：人均治疗时间人均治疗时间 优化模型优化模型 启发式算法启发式算法 模模拟仿真拟仿真 2021/4/949一、一
16、、问题的重述问题的重述 v医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，当前一医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，当前一般医院的住院部对全体非急症病人是按照般医院的住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come,First serve）规则安排住院，但）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。造成该现象的原等待住院病人队列却越来越长。造成该现象的原因主要是由于以下两方面：因主要是由于以下两方面：v（1）需要住院的病人数远远超出医院的接收病需要住院的病人数远远超出医院的接收病人能力。人能力。v（2）医院安排住院规则的不合理，导致医院安排住院规则的不合理，导致v病人等候入院的时间以及在医院救
17、治占用病床的病人等候入院的时间以及在医院救治占用病床的时间大大增加，引起医疗资源的浪费。时间大大增加，引起医疗资源的浪费。2021/4/950v影响一个医疗系统医疗效率的高低以及病人等待影响一个医疗系统医疗效率的高低以及病人等待入院排队队长的主要因素是病人等待时间和病人入院排队队长的主要因素是病人等待时间和病人治疗时间。病人等待时间是指从病人报门诊直至治疗时间。病人等待时间是指从病人报门诊直至入院的时间差，治疗时间是指病人在医院等待手入院的时间差，治疗时间是指病人在医院等待手术的时间加上术后恢复时间。因此，我们希望通术的时间加上术后恢复时间。因此，我们希望通过数学建模方法对这几个因素进行优化，
18、提高医过数学建模方法对这几个因素进行优化，提高医院病床使用率，最终缩短病人等待入院治疗的排院病床使用率，最终缩短病人等待入院治疗的排队队长。队队长。v现有一所眼科医院，该医院眼科门诊每天开放，现有一所眼科医院，该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。2021/4/951v白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需时间只
19、需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。周三再做另一只。v外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。院，住院后第二天便会安排手术。v其他眼科疾病大致住院以后其他眼科疾病大致住院以后2-3天内就可以接受天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，术一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。建模时这些眼科疾病可不考虑急症。2021/4/952v考虑病床
20、安排时可不考虑手术条件的限制，但考考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。做。v我们希望通过数学建模来解决该住院部的病床合我们希望通过数学建模来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。具理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。具体要研究的问题如下：体要研究的问题如下：v（1）分析确定合理的评价指标体系，用以评价）分析确定合理的评价指标体系，用以评价病床安排模型的优劣；病床安排模型的优劣；v（2）根据该住
21、院部当前的情况，建立合理的病）根据该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院，并利用第来确定第二天应该安排哪些病人住院，并利用第(1)问中确定的评价指标体系对其作出评价；问中确定的评价指标体系对其作出评价；2021/4/953v（3）为了使病人尽早知道自己大约何时能住院，）为了使病人尽早知道自己大约何时能住院，尝试根据当时住院病人及等待住院病人的统计情尝试根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间；况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间；v（4）若该住
