1、对于上述所谈及的两种平面问题： 平衡方程（22） 2个 几何方程（28） 3个 物理方程（212）3个 注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会 产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。 边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件 共计八个未知函数 、 含 vu xy yxxyy x 26.边界条件 八个方程 在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移 分量是已知的，即： 式中： 是位移的边界值； 边界上坐标的已知函数或边界上 已知的位移分量。 二、应力边界条件 边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系 （） vvuu ss
2、 , vuss、 vu、 一.位移边界条件 二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： yx xy x y n X n Y x f y f 弹性体内单元体斜面上的 应力分量与坐标面应力的 关系有(静力平衡) m l p p yyx xyx y x 单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件 y x s yyx xyx f f m l 注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定与面力相同。 特例-边界面与坐标轴平行时 o x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y ys xy x
3、s x fm fl )(0 )(1 (1).左右两面 (2).上下两面 xs yx ys y fm fl )(1 )(0 应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦 y x s yyx xyx f f m l qYX , 0 qYX , 0 0 Y qX 0 Y qX x y 0)( ,)(: 0)( ,)(: 0)( ,)(: 0)( ,)(: s yx s y s yx s y s xy s x s xy s x q q q q 下 上 左 右 举例：举例： 边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有
4、一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m 图中的面力采用矢量 符号规则 1; 0ml ys xy xs x fm fl )(0 )(1 (1).左右 (2).上下 X1m Y0l syx sy )( )( 三、混合边界条件三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一 部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个 应力分量。 x y 0 0)( v f vs xs x )(b图 x y o )(a图 0 0 y xy s f u u 例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上， 除正应力 外，还有剪应力
5、。并确定边界上 、 与 的关系。(假设任何界面上y方向的正应力均匀分布) xy y xy y x )(yA P y 解： sin,cos cos,cos ynm xnl 由 y s y s xy x s xysx fm fm 0sincos 0sincos s y s xy s yxsx 22 tg yA p tg ysx tg yA p tg y s xy P y o y n y f x f xy y x yx 例例 写出应力边界条件。写出应力边界条件。设设液体比重液体比重为为 解：1）右边界（x=0） 0 0 0 x xy x x y 2）左边界（x=ytg） sin ) 2 cos(,c
6、os cos,cos ynm xn 0,0 yx ffy n O x y y O x y y y n 由： y s y s xy x s xysx fm fm 0sincos 0sincos s y s xy s xysx sincosml y x s yyx xyx f f m l 唯一性定理 表述表述1 1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。 表述表述2 2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。 证明概要证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应
7、变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。 叠加原理 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 分解原理：根据叠加原理，可以把原问 题分解成几个简单的问题单独求解。 2 2- -7.7.圣维南原理圣维南原理( (局部性原理局部性原理) ) 一一. .圣维南原理的叙述圣维南原理的叙述 描述描述1 1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系（主矢及主矩均
8、为相同） 代换，则在加载附近的的应力发生显著变 化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述描述2 2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为 零），则面力就只会使近处产生显著的应 力，远处的应力可忽略不计。 二. 圣维南原理的应用条件 1、必须用等效力系代替。 2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上) PP P A P q q )(a图 )(b图 )(c图 （1）以(b)代(a)应力边界条件可以近似满足。 （2）以(b)代(c)应力边界条件可以近似满足,但 位移边界条件不能完全满足。 举例举例 圣维南原理的应用 所得到的应力分量必
9、须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。 静力等效边界条件：静力等效边界条件： 对于严格要求的条件在局部放松对于严格要求的条件在局部放松 y L 2 h 2 h x M 线性分布的边界力所形线性分布的边界力所形 成的力偶等于成的力偶等于M M 由材力弯曲公式由材力弯曲公式： z y I yM 严格面力严
10、格面力 0 y z y x f I yM f 2 h 2 h x y L y 严格边界条件严格边界条件 0 Lx xy z y Lxx I yM 只有在右端弯矩是由线性分布的外力引起时， 材料力学的公式才在右端附近严格成立。 边界的积分式边界的积分式 自由端边界条件：自由端边界条件： 2 h 2 h x y L P Pdy ydy dy h h lx xy h hlxx h hlxx 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 dy Mydy dy h h lx xy h h lxx h h lxx A xd 设中性轴为z y z 1 悬臂梁的例子： 则边界条件可以写成(P
11、.23 (b)： 根据圣维南原理，把给出的面力化成合力和合力矩 MydyfFdyfFdyf h hxy h hyx h hx 2 2 2 2 2 2 , MydyFdyFdy h h lxxy h h lx xyx h h lxx 2 2 2 2 2 2 , 2 h 2 hx y L P 用积分表达的边界条件 对边界条件的积分为： (P.23 (b)： 根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩： ydyfydy h hx h hlxx 2 2 2 2 dyfdyf dyfdyf h hy h h lx yy lx y h hx h h lxxxlxx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h 2 h
12、 x y L P 2 h 2 h x y L y 悬臂梁的例子： 平面应力问题 平面应变问题 一一. 平面问题基本未知量平面问题基本未知量 yxyxyx xy y x ,),(, 1、应力分量 （3个） z xy y x yxyxyx , , 独立的（3个） 2、应变分量 z xy yx yxyxyx , 独立的（3个） yxyxyx xy yx , （3个） 3、位移分量 wyxvyxu, 独立的（2个） yxvyxu,（2个） f 平面问题小结平面问题小结 平面应力问题 平面应变问题 二二. 平面问题基本方程平面问题基本方程 1、平衡微分方程 0 x yx x f yx 0 y yxy f
13、 yx （2-2） 同左 （2个） 2、几何方程（3个） )82( y u x v y v x u xy y x 同左 3、物理方程（3个） ） 122( 1 )( 1 )( 1 xy xy xyy yxx G E E )13( )1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2 xy xy xyy yxx E E E ） （a E E E xy xy xyy yxx 122 )1(2 )( 1 )( 1 2 2 用下式代换： 1 , 1 2 E E 、在边界上取楔形研究（单位厚度） 如图所示： yx y xy x x f A BD C ),cos( ),cos( ynm xnl dsmDB
14、 dslDA dsAB n y f x f y f ds ml ffml dsmdslX dsmdsldsX F xxyxx yxx x 2 : 2 1 111 :0 化简得 由 为应力的边界值 、 s yx s x ys xy s y xs yx s x flm fml )()( )152( )()( )()( namely 2.特例-边界面与坐标轴平行时 o x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y ys xy xs x fm fl )(0 )(1 (1).左右两面： y x s yyx xyx f f m l (2).在上下两面: xs yx ys y fm fl )(1 )(0
