1、1 代数结构 Algebra Structures 2 1.1. 运算及其性质运算及其性质 2.2. 代数系统代数系统 3.3. 群与子群群与子群 4.4. 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群 5.5. 环与域环与域 6.6. 格与布尔代数格与布尔代数 内容提要内容提要 1 1、运算及其性质、运算及其性质 概念概念： 运算，封闭的运算，封闭的, ,可交换的可交换的, ,可结合的可结合的, ,可分配的可分配的, ,吸收律吸收律, , 幂等的，幺元幂等的，幺元, ,零元零元, ,逆元逆元, ,消去律消去律 4 运算运算 对于对于集合集合 A A，f f 是是从从A An n到到 A A 的的函数函数
2、，称称 f f 为为集合集合A A上上 的一个的一个n n元运算元运算。 注：函数注：函数f: f: A An nB B, , 若若B B A A，称，称函数函数f f在集合在集合A A上是上是封闭的封闭的。 5 运算实例：运算实例： (1) 加法和乘法是加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是上的二元运算，但减法和除法不是 (2) 加法、减法和乘法都是加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是上的二元运算，而除法不是 (3) 乘法和除法都是乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不上的二元运算，而加法和减法不 是是 (4) 设设Mn(R)表示所有表示所有n 阶阶(n2)实矩阵的集
3、合，即实矩阵的集合，即 则矩阵加法和乘法都是则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算上的二元运算. (5) S为任意集合，则为任意集合，则、 为为P(S)上二元运算上二元运算. njiRa aaa aaa aaa RM ij nnnn n n n ,.,2 , 1,)( 21 22221 11211 6 2. 运算表运算表：表示有穷集上的一元和二元运算：表示有穷集上的一元和二元运算 运算的表示运算的表示 二元运算的运算表二元运算的运算表 一元运算的运算表一元运算的运算表 a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an a1 a1a1 a2a1 an a2 a1a2 a2a2 an
4、 an a1an a2an an a1 a2 . . . an aia1a2an a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an a1 a1a1 a2a1 an a2 a1a2 a2a2 an an a1an a2an an a1 a2 . . . an aia1a2an a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an a1 a1a1 a2a1 an a2 a1a2 a2a2 an an a1an a2an an a1 a2 . . . an aia1a2an a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an a1 a1a1 a2a1 an a2 a1a2 a
5、2a2 an an a1an a2an an a1 a2 . . . an aia1a2an 1算符算符 可以用可以用 , , , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符等符号表示二元或一元运算，称为算符. 7 例例 设设 S=P(a,b)，S上的上的 和和 运算的运算表如下运算的运算表如下 运算表的实例运算表的实例 a,b a b a b a,b a b a,b a a.b b b a,b a a,b b a a b a,b xx a b a,b a,b a b a b a,b a b a,b a a.b b b a,b a a,b b a a b a,b xx a b a,b a,b
6、a b a b a,b a b a,b a a.b b b a,b a a,b b a a b a,b xx a b a,b a,b a b a b a,b a b a,b a a.b b b a,b a a,b b a a b a,b xx a b a,b 已知已知，若，若 x x，yAyA，有，有x*y=y*xx*y=y*x，称，称* *在在 A A上是上是可交换的可交换的。 例例: :判断相应的运算是否满足交换律。判断相应的运算是否满足交换律。 (1)(1) （Z Z，+ +）、（）、（Z Z，- -） （Z Z， ） (2) (2) 设设,*定义如下：定义如下：a*b=a*b=a+ba