22、院部周六、周日不安排手术，重新）若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，并考虑医院的手术时间安排是否应回答问题二，并考虑医院的手术时间安排是否应作出相应调整；作出相应调整；v（5）在一般情形下，从便于管理的角度出发医）在一般情形下，从便于管理的角度出发医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，根据此方案，建立使得所有病人致固定的方案，根据此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。间）最短的病床比例分配模型。2021/4/954二、二、模
23、型的假设与符号的说明模型的假设与符号的说明 v2.1 模型的假设模型的假设 v（1）当有外伤病人出现时，始终优先考虑安排）当有外伤病人出现时，始终优先考虑安排外伤病人入院；外伤病人入院；v（2）白内障手术病人术前准备时间为）白内障手术病人术前准备时间为1至至2天，天，其他疾病病人术前准备时间为其他疾病病人术前准备时间为2至至3天；天；v（3）每周一、三只做白内障手术，双眼白内障）每周一、三只做白内障手术，双眼白内障病人的手术安排是周一先做一只，周三再做另一病人的手术安排是周一先做一只，周三再做另一只；只；v（4）除外伤疾病外的其他眼科疾病不考虑其急）除外伤疾病外的其他眼科疾病不考虑其急诊情况；
24、诊情况；2021/4/955v（5）不考虑医生工作时间长度的限制，即认为）不考虑医生工作时间长度的限制，即认为医生资源无限，同时其他手术条件充分；医生资源无限，同时其他手术条件充分；v（6）所有数据中提供的门诊登记在册病人最终）所有数据中提供的门诊登记在册病人最终均会在该家医院住院，不会因为任何因素而放弃均会在该家医院住院，不会因为任何因素而放弃选择该家医院进行住院治疗。选择该家医院进行住院治疗。v2.2 符号的说明符号的说明 v 病人病人i的逗留时间，指病人的逗留时间，指病人i从接受门诊开始从接受门诊开始到出院的时间间隔；到出院的时间间隔；v 人均逗留时间，指在一时间段内，所有病人均逗留时间
25、，指在一时间段内，所有病人的逗留时间之和与该时间段内病人总人数之比；人的逗留时间之和与该时间段内病人总人数之比；2021/4/956vTi：病人病人i的治疗时间，指病人的治疗时间，指病人i从住院开始到出从住院开始到出院的时间间隔，具体包括从住院后到开始手术的院的时间间隔，具体包括从住院后到开始手术的术前准备时间以及手术后的恢复时间；术前准备时间以及手术后的恢复时间；v i类病人在星期类病人在星期 j的术前准备时间，即指该病的术前准备时间，即指该病人从住院日期星期人从住院日期星期 j到手术日期的时间差；到手术日期的时间差；v 在星期在星期 j住院后住院后i类病人的手术后恢复时间，类病人的手术后恢
26、复时间，即指该类病人从手术日期到出院日期的时间差，即指该类病人从手术日期到出院日期的时间差，其是由计算机经过多次随机生成的数据；其是由计算机经过多次随机生成的数据；2021/4/957v 人均治疗时间，指在一段时间间隔内，所有人均治疗时间，指在一段时间间隔内，所有病人的治疗时间与该时间段内病人总数之比；病人的治疗时间与该时间段内病人总数之比；vA：单位时间接收病人数，指在一段时间间隔内，：单位时间接收病人数，指在一段时间间隔内，总共住院的病人数与该段时间长度之比。总共住院的病人数与该段时间长度之比。2021/4/958三、三、模型的建立与求解模型的建立与求解 v3.1 对问题（对问题（1）的研
