1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法2第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 控制系统的稳定性及动态性能与系统的闭环极控制系统的稳定性及动态性能与系统的闭环极点和零点在点和零点在s平面的位置密切相关，因此可根据闭环平面的位置密切相关，因此可根据闭环零极点的分布来间接地研究系统的性能。零极点的分布来间接地研究系统的性能。但当特征方程的阶数高于四阶时，求解零极点的但当特征方程的阶数高于四阶时，求解零极点的过程比较复杂。如果要研究系统参数变化对闭环特征过程比较复杂。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程根的影响，那么就需要进行大量的
2、反复计算，同方程根的影响，那么就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。根问题来说，解析法就显得很不方便。3第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 1948年，年，W R 伊凡思在他的一篇论文伊凡思在他的一篇论文“控制系统的图解分析控制系统的图解分析”中提出了在复平面上中提出了在复平面上由系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，由系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，这就是根轨迹法。当开环增益或其它参数改变这就是根轨迹法。当开
3、环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广泛的应用。泛的应用。4第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹：根轨迹：系统某一参数在规定范围内变化时，系统某一参数在规定范围内变化时，闭环系统特征方程的根在闭环系统特征方程的根在 s 平面上的位置也随平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹广义根轨迹:系统的任意一个参数变化所形成系统的任意一个参数变化所形
4、成的根轨迹。的根轨迹。常规（狭义）根轨迹常规（狭义）根轨迹（通常情况）：（通常情况）：变化参数为变化参数为开环增益开环增益K，且其变化取值范围为，且其变化取值范围为0到到。5第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统，根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统，求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。特别是对于多回路系统的研究，应用根轨特别是对于多回路系统的研究，应用根轨迹法比用其它方法更为方便。迹法比用其它方法更为方便。借助于根轨迹法，可以方便直观地分析系借助于根轨
5、迹法，可以方便直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。统特征根与系统参数之间的关系。6第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨
6、迹。统的根轨迹。74-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 1.根轨迹概念根轨迹概念例：设控制系统的结构图如图所示：例：设控制系统的结构图如图所示：0 51()(.)KG sss 2222()KsssK 0222KssKs2112,1特征方程：特征方程：特征根：特征根：K K/s s(0 0.5 5s s+1 1)C C(s s)R R(s s)-84-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念1.根轨迹概念根轨迹概念 令开环增益令开环增益K从零变到无从零变到无穷，粗实线为系统的根轨迹。穷，粗实线为系统的根轨迹。箭头表示随着箭头表示随着K值的增加，根值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数轨迹
7、的变化趋势，而标注的数值为与闭环极点位置相对应的值为与闭环极点位置相对应的开环增益开环增益K的数值。的数值。94-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能（1）稳定性：）稳定性：当开环增益从当开环增益从零变到无穷时，如果根轨迹零变到无穷时，如果根轨迹没有越过虚轴进入没有越过虚轴进入s右半平面，右半平面，则系统对所有的则系统对所有的K值都是稳定值都是稳定的，如果系统的根轨迹越过的，如果系统的根轨迹越过虚轴进入虚轴进入s右半平面，此时根右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的轨迹与虚轴交点处的K值，就值，就是临界开环增益。是临界开环增益。104-1 根轨迹法的基本概念
8、根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能（2）稳态性能：）稳态性能：由开环系统由开环系统在坐标原点处的极点数可判断在坐标原点处的极点数可判断出系统的型别，而此时的出系统的型别，而此时的K值值就是相应的静态误差系数。如就是相应的静态误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。点位置的容许范围。051()(.)KG sss 114-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能（3）动态性能：）动态性能：当当0K0.5时：时：过阻尼系统；过阻尼系统；当当K0.5时：
9、时：临界阻尼系统；临界阻尼系统；当当K0.5时：时：欠阻尼系统。欠阻尼系统。2222()KsssK 124-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。着比较密切的联系。对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要