7、+b- -abab 运算的性质运算的性质 交换律交换律 (Commutative)(Commutative) 已知已知，若，若 x x，y y，zAzA，有，有 x*x*（y*zy*z）= =（x*yx*y）* *z z， 称称* *在在A A上是上是可结合的可结合的。 结合律结合律(Associative)(Associative) 例例: :判断相应的运算是否满足结合律。判断相应的运算是否满足结合律。 (1)(1) （Z Z，+ +）、（）、（Z Z，- -） （Z Z， ） (2) (2) ，若，若 a a，bAbA，有，有a*b=b a*b=b 例：已知集合例：已知集合s,s, （s
8、s）, ,则则, 满足幂等律。满足幂等律。 已知已知A A，* *，若，若 xAxA，x*x=x x*x=x 则称则称满足满足幂幂 等律等律 。 幂等律幂等律(Idempotent)(Idempotent) 设设，若，若 x x，y y，zAzA有有: : x*(x*(y yz z)=)=（x*yx*y）（）（x*zx*z） ; ; ( (y yz z)*x=(y*x)*x=(y*x)(z*x) (z*x) 称运算称运算* *对是对是可分配的可分配的。 * 算算* *，定义如左，定义如左: : 问分配律成立否？问分配律成立否？ 例：设例：设A=A= ， ，二元运，二元运 分配律分配律(Dist
9、ributive)(Distributive) 运算运算 对对* *是可分配的。是可分配的。 即：即： x x(y*z)=(x(y*z)=(xy)*(xy)*(xz)z)成立成立 证：当证：当x=x= ： 当当x=x= ： 、运算运算* *对运算不可分配对运算不可分配 证：证： * *（ ）= * * = （ * * ）（）（ * * ）= = * x x(y*z)(y*z) (x(xy)*(xy)*(xz)z) = = x x(y*z)(y*z) (x(xy)*(xy)*(xz)z) =y*z=y*z =y*z=y*z 吸收律吸收律(Absorbtive)(Absorbtive) 设设 ,
10、, 是定义在集合是定义在集合A A上的两个可交换二元运算上的两个可交换二元运算，若对若对 x,yx,y A,A,都有都有: : x x (x(x y) = x y) = x x x (x(x y) = xy) = x 则称运算则称运算 和和 满足满足吸收律吸收律. . 例：幂集例：幂集P(S)上的上的运算运算 和和 满足吸收律满足吸收律。 单位元（幺元）单位元（幺元）(Identity)(Identity) 若若 x x A A，有，有x*ex*er r=x=x，称，称e er r为运算为运算* *的的右幺元右幺元 若若e e既是左幺元又是右幺元，称既是左幺元又是右幺元，称e e为运算为运算*
11、 *的的幺元幺元 设设* *是是A A上二元运算，上二元运算， e el l, e, er r,e ,e A A 若若 x x A A，有，有e el l*x=x*x=x，称，称e el l为运算为运算* *的的左幺元左幺元； x x A A，有，有e*x=xe*x=x，x*e=xx*e=x 定理定理: : 设设* *是是A A上的二元运算上的二元运算，具有左幺元具有左幺元e el l，右幺元右幺元 e er r，则则e el l= =e er r=e=e 证明：证明： 证明证明：反证法：设有二个幺元反证法：设有二个幺元e e，e e ； 则则e=e*ee=e*e=e=e 推论：二元运算的幺元
12、若存在则唯一推论：二元运算的幺元若存在则唯一 e el* l* e er r e er r = = e= el l 若若 x x A A，有，有x*x* r r= = r r，称，称 r r为运算为运算* *的的右零元；右零元； 若若 既是左零元又是右零元，称既是左零元又是右零元，称 为运算为运算* *的的零元。零元。 设设* *是是A A上二元运算，上二元运算， l l, , r r, , A A 若若 x x A A，有，有 l l*x=*x= l l ，称，称 l l为运算为运算* *的的左零元；左零元； x x A A，有，有 * *x=x* x=x* = = 零元零元 (Zero)(