27、究）的研究评价体系评价体系的建立的建立 v当前该住院部对全体非急症病人是按照当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come,First serve）规则安排住院，但）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。考虑医院当前的等待住院病人队列却越来越长。考虑医院当前的实际数据情况，在建立评价指标体系时我们遵循实际数据情况，在建立评价指标体系时我们遵循系统性、一致性、独立性、可测性、科学性、可系统性、一致性、独立性、可测性、科学性、可比性等原则比性等原则1，最终确立以下四个指标为模型，最终确立以下四个指标为模型的评价指标，建立模型的评价体系。的评价指标，建立模型的评价体系。202
28、1/4/959v1、单位时间接收病人数。单位时间接收病人数、单位时间接收病人数。单位时间接收病人数A是指从开始到是指从开始到t时刻为止的一段时间间隔内接收时刻为止的一段时间间隔内接收入院的病人数。根据题目所提供的信息，我们了入院的病人数。根据题目所提供的信息，我们了解到目前医院面临的危机是等待住院病人队列越解到目前医院面临的危机是等待住院病人队列越来越长，因此，本文认为单位时间接收病人数是来越长，因此，本文认为单位时间接收病人数是评价病床安排模型优劣的最重要指标。单位时间评价病床安排模型优劣的最重要指标。单位时间接收病人数增加了，相应的队列长便会变短。这接收病人数增加了，相应的队列长便会变短。
29、这不仅可以为医院带来经济效益，还可以为病人带不仅可以为医院带来经济效益，还可以为病人带来方便。单位时间接收病人数值越大，说明模型来方便。单位时间接收病人数值越大，说明模型越好。越好。2021/4/9602021/4/961v3、人均逗留时间。逗留时间、人均逗留时间。逗留时间Hi是指病人是指病人i从门诊从门诊开始直至出院的时间间隔，人均逗留时间开始直至出院的时间间隔，人均逗留时间 是是指在一段时间间隔内各病人逗留时间指在一段时间间隔内各病人逗留时间Hi之和与病之和与病v人人数人人数n之比值，即之比值，即 。从病人的角度从病人的角度v来考虑，病人希望自己报诊后能尽快得到医治，来考虑，病人希望自己报
30、诊后能尽快得到医治，医院作为服务机构，应该尽量为病人的切身利益医院作为服务机构，应该尽量为病人的切身利益考虑，因此考虑，因此,人均逗留时间也是一个具有说服力人均逗留时间也是一个具有说服力的指标。人均逗留时间数值越小，说明模型越好的指标。人均逗留时间数值越小，说明模型越好2。2021/4/962v4、系统最大逗留时间。所有病人中逗留时间的、系统最大逗留时间。所有病人中逗留时间的最大值，即最大值，即 ，反映了病人对医院服务的，反映了病人对医院服务的满意程度，其值越大，病人的满意程度越低，反满意程度，其值越大，病人的满意程度越低，反之，病人的满意程度就越高，说明模型越好。之，病人的满意程度就越高，说
31、明模型越好。v3.2 对问题（对问题（2）的研究）的研究 v3.2.1模型的建立模型的建立 v病人按需手术的疾病种类分为四类，即白内障、病人按需手术的疾病种类分为四类，即白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。以手术要求，再将视网膜疾病、青光眼和外伤。以手术要求，再将白内障病人分为两类：双眼白内障与单眼白内障。白内障病人分为两类：双眼白内障与单眼白内障。故可将所有病人分为五类，即双眼白内障、单眼故可将所有病人分为五类，即双眼白内障、单眼白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。当前该白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。当前该2021/4/963v住院部对全体非急症病人是按照住院部对全体非急症病人是按照FCFS
32、（First come,First serve）规则安排住院，但等待住）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。我们通过以下模型建院病人队列却越来越长。我们通过以下模型建立合理的病床安排模型。立合理的病床安排模型。v（1）目标函数的确定。设每一天为一个阶段，）目标函数的确定。设每一天为一个阶段，第第i天的安排计划为第天的安排计划为第i天的床位安排情况，同时天的床位安排情况，同时设第设第i天的拟出院人数为天的拟出院人数为 ，即第天的空闲床，即第天的空闲床位为位为 ；在第天等待病床安排的外伤病人数；在第天等待病床安排的外伤病人数为为 ，双眼白内障病人数为，双眼白内障病人数为 ，单眼白内，单眼白
