大学精品课件：12渐近法1.ppt

1、2020/5/10 1 第十二章 2020/5/10 2 1 1、线性代数方程组的解法、线性代数方程组的解法: : 直接法直接法 渐近法渐近法 2 2、结构力学的渐近法、结构力学的渐近法 力学建立方程，数学渐近解力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义。突出的优点是每一步都有明确的物理意义。 3 3、位移法方程的两个特点、位移法方程的两个特点: : (1)(1)每个方程最多是五项式；每个方程最多是五项式； (2)(2)主系数大于副系数的总和，即主系数大于副系数的总和，即 kii kij， 适于适

2、于渐近解法。渐近解法。 4 4、不建立方程组的渐近解法有：不建立方程组的渐近解法有： (1)(1)力矩分配法：力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。适于连续梁与无侧移刚架。 (2)(2)无剪力分配法：无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。适于规则的有侧移刚架。 (3)(3)迭代法：迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。它们都属于位移法的渐近解法。 kii kik kij kir kis 12-1 渐近法概述 2020/5/10 3 1212- -2 2 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念 力矩分配法力矩分配法 理论基础：位移

3、法；理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩；计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。 表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 1 SAB=4i 1 SAB=3i SAB=i 1 SAB=0 SAB与杆的与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关，远端支承有关， 而与近端支承无关。 而与近端支承无关。 一、转动刚度

4、一、转动刚度S： 2020/5/10 4 分配系数分配系数 SAB = 4i 1 SAB= 3i 1 1 SAB= i 二、分配系数二、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MAD C A B D iAB iAC iAD A M 如用位移法求解：如用位移法求解： AABAABAB SiM4 AACAACAC SiM AADAADAD SiM3 M MAB MAC MAD 0 A m AADACAB SSSM)( A ADACAB A S M SSS M M S S M A AD AD 于是可得于是可得 M S S M A AB AB M S S M A AC AC MM

5、AjAj A Aj Aj S S 1 2020/5/10 5 三、传递系数三、传递系数 MAB = 4 iAB A MBA = 2 iAB A 2 1 AB BA AB M M C MAB = 3iABA 0 AB BA AB M M C MAB= iABA MBA = - iAB A 1 AB BA AB M M C 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数传递系数。 A l A B 近端近端 远端远端 A B A A A B 2020/5/10 6

6、基本运算基本运算 A B C MAB MBA MBC A B C MABP MBAP MBCP MB MB MBA MBC MB= MBA+ MBC A B C -MB BA M BC M AB M 0 -MB BA M BC M )( BBABA MM )( BBCBC MM + = 最后杆端弯矩：最后杆端弯矩： MBA = MBAP+ BA M MBC = MBCP+ BC M MAB = M ABP+ AB M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号 12-3 单结点的力矩分配 2020/5/

7、10 7 例1. 用力矩分配法作图示连续梁 的弯矩图。 3m 3m 6m EI EI 200kN 20kN/m （1 1）B点加约束点加约束 A B C 200kN 20kN/m MAB= MBA= MBC= mkN 150 8 6200 mkN150 mkN 90 8 620 2 MB= MBA+ MBC= mkN60 -150 150 -90 （2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加- -6060进行分配进行分配 60 A B C -60 设设i =EI/l 计算转动刚度：计算转动刚度： SBA=4i SBC=3i 分配系数分配系数： 571. 0 34 4 ii i BA 429.

8、 0 7 3 i i BC 0.571 0.429 分配力矩分配力矩: 3 .34)60(571. 0 BA M 7 .25)60(429. 0 BC M -34.3 -25.7 -17.2 0 + (3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程 A B C 0.571 0.429 -150 150 -90 -34.3 -25.7 -17.2 0 -167.2 115.7 -115.7 0 167.2 115.7 300 90 M图图(kN m) A B C = 2020/5/10 8 12-4 多结点的力矩分配 A B C D B C MBA MBC MCB MCD M

9、AB MB MC mBA mBC mCB -MB 放松，平衡了放松，平衡了 MC 固定固定 放松，平衡了放松，平衡了 -MC 固定固定 固定固定 放松，平衡了放松，平衡了 渐近运算渐近运算 2020/5/10 9 C B 例例1.1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。用力矩分配法列表计算图示连续梁。 A B C D 6m 6m 4m 4m EI=1 EI=2 EI=1 20kN/m 100kN 6 1 AB i 4 1 8 2 BC i 6 1 CD i 1 4 1 4 3 2 6 1 4 BC BA S S 6 . 0 4 . 0 3 2 1 3 2 BC BA 2 1 6 1 3 1 4 1

10、 4 CD CB S S 333. 0 667. 0 2 1 1 1 CD CB 0.4 0.6 0.667 0.333 m -60 60 -100 100 分 配 与 传 递 -33.3 -66.7 -33.4 29.4 44 22 14.7 -14.7 -7.3 -7.3 4.4 2.9 2.2 -1.5 -0.7 -0.7 0.3 0.4 1.5 0.2 -43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 Mij 0 43.6 92.6 133.1 41.3 A B C D 21.9 M图（图（kN m） 2020/5/10 10 A B C D 6m 6m 4m 4m EI=1 E