13、Zero) 例例: : a a）I I，x x， I I为整数集为整数集 则幺元为则幺元为1 1，零元为零元为0 0 二、幺元（单位元）和零元二、幺元（单位元）和零元 b b） （s s）, 对运算对运算，是幺元，是幺元， s s是零元，是零元， 对运算对运算，s s是幺元是幺元 ，是零元。是零元。 c c）NN，+ + 有幺元有幺元0 0，无零元，无零元 例例: : a a）I I，x x， I I为整数集为整数集 则幺元为则幺元为1 1，零元为零元为0 0 二、幺元（单位元）和零元二、幺元（单位元）和零元 b b） （s s）, 对运算对运算，是幺元，是幺元， s s是零元，是零元， 对运
14、算对运算，s s是幺元是幺元 ，是零元。是零元。 c c）NN，+ + 有幺元有幺元0 0，无零元，无零元 例例: : a a）I I，x x， I I为整数集为整数集 则幺元为则幺元为1 1，零元为零元为0 0 例例: : a a）I I，x x， I I为整数集为整数集 则幺元为则幺元为1 1，零元为零元为0 0 例例: : b b）（A A）, c c）NN，+ + 则幺元为则幺元为1 1，零元为，零元为0 0 对运算对运算， 有幺元有幺元0 0，无零元。，无零元。 对运算对运算， 是幺元，是幺元， A A是零元是零元 A A是幺元是幺元 ，是零元。是零元。 a a）Z Z，x x， Z
15、 Z为整数集为整数集 a b c d a b c d a a a a b b b b c d a b d d b c 例：代数例：代数A=A=aa，b b，c c，dd， * * 用下表定义：用下表定义： 左幺元左幺元 右幺元右幺元 左零元左零元 a a 无无 a, ba, b 右零元右零元 无无 定理定理: : 设设* *是是A A上的二元运算，具有左零元上的二元运算，具有左零元 l l ， 右零元右零元 r r， 则则 l l= = r r= = 推论：二元运算的零元若存在则唯一。推论：二元运算的零元若存在则唯一。 三三、 逆元逆元 1 1、逆元定义逆元定义 设设* *是是s s上的二元运
16、算上的二元运算，e e是运算是运算* *的幺元的幺元 5.2 5.2 运算及其性质运算及其性质 、若、若x*y=ex*y=e那对于运算那对于运算* *，x x是是y y的左逆元，的左逆元，y y是是 x x的右逆元的右逆元 、若、若x*y=ex*y=e，y*x=ey*x=e，则称，则称x x是是y y的逆元，的逆元，y y的逆的逆 元通常记为元通常记为y y- -1 1，存在逆元，存在逆元( (左逆无，右逆元）左逆无，右逆元） 的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的）的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的） 三三、 逆元逆元 1 1、逆元定义逆元定义 设设* *是是s s上的二元运算上的二元运算，
17、e e是运算是运算* *的幺元的幺元 5.2 5.2 运算及其性质运算及其性质 、若、若x*y=ex*y=e那对于运算那对于运算* *，x x是是y y的左逆元，的左逆元，y y是是 x x的右逆元的右逆元 、若、若x*y=ex*y=e，y*x=ey*x=e，则称，则称x x是是y y的逆元，的逆元，y y的逆的逆 元通常记为元通常记为y y- -1 1，存在逆元，存在逆元( (左逆无，右逆元）左逆无，右逆元） 的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的）的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的） 设设* *是是A A上的二元运算，上的二元运算，e e是运算是运算* *的幺元的幺元 若若x*y=ex*y
18、=e那对于运算那对于运算* *，x x是是y y的的左逆元左逆元，y y是是x x的的 右逆元右逆元 若若x*y=ex*y=e，y*x=ey*x=e，则称，则称x x是是y y的的逆元逆元。记为。记为y y- -1 1 逆元逆元 (Inverse)(Inverse) 存在逆元存在逆元( (左逆无，右逆元）的元素称为左逆无，右逆元）的元素称为可逆可逆 的的（左可逆的，右可逆的）（左可逆的，右可逆的） 例：例： a)a)、代数、代数 NN，+ + b)b)、A=A=aa，b b，c c，* *由下表定义：由下表定义： * a b c a a a b b a b c c a c c b b是幺元是幺