33、内障病人数为障病人数为 ，视网膜疾病病人数为，视网膜疾病病人数为 ，青光眼病人数为青光眼病人数为 。2021/4/9642021/4/9652021/4/9662021/4/9672021/4/9682021/4/9692021/4/9702021/4/9712021/4/9722021/4/973v3.2.2 模型的求解模型的求解v 2021/4/974v给出算法的一些计算：给出算法的一些计算：2021/4/9752021/4/9762021/4/9772021/4/9782021/4/979v利用以上算法利用利用以上算法利用C语言编程进行计算机仿真语言编程进行计算机仿真100次，得到如下结
34、果如表次，得到如下结果如表3所示：所示：v 2021/4/980v从以上数据，求得平均可治疗的人数为从以上数据，求得平均可治疗的人数为85.87，最大误差为最大误差为4.8%，得到可治疗人数落在随机区，得到可治疗人数落在随机区间间84，88内的概率为内的概率为82%。4 v这这100组模拟结果之一的部分结果由表组模拟结果之一的部分结果由表4给出给出（详细结果及计算机程序见附录一），其即是根（详细结果及计算机程序见附录一），其即是根据已知的第二天拟出院病人数确定了第二天应该据已知的第二天拟出院病人数确定了第二天应该安排住院的病人类型。安排住院的病人类型。2021/4/9812021/4/982v
35、3.2.3 用指标体系对模型进行评价用指标体系对模型进行评价 v利用问题一我们建立的评价体系，对利用原来利用问题一我们建立的评价体系，对利用原来FCFS模型和我们的模型所得到的安排病床的结模型和我们的模型所得到的安排病床的结果进行综合比较，判断原来果进行综合比较，判断原来FCFS模型和我们的模型和我们的模型优劣。模型优劣。v（1）单位时间救治病人数指标。如果单纯按照）单位时间救治病人数指标。如果单纯按照原来的原来的FCFS原则，在原则，在2008/8/29-2008/9/11时间时间段内，第一个出院病人的出院时间为段内，第一个出院病人的出院时间为2008/9/12，故在该时间段内无新的空床位增
36、加，即在该时间故在该时间段内无新的空床位增加，即在该时间段共计段共计13天内，总的救治病人数为天内，总的救治病人数为79人，故人；人，故人；而利用我们的模型在而利用我们的模型在2008/8/29-2008/9/11时间时间段内，治疗病人数达到了段内，治疗病人数达到了79+11=90人，增加的人，增加的11人见表人见表5，单位时间救治病人，单位时间救治病人 数；数；2021/4/9832021/4/9842021/4/985v3.3 对问题（3）的研究 v作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。我们可以根据当时住院病人及等待住院病人院。我们可以根据
37、当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。在问题（间区间。在问题（2）中，我们利用）中，我们利用100组随机组随机数据按照我们的排队规则已经得到了数据按照我们的排队规则已经得到了100组安排组安排入院顺序的结果，根据对这入院顺序的结果，根据对这100组安排入院顺序组安排入院顺序结果的统计分析。我们得到了下面的结果。结果的统计分析。我们得到了下面的结果。v我们在我们在8月月15日至日至9月月11日前来就诊的病人，任日前来就诊的病人，任意选取一个单眼白内障病人（例如编号为意选取一个单眼白内障病人（例如编号为65号），号），
38、结合当时住院病人及等待住院病人数利用结合当时住院病人及等待住院病人数利用100组组安排入院顺序结果，得到等待住院治疗天数出现安排入院顺序结果，得到等待住院治疗天数出现的次数如下表的次数如下表6并作出它的条形图并作出它的条形图3：2021/4/9862021/4/987v我们得到单眼白内障等待天数落到随机区间我们得到单眼白内障等待天数落到随机区间2，4内的概率为内的概率为87%，由此我们可以预测任何一个，由此我们可以预测任何一个单眼白内障病人在门诊后单眼白内障病人在门诊后2到到4天内即可入院。预天内即可入院。预测的成功率测的成功率87%。v用同样的方法，得到双眼白内障、青光眼、视网用同样的方法，
