1、127-1 非线性控制系统概述 基本内容基本内容7-2 常见非线性环节对系统运动的影响7-3 描述函数法描述函数法7-4 相平面法34本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。一些区别于线性系统的现象。5 如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节线性特性的元件或环节,则此系统即为则此系统即为非线性系统非线性系统。6图7-1 一些常见的非线性特性789非线性系统可能非线性系统可能会出现某一初始会出现某一
2、初始条件下的响应过条件下的响应过程为单调衰减，程为单调衰减，而在另一初始条而在另一初始条件下则为衰减振件下则为衰减振荡，如图所示。荡，如图所示。线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。10初始条件不同时非线性系统不同的响应特性 11 （1）当初始条件xo1时,1xo0,上式具有负的特征根,其暂态过程按指数规律衰减,该系统稳定。（2）当xo=1时,1-xo=0,上式的特征根为零,其暂态过程为一常量。（3
3、）当xo1时,1-xo0,上式的特征根为正值,系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。(1)0 xx x&12 但非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与输入信号及初始条件有关。即可能在某个初始条件下稳定，而在另一个初始条件下系统可能不稳定。1314 线性系统线性系统中，中，当输入量是正弦当输入量是正弦信号时，输出稳信号时，输出稳态分量也是同频态分量也是同频率的正弦函数，率的正弦函数，可以引入可以引入频率特频率特性性的概念并用它的概念并用它来表示系统固有来表示系统固有的动态特性。的动态特性。1516不灵敏区又叫 死区死区，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所
4、造成的。死区特性17|011112xsignxxKxx0101111xxsignx式中18在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的影响：一方面它使降低了开环增益，控制精度降低，单相的影响：一方面它使降低了开环增益，控制精度降低，单相对稳定性提高；另一方面有时人们又人为的引入死区特性，对稳定性提高；另一方面有时人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。使系统具有抗干扰能力。xyAxKyxkKk00k19图7-9 部件的饱和现象饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。2012111|KaxaxKxxaKaxa 21图7-11
5、 饱和特性的等效增益22图7-13 图7-12系统的响应随动系统的方块图如图712所示。当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图7-13中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如图7-13中的曲线2。23若随动系统的方块图如图715所示。图7-14 根轨迹图根轨迹分析：24图7-16系统的时间响应当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发散，而是出现稳定的 等幅振荡等幅振荡，如图7-16中的曲线2。25传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。cn主动齿轮从动齿轮xy
6、yxtt00c26bxKxxbxKxbsignxxKx|0|12212112数学表达式为图718 间隙非线性特性27图7-19 间隙特性的输入-输出波形28继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至会导致系统不稳定，并且使稳态误差加大。会导致系统不稳定，并且使稳态误差加大。2m22mxxx01x2xb)01x2xmx2mx2a)1x2x0c)29sinxAt01122sincossin2cosyBBtAtBtAtRY1G2GH非线性1x2x30 非线性元件的静特性不是时间t的函数,即为非储能元件；如果满足下列条件：系统的线性部分具有较好的低通滤波特 性滤去高次
7、谐波。系统的输入为0，非线性元件的输入为 正弦信号：sinxAt 非线性元件的特性是奇对称的，即有 直流分量为0；)()(efef3111111sincossin()yBtAtYt22111111221100,11sin,cos()AYABarctgBBytdtAytdt 这个过程实际上是一个线性化过程，经 过线性化输出的信号与输入信号同频率，只是在幅值和相位上有差异；3222111111111111()cossinYAN AABAarctgBAYYBAjjAAAA 一般情况下，描述函数 为入幅值 的函数，而与频率无关。当非线性特 性为单值时，相应的描述函数为一实 数，表示输入与输出是同相的。
8、()N AA 被称为非线性特性的描述函数描述函数。()N A经过线性化之后的输入输出关系3334121xxy其特性曲线如图7-58，求其描述函数。34令 sinxAt2330111()(sinsin)sin()24N AAtAttdtA224001sin()sin()2Atdttdt2113()216BN AAA则有2310111()sin()24BNxxtdtAA解：35 例题的输入-输出特性 描述函数3600()(sin)2ty tK Att xyyx002K2A3710A 222210144()sinsinsinKAKBy tt d tt d tt d t2241441sin2cossi