19、元, , 仅有幺元仅有幺元0 0，有逆元，有逆元0 0， a a的右逆元为的右逆元为c c，无左逆元，无左逆元， b b的逆元为的逆元为b b， C C无右逆元，左逆元为无右逆元，左逆元为a a 定理定理: : 对于可结合运算对于可结合运算 ，如果元素，如果元素x x有有 左逆左逆 元，右逆元元，右逆元r r，则，则l=r=xl=r=x 推论：逆元若存在，则唯一推论：逆元若存在，则唯一 证：证： 若存在若存在X X的另一个逆元的另一个逆元r r1 1 ; ; 则则: : 证：证： =r r r r r r1 1 r r1 1 = r= r1 1 (xr)(xr) =(r=(r1 1 x)rx)
20、r =（xx） 逆元存在为逆元存在为r r = （xrxr） 23 例例: (1) 整数集上的加法和乘法都满足消去律；整数集上的加法和乘法都满足消去律； (2) S =1,2,3, P(S)的交、并运算不满足消去律。的交、并运算不满足消去律。 消去律消去律 (Cancellation Law)(Cancellation Law) 已知已知，若，若 x x，y y，zAzA，有有 (1) (1) 若若 x x* *y y = = x x* *z z且且 x x , ,则则y=zy=z； (2) (2) 若若 y y* *x x = = z z* *x x且且 x x , ,则则y=zy=z； 那
21、么称那么称* *满足消去律满足消去律。 2 2、代数系统及同态、代数系统及同态 概念概念： 代数系统，子代数，积代数，同态，同构。代数系统，子代数，积代数，同态，同构。 25 例：例： (1) ,是代数系统，是代数系统，+和和 分别表示普通分别表示普通 加法和乘法。加法和乘法。 (2) 是代数系统，是代数系统， 和和 为并和交，为并和交，为绝对补。为绝对补。 代数系统代数系统 设设A为非空集合为非空集合， 为为A上运算的集合上运算的集合,称称为为 一个代数系统一个代数系统. 当 =f1,fn是有限时,代数系统常记为； 当A有限时,称是有限代数系统。 26 构成代数系统的成分：构成代数系统的成分
22、： 集合集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）（也叫载体，规定了参与运算的元素） 运算运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）（这里只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等） 例如：代数系统例如：代数系统：集合：集合Z, 运算运算+, 代数常数代数常数0 代数系统代数系统：集合：集合P(S), 运算运算和和，无代数常数，无代数常数 27 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同， 且代数常数的个数也相同，则称它们是且代数常数的个数也相同，则称它
23、们是同类型的代数系统同类型的代数系统. 例：例： V1= V2=, 为为 n 阶全阶全0矩阵，矩阵，E为为 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 V3= V1, V2, V3是同类型的代数系统，它们都含有是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算个二元运算, 2个个 代数常数代数常数. 28 设设V=是代数系统，是代数系统，B是是S的非空子集，如果的非空子集，如果B 对对f1, f2, , fk 都是封闭的，且都是封闭的，且B和和S含有相同的代数常数，则含有相同的代数常数，则 称称是是V的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代数子代数。 注：有时将子代数系统简记为注：有时将子代数系统简记为B. 实例实例
24、N是是的子代数，的子代数，N也是也是的子代数的子代数 N 0是是的子代数，但不是的子代数，但不是的子代数的子代数 29 几个术语几个术语 (1) 最大的子代数最大的子代数：就是：就是V本身本身 (2) 最小的子代数最小的子代数：如果令：如果令V中所有代数常数构成的集合是中所有代数常数构成的集合是 B，且，且B对对V中所有的运算都是封闭的，则中所有的运算都是封闭的，则B就构成了就构成了V的的 最小的子代数最小的子代数 (3) 最大和最小的子代数称为最大和最小的子代数称为V 的的平凡的子代数平凡的子代数 (4) 若若B是是S的真子集，则的真子集，则B构成的子代数称为构成的子代数称为V的的真子代数真