39、得到双眼白内障、青光眼、视网膜疾病等待入院天数出现的次数分别如下表膜疾病等待入院天数出现的次数分别如下表7、表表8、表、表8，并分别作出它们的条形图，并分别作出它们的条形图4、图、图5、图图6。2021/4/9882021/4/989v表表8 青光眼等待天数的计算机仿真结果青光眼等待天数的计算机仿真结果2021/4/9902021/4/991v我们得到双眼白内障病人等待天数落到随机区间我们得到双眼白内障病人等待天数落到随机区间9，14内的概率为内的概率为84%，由此我们可以预测任，由此我们可以预测任何一个双眼白内障病人在门诊后何一个双眼白内障病人在门诊后9到到14天内即可天内即可入院，预测的成
40、功率入院，预测的成功率84%；青光眼病人等待天数；青光眼病人等待天数落到随机区间落到随机区间10，14内的概率为内的概率为81%，由此我，由此我们可以预测任何一个青光眼病人在门诊后们可以预测任何一个青光眼病人在门诊后10到到14天内即可入院，预测的成功率天内即可入院，预测的成功率81%；视网膜疾；视网膜疾病病人等待天数落到随机区间病病人等待天数落到随机区间12，17内的概率内的概率为为80%，由此我们可以预测任何一个视网膜疾病，由此我们可以预测任何一个视网膜疾病病人在门诊后病人在门诊后12到到17天内即可入院，预测的成天内即可入院，预测的成功率功率80%。2021/4/992v3.4 对问题（
41、对问题（4）的研究）的研究 v3.4.1 对问题（对问题（4）的解答）的解答 v当周六、周日不安排手术时，根据问题（当周六、周日不安排手术时，根据问题（2）建）建立的模型与采用的算法，可以得到病床安排方案，立的模型与采用的算法，可以得到病床安排方案，最终结果见附录二。最终结果见附录二。v通过对问题（通过对问题（2）和问题（）和问题（4）解答结果的分析，）解答结果的分析，可得表可得表10。2021/4/993v由以上我们可以看出四项指标均没有明显变化，由以上我们可以看出四项指标均没有明显变化，即周六、周日不安排手术对原来的安排方案不会即周六、周日不安排手术对原来的安排方案不会产生较大影响。因此，
42、医院的周一、周三进行白产生较大影响。因此，医院的周一、周三进行白内障手术时间无需作出相应调整。内障手术时间无需作出相应调整。2021/4/994v3.4.2 医院手术安排的进一步优化医院手术安排的进一步优化 v为了提高医院的效益，做白内障手术的时间有以为了提高医院的效益，做白内障手术的时间有以下几种调整方式：（下几种调整方式：（1）周一和周三，（）周一和周三，（2）周一）周一和周四，（和周四，（3）周一和周五，（）周一和周五，（4）周二和周四，）周二和周四，（5）周二和周五，（）周二和周五，（6）周三和周五。）周三和周五。v通过对所给数据统计分析，从通过对所给数据统计分析，从7月月13日到日到
43、9月月11日共有日共有530名病人到医院就诊，其中单眼白内障名病人到医院就诊，其中单眼白内障病人病人100名，双眼白内障病人名，双眼白内障病人133名，青光眼病名，青光眼病人人63名，视网膜疾病病人名，视网膜疾病病人170名，外伤病人名，外伤病人64名，名，各类病人从星期一到星期日到达门诊的频率各类病人从星期一到星期日到达门诊的频率为为 ，如表，如表11所示：所示：2021/4/9952021/4/9962021/4/997v根据表根据表11和表和表12我们可以得到所有病人的手术我们可以得到所有病人的手术等待时间数学期望值等待时间数学期望值。用同样方法，。用同样方法，我们得到将白内障手术安排在
44、周一和周四，周一我们得到将白内障手术安排在周一和周四，周一和周五，周二和周四，周二和周五，周三和周五和周五，周二和周四，周二和周五，周三和周五的等待时间期望值分别为：的等待时间期望值分别为：v ，比较各数据可得，比较各数据可得，数值最小，即选数值最小，即选取周二和周四进行白内障手术，可以在不增加其取周二和周四进行白内障手术，可以在不增加其他医疗资源的情况下，使手术等待时间最少。从他医疗资源的情况下，使手术等待时间最少。从而提高单位时间救治病人数、缩短人均救治时间，而提高单位时间救治病人数、缩短人均救治时间，提高医疗效率。鉴于以上原因，我们建议医院周提高医疗效率。鉴于以上原因，我们建议医院周二和