9、n2cos24424KAtKKAttA222222arcsin1()1()arcsin1()22KAKAAAAAAAAA122()arcsin1()2BKN AAAAAA （）死区特性的描述函数为：死区特性的描述函数为：38xyyx002K2cAsin0()2KAtty tKct 10A 2221002144()sinsinsin2arcsin1()By tt d tKAt d tKct d tKAcccAAA122()arcsin1()BKcccN AAcAAAA（）39xyyx00K-02-c-c22(sin)0/2()()/2()(sin)()K Atcty tK ActK Atct 2
10、101()cosAy tt d t20224(sin)cos()cos(sin)cos(1)Kc cK Atct d tK Act d tK Atct d tA 2101()sinBy tt d t2022(sin)sin()sin(sin)sinK Atct d tK Act d tK Atct d t 222arctan(1)2(1)()2KAccccAAAA11()BAN AjAA2224arctan(1)2(1)()(1)2KccccKc cjAcAAAAAA（401.非线性特性的非线性特性的并联等效并联等效 y(t)1Nx(t)2N1y(t)2y(t)121212y(t)y(t)y(
11、t)x(t)N(A)x(t)N(A)x(t)N(A)N(A)x(t)N(A)12N(A)N(A)N(A)41xyK1x2K1NN212N1y1Kx+2K21000y 2.非线性特性的非线性特性的串联等效串联等效 xyx02K120 xx20 x2K0zz1NN21242图7-64 非线性控制系统43441()()01()()N A G jG jN A（7-90）0A0如果对于某一个和，式（790）成立，那么非线性环节N输入端将有 的周期运动。00sin()At此时相当于将整个1/()N A曲线当作临界点。45 因此可以类似的得到当线性系统为最小相位系统时的非线性系统的乃氏判据。上述情况与线性系
12、统中 的乃氏曲线穿越 点相类似()G j)0,1(j 利用描述函数判断非线性系统稳定性时，非线性环节的负倒特性 相当于线性系统的 点；1()N A)0,1(j 如非线性部分的负倒特性 没有被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统是稳定的。反之，如果非线性部分的负倒特性 被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。1()NA()G j 1()N A()Gj 如非线性部分的负倒特性 没有被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统是稳定的。反之，如果非线性部分的负倒特性 被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。1()NA()G j 1()N A()Gj 46描述函数法分析非线性系统稳定性描述函数法分析非线
13、性系统稳定性 P()G(j)1N(A)jQ(j)0P()G(j)1N(A)jQ(j)0P()G(j)1N(A)jQ(j)0AAABCDE1M2MG(j)1N(A)a)不顺时针包围 b)顺时针包围 c)顺时针部分包围 G(j)1N(A)G(j)1N(A)471()N A()G j 1()N A()Gj 2、非线性系统自持振荡分析48自持振荡分析P()G(j)1N(A)jQ(j)0P()G(j)1N(A)jQ(j)0P()G(j)1N(A)jQ(j)0AAABCDE1M2M49【例1】判断图中各自振荡点稳定与否?aImReN1jG0a)aImReN1jG0b)aImReN1jG0NSd)aImRe
14、N1jG0MRc)3、实例分析50【例【例2 2】确定图中非线性系统的自振荡振幅和频率。确定图中非线性系统的自振荡振幅和频率。RY1102110sss图7-22 非线性系统结构图解：解：理想继电特性的描述函数为理想继电特性的描述函数为4()MN AA51由于 111,00,()()MAAN AN A且时，；时 故故 的轨迹为沿整个负实轴的直线的轨迹为沿整个负实轴的直线 1()N A 线性部分的频率特性线性部分的频率特性 22242242421010103j(2)(j)j(j1)(j2)3j(2)543010(2)j54(54)G 52根据产生自持振荡的条件1(j)()GN A 220得 解之得
15、 2将之代入 Re(j)G2Re(j)1.67G 得 11.671.67()4AN A由 得 02.1A 53 已知某位置随动系统的动态结构图如图7-22所示，其中饱和非线性是积分环节达到限幅时形成的。试计算：系统稳定时K的取值范围；时在初始状态作用下系统自振的振幅和频率。K30cKs(0.1s1)(0.2s1)r22xy解解22222N(A)arcsin1()A2AAA（）21A2N(A)2222arcsin1()AAA（）P()G(j)1N(A)jQ(j)0A1xAx54242KK 0.3j(10.02)G(j)j(j0.11)(j0.21)(0.00040.051)210.020 x50
16、7.07rad/sxx42xxxK 0.30.3KG(j)(0.00040.051)4.5 K15时，恰是负倒描述函数特性的起点。时，开环幅相频率特性与xG(j)1 K15负倒描述函数特性曲线不相交，非线性系统稳定；时两曲线相交，交点为自振点，K15自振的频率为 ；x507.07rad/sK30时的实频值为 ，负倒描述函数的振幅值满足xG(j)2 222222arcsin1()AAA 解得自振的振幅为 。xA5P()G(j)1N(A)jQ(j)0A1xAx555624()1MhN AAA02.43MKh 220141AhNAAhAhAh57计算数据表hA01()N A01()N AhA2158