25、子代数. 例例 设设V=,令令 nZ=nz | z Z,n为自然数，则为自然数，则nZ是是V的子的子 代数代数 当当n=1和和0时，时，nZ是是V的平凡的子代数，其他的都是的平凡的子代数，其他的都是V的非的非 平凡的真子代数平凡的真子代数. 30 设设V1=和和V2=是同类型的代数系统，是同类型的代数系统， 和和 为二元运算，在集合为二元运算，在集合A B上如下定义二元运算上如下定义二元运算 ， , A B，有，有 = 称称V=为为V1与与V2的的积代数积代数，记作，记作V1 V2. 这时也称这时也称V1 和和V2为为V的的因子代数因子代数. 定理定理 设设V1=和和V2=是同类型的代数系统，
26、是同类型的代数系统， V1 V2=是它们的积代数是它们的积代数. (1) 如果如果 和和 运算是可交换（可结合、幂等）的，那幺运算是可交换（可结合、幂等）的，那幺 运算也是可交换运算也是可交换 （可结合、幂等）的（可结合、幂等）的 (2) 如果如果 e1 和和 e2（ 1和和 2）分别为）分别为 和和 运算的单位元（零元），那幺运算的单位元（零元），那幺 （）也是）也是 运算的单位元（零元）运算的单位元（零元） (3) 如果如果 x 和和 y 分别为分别为 和和 运算的可逆元素，那幺运算的可逆元素，那幺也是也是 运算的可逆运算的可逆 元素，其逆元就是元素，其逆元就是 31 设设V1=和和V2=
27、是同类型的代数系统，是同类型的代数系统，f:AB， 对对 x, y A 有有 f(x y) = f(x) f(y), 则称则称 f 是是V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态 (Homomorphism) 。 特殊的同态特殊的同态 (1) f 如果是单射，则称为如果是单射，则称为单同态单同态(Monomorphism)。 (2) 如果是满射，则称为如果是满射，则称为满同态满同态 ( Epimorphism)，这时称，这时称V2 是是V1的的同态像同态像， 记作记作V1 V2。 。 (3) 如果是双射，则称为如果是双射，则称为同构同构 (Isomorphism)，也称代数系，也称代
28、数系 统统V1同构同构于于V2， 记作记作V1 V2 。 。 (4) 如果如果V1=V2，则称作，则称作自同态自同态(Endomorphism)。 32 实例实例 (1) 设设V1=, V2=其中其中Z为整数集，为整数集，+为普通加法；为普通加法； Zn=0,1,n 1， 为模为模n加加. 令令 f : ZZn，f (x)=(x)mod n 那幺那幺 f 是是V1到到V2的满同态的满同态 (3) 设设V=，其中，其中Z为整数集，为整数集，+为普通加法为普通加法. a Z，令，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那那幺幺 fa 是是V的的自同态自同态；当；当a= 1时，称时，称 fa 为为自
29、同构自同构；除此；除此 之外其他的之外其他的 fa 都是都是单自同态单自同态. (2) 设设V1=, V2=，其中，其中R和和R*分别为实数集与非分别为实数集与非 零实数集，零实数集，+ 和和 分别表示普通加法与乘法令分别表示普通加法与乘法令 f : RR*，f (x)= ex 则则 f 是是V1到到V2的单同态的单同态. 3 3、群与子群、群与子群 概念概念： 半群半群, ,子半群子半群, ,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群, , 平凡子群，陪集，平凡子群，陪集，拉格朗日拉格朗日（Lagrange）定理定理 34 独异点独异点(Monoid). 设设V
30、=是半群，若是半群，若eS是关于是关于 运算的单位元，则称运算的单位元，则称V 是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点。 有时也将独异点有时也将独异点V 记作记作 V=. 半群（半群（Semigroup） 设设V=是代数系统，是代数系统， 为二元运算，如果为二元运算，如果 运算是可结合运算是可结合 的，则称的，则称V为为半群半群。 35 实例实例 (1) ,都是半群，都是半群，+是普通加是普通加 法法. 这这 些半群中除些半群中除外都是独异点外都是独异点 (2) 为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中 为集合对称差运为集合对称差运 算算 (3) 为半群，但不是独异点，其中为