45、周四进行白内障手术。二和周四进行白内障手术。5 2021/4/998v3.5 对问题问题（对问题问题（5）的研究）的研究 v3.5.1 模型的建立模型的建立 步骤一：建立有病床分配比例限制的病床安排模步骤一：建立有病床分配比例限制的病床安排模型。型。2021/4/9992021/4/9100v步骤二：建立使平均逗留时间最短的病床比例分步骤二：建立使平均逗留时间最短的病床比例分配模型。配模型。2021/4/91012021/4/9102v3.5.2 模型的求解模型的求解 v我们利用计算机仿真，求得应分配给外伤、单眼我们利用计算机仿真，求得应分配给外伤、单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病的
46、病白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病的病床数分别为床数分别为4、13、20、11、31。v此外，我们也统计分析了题中所给的数据，得到此外，我们也统计分析了题中所给的数据，得到如表如表13所示的床位分配情况：所示的床位分配情况：2021/4/9103v比较上述两种结果，差别不大，同时考虑到双眼比较上述两种结果，差别不大，同时考虑到双眼白内障病人大约占到白内障病人总数的白内障病人大约占到白内障病人总数的60%，当，当其床位数是其床位数是20时，双眼白内障的病床比例为时，双眼白内障的病床比例为60.6%，当其床位数是，当其床位数是21时，双眼白内障的病床时，双眼白内障的病床比例为比例为61.76
47、%，所以两组结果都合理且计算机，所以两组结果都合理且计算机仿真求得的结果相对较优。仿真求得的结果相对较优。2021/4/9104四、四、模型的评价模型的评价 v4.1 模型的优点模型的优点 v（1）本模型分别从单位时间救治病人数、人均本模型分别从单位时间救治病人数、人均救治时间、人均逗留时间、系统最大逗留时间作救治时间、人均逗留时间、系统最大逗留时间作为评价模型指标，抓住了影响排队系统效益的主为评价模型指标，抓住了影响排队系统效益的主要因素，可信度较高；要因素，可信度较高；v（2）模型具有一般性，具有较强的应用指导意模型具有一般性，具有较强的应用指导意义，在一定条件下也适用于其他相似资源的优化
48、义，在一定条件下也适用于其他相似资源的优化配置问题；配置问题；v（3）模型求解算法设计充分利用了治疗时间极模型求解算法设计充分利用了治疗时间极小优先原则，大大降低了计算的复杂性，并且能小优先原则，大大降低了计算的复杂性，并且能借助计算机实现计算；借助计算机实现计算；2021/4/9105v4.2 模型的不足之处模型的不足之处 v（1）病人手术后恢复时间是随机生成的，具有病人手术后恢复时间是随机生成的，具有偶尔性，会产生一定的随机误差。偶尔性，会产生一定的随机误差。v（2）由于时间关系，计算机模拟次数偏少。由于时间关系，计算机模拟次数偏少。2021/4/9106五、五、参考文献参考文献 v1 韩
49、中庚韩中庚,数学建模竞赛方法及其应用数学建模竞赛方法及其应用,北京北京:高等教育高等教育出版社出版社,2005;v2 徐光辉徐光辉,随机服务系统随机服务系统,北京北京:科学出版社科学出版社,1980；v3 姜启源姜启源 谢金星谢金星 叶俊叶俊,数学模型（第三版）数学模型（第三版）,北京北京:高高等教育出版社等教育出版社,2003;v4 罗鹏飞罗鹏飞 张文明张文明,随机信号分析与处理随机信号分析与处理,北京北京:清华大学清华大学出版社出版社,2006;v5 G.Vassilacopoulos,A simulation model for bed allocation to hospital in
50、patient departments,SIMULATION,Vol.45,No.5,233-241(1985);v6 B.Lehaney and V.Hlupic,Simulation modelling for resource allocation and planning in the health sector,Perspectives in Public Health,115(6):382-385,December 1,1995.2021/4/91072021/4/91082021/4/91092021/4/91102021/4/91112021/4/91122021/4/9113