11、I=2 EI=1 20kN/m 100kN 43.6 133.1 41.3 21.9 M图（kN m） 92.6 A B C D A B C D 51.8 68.2 56.4 43.6 6.9 Q图（kN） 求支座反力求支座反力 68.2 56.4 B 124.6 2020/5/10 11 上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法： 02003 0240310 CB CB (1) 将上式改写成将上式改写成 BC CB 334. 067.66 3 . 024 (2) 余数余数 BC CB 334. 0 3 . 0 (3) B C 第一次第一次 近似值近似值 24

12、 -66.67 -8 20 2.4 -6.67 2 -0.8 0.24 -0.67 0.2 -0.08 结结 果果 B=48.84 C=-82.89 精确值精确值 48.88 -82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 = 6 .92100)96.82( 4 1 284.48 4 1 4 2020/5/10 12 1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩

13、要变号分配。 4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算： 结点不平结点不平 衡力矩衡力矩 （第一轮第一结点）（第一轮第一结点） 固端弯矩之和固端弯矩之和 （第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点） 固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩 传递弯矩传递弯矩 （其它轮次各结点）（其它轮次各结点） 总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩 5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。 力矩分配法小

14、结：力矩分配法小结： 2020/5/10 13 0.222 1 1 1 4 3 2 1 A B C D F E B 3 . 0 4 . 0 3 . 0 BE BC BA C 222. 0 333. 0 445. 0 CF CD CB mBA= 40kN m mBC= - 41.7kN m mCB= 41.7kN m 0.3 0.4 0.3 0.445 0.333 40 -41.7 -41.7 -18.5 -9.3 -13.9 -9.3 3.3 3.3 4.4 2.2 -1.0 -0.5 -0.7 -0.5 0.15 0.15 0.2 -4.65 1.65 -0.25 0.07 43.45 3.

15、45 -46.9 24.4 -9.8 -14.6 1.72 -4.90 43.5 46.9 24.5 14.7 3.45 1.7 9.8 4.89 M图 )(mkN 例例2.2. 4m 4m 5m 4m 2m q=20kN/m A B C D F E 2020/5/10 14 A B C 1m 5m 1m EI=常数常数 D 50kN 5/6 1/6 50 25 -20.8 -4.2 -20.8 +20.8 +50 例例3. 3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。带悬臂杆件的结构的力矩分配法。 50kN m A B M M/2 A B C 1m 5m 1m EI=常数常数 D 50kN 2020

16、/5/10 15 4EI 4EI 2EI 2EI 用力矩分配法计算，作用力矩分配法计算，作M图。图。 取取EI=5 i=4 i=4 i=2.5 i=2.5 2kN/m 20kN 5m 5m 1m 4m 20kN 20 结点结点 杆端杆端 A E B C F AB EB BE BA BC CB CF FC m 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385 0 0 0 31.25 20.83 20.83 0 0 (20) 2.74 3.29 4.39 1.37 2.20 MB=31.2520.83=10.42 MC=20.83202.2=1.37 0.84 0.53 0.27 0.4

17、2 0.10 0.14 0.18 0.05 0.09 A B C E F 2020/5/10 16 2.85 结点结点 杆端杆端 A E B C F AB EB BE BA BC CB CF FC m 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385 0 0 0 31.25 20.83 20.83 0 0 (-20) 2.74 3.29 4.39 1.37 2.20 0.84 0.53 0.27 0.42 0.10 0.14 0.18 0.05 0.09 0.06 0.03 0.02 0.03 0.01 0.01 0.01 M 0 1.42 27.80 24.96 19.94 0.5

18、6 0.29 计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) ) 2020/5/10 17 20kN/m 3m 3m 3m 2i i i i i i 4i 2i SAG=4i 20kN/m 1.5m i i A C E G H SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i AG=0.5 AC=0.5 CA=0.4 CH=0.2 CE=0.4 mkNmAG.15 3 5 .

19、120 2 结点 杆端 A C E AG AC CA CH CE CH m 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4 15 2020/5/10 18 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4 15 7.5 7.5 3.75 1.50 0.75 1.50 0.75 0.75 0.37 0.38 0.19 0.08 0.03 0.08 0.04 0.04 0.02 0.02 结点 杆端 A C E AG AC CA CH CE CH m M 7.11 7.11 2.36 0.78 1.58 0.79 20kN/m 7.11 0.79 1.58 2.63 0.79 1.58 7.11 2.63 0.78

20、 M图（kN.m) 2020/5/10 19 例、例、 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。 l1 l2 q q A B D C E I1 I2 q E B F 解：取等代结构如图。解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为设梁柱的线刚度为i1，i2 2i1 2i2 2 2 i S BF 2 1 i S BE 2 1 2 i i i BF 2 1 1 i i i BE 12 ) 2 ( 3 2 1 2 1 ql l q m BE 2 1 2 i i i i 2 1 1 i i BE BF 2020/5/10 20 A B D C E F BE BF 2 1

21、2 i i i i 2 1 1 i i m 12 2 1 ql 12 2 1 21 1 ql ii i 12 2 1 21 2 ql ii i 12 2 1 21 2 ql ii i 12 2 1 21 2 ql ii i M 12 2 1 21 2 ql ii i 12 2 1 21 2 ql ii i M图 当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。 此时竖柱对横梁起固定支座的作用。 当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱 对横梁起铰支座的作用。 由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造 作法，也与相对刚度有关。 如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简 支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端 固定梁计算。 i2 i1 i2 i1