31、半群，但不是独异点，其中R*为非零实数集合，为非零实数集合， 运算定义如下：运算定义如下： x, y R*, x y=y 36 群群(Group) 设设V=是独异点，是独异点，e G关于关于 运算的单位元，若运算的单位元，若 a G， a 1 G，则称，则称V是是群群(Group). 通常将群记作通常将群记作G. 群的群的另另一种定义（基本形式）一种定义（基本形式） 设设是代数系统，是代数系统， 为为二元运算。二元运算。 (1) 对对G是是封闭的；封闭的； (2) 是可结合的；是可结合的； (3) 存在幺元存在幺元 e； (4) 对于每一个元素对于每一个元素 x G，都存在它的逆元，都存在它的
32、逆元x-1 G 则称则称是一个是一个群群. 37 设设G= e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为上的运算由下表给出，称为Klein四元群。四元群。 e a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 实例实例 特征：特征： 1. 满足交换律满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素果都等于剩下的第三个元素 38 注：阶数为注：阶数为1（即只含单位元）的群称为（即只含单位元）的群称为平凡群平凡群. 例：例：和和是无限群；是无限群；
33、是有限群，也是是有限群，也是 n 阶群；阶群； Klein四元群是四元群是4阶群；阶群； 是平凡群。是平凡群。 n阶阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群. 群的阶数群的阶数 设设是一个群是一个群,如果如果G是有限集是有限集，那么称那么称为有限群为有限群， 并且并且|G| 为该有限群的阶数为该有限群的阶数；如果如果G是无限集是无限集，则称则称 为无限群为无限群。 39 群的性质群的性质 设设是一个群是一个群。 （1）非平凡）非平凡群中不可能有零元群中不可能有零元. （2）对于对于 a,b G, 必存在唯一的必存在唯一的x G,使得使得
34、a x =b. （3）对于对于 a,b,c G若若: a b = a c或或 b a = c a 则必有则必有b=c (消去律消去律)。 （4）运算表中的每一行或每一列都是一个置换。运算表中的每一行或每一列都是一个置换。 （5）除幺元除幺元e外外,不可能有任何别的幂等元。不可能有任何别的幂等元。 40 设设G是群，是群，aG，nZ，则，则a 的的 n次幂次幂. mnna na ne a m nn ,0)( 0a 0 1 1 元素的幂元素的幂 注：群中元素可以定义负整数次幂注：群中元素可以定义负整数次幂. 在在中有中有 2 3 = (2 1)3 = 13 = 1 1 1 = 0 在在中有中有 (
35、 2) 3 = 23 = 2+2+2 = 6 41 幂运算性质幂运算性质 设设G 为群，则为群，则G中的幂运算满足：中的幂运算满足： (1) aG，(a 1) 1=a (2) a,bG，(ab) 1=b 1a 1 (3) aG，anam = an+m，n, mZ (4) aG，(an)m = anm，n, mZ (5) 若若G为交换群，则为交换群，则 (ab)n = anbn. 42 元素的阶元素的阶 设设G是群，是群，aG，使得等式，使得等式 ak=e 成立的最小正整数成立的最小正整数k 称为称为元元 素素a 的阶的阶，记作，记作|a|=k，称，称 a 为为 k 阶元阶元。若不存在这样的正。
36、若不存在这样的正 整数整数 k，则称，则称 a 为为无限阶元无限阶元。 例例: (1) 在在中，中，2和和4是是3阶元，阶元， 3是是2阶元，阶元， 1和和5是是6阶阶 元，元，0是是1阶元阶元 。 (2) 在在中，中，0是是1阶元，其它整数的阶元，其它整数的阶均为无限阶均为无限。 43 元素的阶的性质元素的阶的性质 G为群，为群，aG且且 |a| = r. 设设k是整数，则是整数，则 (1) ak = e当且仅当当且仅当r | k (2 )|a 1| = |a| 44 子群（子群（SubgroupSubgroup） 设设G G 是群，是群，H H 是是G G 的非空子集，的非空子集， 如果如
37、果H H关于关于G G中的运算构成群，中的运算构成群， 则称则称H H是是G G 的的子群子群, , 记作记作H HG G。 若若H H是是G G 的的子群，且子群，且H H G G，则称，则称H H是是G G的的真子群真子群，记作，记作H H0 (2) G=Z12是是12阶循环群阶循环群. 12正因子是正因子是1,2,3,4,6和和12，G 的子群的子群: 1阶子群阶子群 =0 2阶子群阶子群 =0,6 3阶子群阶子群 =0,4,8 4阶子群阶子群 =0,3,6,9 6阶子群阶子群 =0,2,4,6,8,10 12阶子群阶子群 =Z12 5 5、环与域、环与域 概念概念： 环，交换环，含幺环