17、|jGjG|0jGK59图7-69 图7-68系统的曲线606162c(t)1sr(t)e(t)y(t)Ks2tc(t)000tc(t).c.cc)a)b).(,)xf x x.d xd x dxd xxxdtdx dtdx.(,)d xf x xdxx（7-17）（7-18）.()xq x63描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。通常把方程（717）称为相轨迹微分方程式，简称 相轨迹方程。将（718）式的积分结果称为 相轨迹表达式。相轨迹:（x,x)把具有直角坐标 的平面叫做相平面。64C(s)R(s)E(s)2nns(s2).22()2()()()nnnc tc tc tr t.2()
18、2()()0nnc tc tc t.2.2nndcccdcc.dcadc2.2nnccca22nnax(0),x(0)等倾线 x=x.xx(0),x(0)x.斜率为ax(t)ta）b）.65C(s)R(s)E(s)2nns(s2)()()c te t.2()2()()0nne te te t相轨迹的初始相点对称于坐标原点，相轨迹也对称于坐标原点，而时间函数对称于横轴。660 xxx xxxdxxd或xax11等倾线是直线，它的方程为：67a68.(,)d xdf x xadxx69 在奇点处，系统处于静止状态，又称为平衡点。由于 ，奇点只能出现在横轴上。.(,)0,0f x xx 满足 的点称
19、为相轨迹奇点。该点处相轨迹的斜率为一个不确定值，因此有无数多条相轨迹通过该点，他们的斜率各不相同。.0 x 70022xxxnn 0222nns系统（7-12）的特征方程为 12nn 上述特征方程的根为 n式（7-21）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。C(s)R(s)E(s)2nns(s2)（7-21）71取相坐标 、，式（7-21）可化为：x x2(2)nndxxxdtdxxdt 或22nnxxdxdxx（7-22）72 系统欠阻尼运动时的相轨迹107301图7-2874坐标原点是一个奇点，这种奇点称为 稳定的节点稳定的节点。175176n相轨迹的方向如图中箭头所示。n
20、相轨迹垂直穿过横轴。图中的奇点(0,0)通常称为 中心中心)0(77022xxxnn 78x.xx.xx.xx.xa)b)c)d)（1）稳定极限环）稳定极限环 （2）不稳定极限环。）不稳定极限环。（3）半稳定极限环。）半稳定极限环。极线环也是奇线，是以坐标原点为中心的环状相轨迹。3.奇线奇线将相平面划分成几个不同的区域，各区域的相轨迹只能在自己区域内运动，不能互相穿越。这类特殊相轨迹称为奇线.79x.xx1x2x3x4x.1x.2x.3x.4x5x.5x01t2t3t4t5t0tab1.增量法增量法.12iiipxxx.iipiiiipxxtxtx80 x.x0ABCDABAB1x2x3xBC
21、CDpx.xo 2.圆弧法圆弧法.1BABAtdxx11.1cossxx poxxx p in 11ssBAABABABx p intdx p in81c(t)Ks(Ts1)r(t)bMe(t)y(t)Me(t)bby(t)bMb eM e ee(t)r(t)c(t).KMTe(t)e(t)e(t)Tr(t)r(t)bbTe(t)e(t)MTr(t)r(t)bTe(t)e(t)MTr(t)r(t)e=e=e-b 1.饱和非线性控制系统分析饱和非线性控制系统分析 非线性特性比较环节由误差函数描述的各线性段微分方程82 设输入量 ，r(t)R 1(t).r(t)0 r(t)0，。将参数 M5b1K
22、1T1，代入上式得.e(t)e(t)5e(t)01e(t)e(t)501e(t)e(t)50 e=e=e1e-1830r(t)V t 1(t)0r(t)V r(t)0，c(t)Ks(Ts1)r(t)bMe(t)y(t).0KMTe(t)e(t)e(t)Vbb e.deade.0KMeVbeTa1KMb(Ta1).0.0.05eVe11a5Ve11a5Ve1a；e e e-1等倾线方程斜率将M5b1K1T1，代入84e=-2.5.-11a=0.e.ee=2.5.e=5t0e(t)r(t)c(t)cer 1）的情形。的情形。0V2.5MK5输入量作用前系统处于静止状态，输入量作用瞬间输出状态不跃变
23、输入量作用前系统处于静止状态，输入量作用瞬间输出状态不跃变.(0)(0)0,(0)(0)0(0)0,(0)2.5ccccrr.(0)0(0)2.5ee85 2）0V6MK5的情形。的情形。输入量作用前系统处于静止状态，输入量作用瞬间输出状态不跃变输入量作用前系统处于静止状态，输入量作用瞬间输出状态不跃变.(0)(0)0,(0)(0)0(0)0,(0)6ccccrr.(0)0(0)6ee86(3)0V5MK的情形。87c(t)Ks(Ts1)r(t)bke(t)y(t)s1e(t)1.1111ebTc(t)c(t)K ke(t)bebK ke(t)beb 0 .1e(t)r(t)c(t)e(t)r
24、(t)c(t)c(t)e(t)e(t)，.Te(t)e(t)Tr(t)r(t)eebTe(t)1K ke(t)K ke(t)K kbTr(t)r(t)eebTe(t)(1K k)e(t)K ke(t)K kbTr(t)r(t)eeb （）（1）阶跃响应）阶跃响应.r(t)R 1(t)r(t)0r(t)0，.e e0e0.5e1e 6e 10e100e0.5e1e 6e 10e100e0.5e1 -1-11e.e1e.e88-1-11e.e1e.e（2）斜坡响应）斜坡响应 0r(t)V t 1(t).0,r(t)0,r(t)V.0.0.0e eVe0.5e1e 6e 10e10Ve0.5e1e 6e 10e10Ve0.5e1 ；89作图开关线计算查表非线性系统典型结构乃氏曲线线性部分分段线性的非线性系统分段相迹方程奇点类型相迹方程等倾线法稳定性,自振,求自振参数求时间1()N A()N A相迹时间响应
