1、4.6 4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 二二. . 应力边界条件应力边界条件 圆筒内半径圆筒内半径a,a,外半径外半径b b ( (取单位厚度取单位厚度) ) qa qb a b 受内压 ba qq 外压 该问题可简化为轴对称该问题可简化为轴对称 问题求解问题求解 一一. 计算模型计算模型： 受力：受力： 0)( | a aa q 内边界内边界 外边界外边界 0)( | b bb q 三三. . 应力分量应力分量 注意到注意到 0)( , 0)( ba 自然满足自然满足 bb aa qC b A qC a A 2 2 | | 联立求解联立求解 22 22 22 22 , )(
2、 ab qbqa C ab qqba A baab 0 2 2 C r A C r A 据据(4(4- -11)11)式式 代入（代入（4 4- -1111）即得拉密（）即得拉密（lamelame）解答）解答 （4-13） ba q b a a q a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ba q b a a q a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 对于只有内压力或者只有外部压力的情况，对于只有内压力或者只有外部压力的情况， 以上公式可以进一步简化以上公式可以进一步简化( (教材教材4 4- -14)14) 四四. .位移分量（见位移分量（见4 41
3、212）： cossin )1 ()1 ( 1 KIFu C A E u 若适当给定约束条件，无刚体位移若适当给定约束条件，无刚体位移 00|,| 2/0 IKFuu 0 )1 ( 1 )1 ( u E C E A u aar q a b r b q a b r b 1)( 1)( , 1)( 1)( 2 2 2 2 qa r 显然显然 ”拉“（压）， “ r aarrr a q| q ab ab max 2 2 max 1)/( 1)/( 五五. 特例特例 1.1.只受内压只受内压 0, 0 ba qq r qb 0, 0 ba qq bbr q b a r a q b a r a 2 2
4、2 2 )(1 )(1 , )(1 )(1 (4-14) ”受压均为“-, r 发生在内壁）（ bar q b a 2 )(1 2 1|/| , 2|/| b arb q qab 而外壁 时，内壁当 bbrrarr q |,0| 2.2.只受外压只受外压 3. 无限域开圆孔无限域开圆孔 )0 ba qbq（时：内压作用下：当 aa b r q r a q ba b br b 2 2 22 2 22 2 ) 11 ( ) 11 ( lim aa b q r a q ba b br b 2 2 22 2 22 2 ) 11 ( ) 11 ( lim r qa r 验证圣维南原理，在验证圣维南原理，
5、在 处，处， 应力很小，可以不计，即在内压应力很小，可以不计，即在内压 qa 作用下，作用下，b 处影响可不计。处影响可不计。 作业：求出r=4b处应力的表达式 ar (4)(4)针孔问题（应力集中）针孔问题（应力集中） 受外压qb内径a0时： bbar qq b a 2 )(1 2 | 2 孔虽然很小，但孔边应力却提高了近2倍， 这就是应力集中现象。实际工作中孔边 发生开裂，就是这个原因。 如果外力为拉力，则此处为2倍的拉力 作业 4-4, 4-7 例例1：曲梁纯弯曲问题的弹力解答：曲梁纯弯曲问题的弹力解答 曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成，曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成， 设
6、厚度为单位设厚度为单位1 x 0 a b M 由于是纯弯曲，各截面由于是纯弯曲，各截面M相同，因而应力相同，因而应力 分量与分量与 无关，为轴对称问题。无关，为轴对称问题。 解解:(一一)应力分量应力分量,据据(4-11) 0 2)ln23( 2)ln21( 2 2 rr r CrB r A CrB r A 其中其中A、B、C为常数，须由边界条件确定为常数，须由边界条件确定 其边界条件：其边界条件： 0)( 0| arr arr 内边界内边界 外边界外边界 0)( 0| brr brr 主（长）边界：主（长）边界： 上边界上边界 次（短）边界：次（短）边界： 0)( | 0| r b a b
7、a Mrdr dr （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 下边界下边界 0)( | 0| 0 0 0 r b a b a Mrdr dr （8） （9） （10） 其中（其中（2）、（）、（4）、（）、（7）、（）、（10）满足）满足 由：（由：（1）、（）、（2）：）： 02)ln21( 02)ln21( 2 2 CbB b A CaB a A 由：（由：（5）或（）或（8） 02)ln21( 2 b a CrB r A r （a) (b) (c) 由：（由：（6）或（）或（9） MabCaabbabB a b A)()lnln()(ln 222222 (d) 从上式可见，
8、（从上式可见，（a),(b)满足（满足（c)必满足。联立必满足。联立 （a),(b),(d)求解：求解： )lnln(2 )(2 ln4 2222 22 22 aabbab S M C S abM B S a b bMa A 222222 )(ln4)( b a baabS其中： 故应力分量表达式：故应力分量表达式： )lnlnln( 4 )lnlnln( 4 2222 2 22 22 2 22 ab r a a b r b a b r ba S M r a a b r b a b r ba S M r 讨论：位移分量确定：讨论：位移分量确定： 须给出位移约束条件。设须给出位移约束条件。设 0, 0, 0 0 2 0 r v v u ba rr r 处和 代入：代入： )1 (2)1 (2 )31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 CrBr BrrBr r A E ur 得：得：N=0,K=0 )1 (2)1 ( ln)1 (2)1( 1 00 00 0 CrBr rBr r A E H 代回位移表达式（代回位移表达式（4-12）即得位移分量）即得位移分量 本例可见，尽管位移分量中含多值函数项（本例可见，尽管位移分量中含多值函数项（ 项），但项），但 Thank Everybody !