38、，整环，域环，交换环，含幺环，整环，域 61 环（环（Ring） 设设是代数系统，是代数系统，+和和 是二元运算是二元运算. 如果满足以下条件如果满足以下条件: (1) 构成构成交换群；交换群； (2) 构成构成半群；半群； (3) 运算关于运算关于+运算适合运算适合分配律，分配律， 则称则称是一个是一个环环. 通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法， 运算为环中的运算为环中的乘法乘法. 环中加法单位元记作环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素对任何元素 x，称，称 x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x. 若若 x
39、 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1. 62 例：例： (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和 乘法构成环，分别称为乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有理数环有理数环Q，实数环实数环R 和和复数环复数环C. (2) n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构关于矩阵的加法和乘法构 成环，称为成环，称为 n 阶实矩阵环阶实矩阵环. (3) 集合的幂集集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环，关于集合的对称差运算和交运算构成环， 称为称为子集环子集
40、环. (4) 设设Zn0,1, . , n1， 和和 分别表示模分别表示模n的加法和乘的加法和乘 法，则法，则构成环，称为构成环，称为模模 n的整数环的整数环. 63 设设是环，则是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0 (2) a,bR，( a)b = a( b) = ab (3) a,b,cR，a(b c) = ab ac， (b c)a = ba ca (4) a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR (n,m2) babaj n i m j i m j j n i i 1111 )()( 环的运算性质环的运算性质 64 例：例：在环中计算在环中计算(a+b)3, (a b)2
41、 解解 ： (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a b)2 = (a b)(a b) = a2 ba ab+b2 65 特殊的环特殊的环 设设是环是环 (1) 若环中乘法若环中乘法 适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环； (2) 若环中乘法若环中乘法 存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环； (3) 若若 a,bR，ab=0 a=0b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环。 例：例： (1) 整数环整数环Z交换交换 环，含幺环，无零因子环。环，
42、含幺环，无零因子环。 (2) 令令2Z=2z | zZ，则，则构成交换环和无零因子环构成交换环和无零因子环， 但不是含幺环。但不是含幺环。 66 整环整环(Integrel Domain) 设设是是一个代数系统一个代数系统,若满足若满足: (1) 是阿贝尔群是阿贝尔群； (2) 是是可交换独异点，且无零因子，即对可交换独异点，且无零因子，即对 a,b R, a 0,b 0 则则a b 0； (3) 运算运算 对对+是可分配是可分配的的， 则称则称是是整环整环。 注注:（1）既是交换环、含幺环、无零因子环既是交换环、含幺环、无零因子环 的代数系统是的代数系统是整环整环。 （2）整环中的整环中的无零无零因子因子条件等价于乘法消去律条件等价于乘法消去律，即，即 对于对于c 0 和和c a = c b,有有a = b. 67 域域 (Field) 设设是是一个代数系统一个代数系统,若满足若满足: (1) 是阿贝尔群是阿贝尔群； (2)