10、研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。环零、极点与开环零、极点之间的关系。133.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系22121 212212221121121*()()()()()()()fiGiGqviiszKsssG sKs TsT sT ssp 一般情况下，前向通路传递函数一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：可表示为：为前向通路增益；为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。为前向通路根轨迹增益。GK*GK21 2212*GGKKTT 143.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系11*()()()ljjH
11、hjjszH sKsp 反馈通路传递函数反馈通路传递函数 H(s)可表示为：可表示为：为反馈通路为反馈通路根轨迹增益。根轨迹增益。*HK则系统的开环传递函数可表示为：则系统的开环传递函数可表示为：1111*()()()()()()flijijqhijijszszG s H sKspsp 称为开环系统根轨迹增益称为开环系统根轨迹增益。*GHKK K 153.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系11*()()()ljjHhjjszH sKsp 对于有对于有 m 个开环零点和个开环零点和 n 个开环极点的系统，个开环极点的系统，必有必有 f+l=m 和和 q+h=
12、n。则。则：11111*()()()()()()()()fhGijijnmijijKszspG ssG s H sspKsz qjjfiiGpszsKsG11*)()()(163.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系结论：结论：1)闭环系统的根轨迹增益等于开环系统前向通路根闭环系统的根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。对单位反馈系统而言，闭环系统根轨迹增轨迹增益。对单位反馈系统而言，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。益就等于开环系统根轨迹增益。2)闭环零点由开环前向通路零点与反馈通路极点组闭环零点由开环前向通路零点与反馈通路极点组成。对于单位
13、反馈系统，闭环零点就是开环零点。成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 K*均有关。均有关。173.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系 根轨迹法的基本任务在于：根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。184-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹方程 根轨迹是系统所有闭环极点的集合，闭环根轨迹是系统所有闭环极点的集合
14、，闭环系统特征方程为：系统特征方程为：10()()G s H s 1()()G s H s 111*()()mjjniiszKsp 即即：等价为等价为：上式称为根轨迹方程。上式称为根轨迹方程。194-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹方程211 101 2();,jkek 由于由于模值条件：模值条件：11*|niinijspKsz 相角条件：相角条件：112101 2()()(),mnjijiszspkk 204-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹方程 根据相角条件和模值条件，可以完全确定根据相角条件和模值条件，可以完全确定s平平面上的根轨迹
15、和根轨迹上对应的面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。其中：值。其中：1、相角条件是、相角条件是s平面上根轨迹所要满足的充平面上根轨迹所要满足的充要条件；要条件；2、模值条件可确定、模值条件可确定s平面上的根轨迹各点所平面上的根轨迹各点所对应的根轨迹增益对应的根轨迹增益 K*。21例例 单位反馈系统的开环传递函数单位反馈系统的开环传递函数 sKsG)(一个开环极点一个开环极点 P1=0 负实轴上点负实轴上点 s s1 1niimiipspszs111111180)()()(s s2 2=-1-=-1-j jniimiipspszs1121135)()(负实轴上的点都是根轨迹上的点！负实轴上的点都
16、是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法23第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 当可变参数为系统的开环增益当可变参数为系统的开环增益(根轨迹增益根轨迹增益K*)时，所绘制的根轨迹为常规根轨迹。其相角时，所绘制的根轨迹为常规根轨迹。其相角遵循遵循1800+2k条件，因此称为条件，因此称为1800根轨迹，相根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做应的绘制法则也就可以叫做1800根轨迹的绘制根轨迹的绘制法则。法则。244-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘
17、制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 1：根轨迹的起点和终点。根轨迹起根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。于开环极点，终于开环零点。25证明：证明：设有设有m个零点个零点,n个极点的开环系统传递函数为：个极点的开环系统传递函数为：11*()()()()mjjniiszG s H sKsp 110*()()nmijijspKsz 0*K 0*K10()niisp 则由其组成的闭环系统特征方程为：则由其组成的闭环系统特征方程为：式中：式中：起点：起点：特征方程为：特征方程为：261 2(,)isp in *K1 2(,)jszim 终点：终点：特征
18、方程为：特征方程为：nms11*|limlim|nin minssijspKssz 实际系统中，有实际系统中，有m个零点个零点,n个极点的开环系统个极点的开环系统传递函数一般满足传递函数一般满足 ，因此有，因此有n-m条根轨迹的终点条根轨迹的终点在无穷远处，这是因为当在无穷远处，这是因为当 时，根据模值条件有：时，根据模值条件有：10()mjjsz 27 如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无穷远处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终止于穷远处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终止于开环零点。在无限零点的意义下，系统的开环零极开环零点。在无限零点的意义下，
19、系统的开环零极点数目相等。点数目相等。在绘制其它参数根轨迹时，可能有在绘制其它参数根轨迹时，可能有mn的情况，的情况，则有则有m-n条根轨迹的起点在无穷远处，称为无限极点，条根轨迹的起点在无穷远处，称为无限极点，此时系统的开环零极点数也是相等的。此时系统的开环零极点数也是相等的。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。284-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点根轨迹的分支数与开环有限零点 m 和有限和有限
20、极点极点 n 中的大者相等，它们是连续的且对称于中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。实轴。29 证明：证明：根轨迹是开环系统某一参数在规定范围根轨迹是开环系统某一参数在规定范围内变化时，闭环特征方程的根在内变化时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨平面上的变化轨迹。因此根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的迹。因此根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目相一致。数目相一致。闭环特征方程根的数目就等于闭环特征方程根的数目就等于m和和n中的大者，中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。的大者相同。30 由于根轨迹增益由于根轨迹增益K*
21、是连续变化的，特征方程的是连续变化的，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征根也会连续某些系数也随之而连续变化，因而特征根也会连续变化，故根轨迹具有连续性。变化，故根轨迹具有连续性。因为闭环特征方程的系数为实数，闭环特征方因为闭环特征方程的系数为实数，闭环特征方程的根只有实根和复根两种。实根位于实轴上，复程的根只有实根和复根两种。实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是闭环特征根的集合，因此根根必共轭，而根轨迹是闭环特征根的集合，因此根轨迹对称于实轴。轨迹对称于实轴。314-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 3：根轨迹的渐
22、近线：当根轨迹的渐近线：当nm时，有时，有n-m条根轨条根轨迹分支沿着与实轴交角迹分支沿着与实轴交角a，交点为，交点为a 的一组渐近的一组渐近线趋向无穷远处，且有：线趋向无穷远处，且有：210 1 21()(,)akknmnm mnzpmjjniia1132证明：证明：渐近线可以理解为渐近线可以理解为|s|很大时的根轨迹，故其很大时的根轨迹，故其必对称于实轴。必对称于实轴。11111111*()()()()mjmmjmmnnnnniiszsbsbsbG s H sKKsa sasasp 11niiap 11mjjbz sK,*()()G s H s111*()()()n mn mKG s H
23、ssab s 由于：由于：式中：式中：当当时有时有 近似为：近似为：331()()G s H s 111*()n mabsKs 11111*()()n mn mabsKs 1111()n mabs 121111111111112()()()()!n mabababsnm snm nms 1111111()()n mababsnm s 由根轨迹方程：由根轨迹方程：得：得：或或根据二项式定理将根据二项式定理将 展开展开在在s值很大时：值很大时：341111*()()()n mabsKnm s jsmnkKmn)12(sin*112121*()()cossinn mabkkjKjn mn mn m
24、代入渐近线方程，得：代入渐近线方程，得：令：令：有：有：0 1 21(,)knm则：则：1121*()cosn mabkKn mn m 3521()aknm 1111nmijijapzabnmnm 解得：解得：*sincosn maaaK ()aatg 式中：式中：进而有：进而有：0 a js a 在在s复平面上复平面上()aatg a 表示一条直线：与实轴的交表示一条直线：与实轴的交与实轴的夹角为与实轴的夹角为 a 点为点为 ，361 1）当当k k 取不同值时，取不同值时，a a 有（有（n nmm）个值，而）个值，而 a a 不变；不变；mnka 180)12(2 2）根轨迹在根轨迹在s
25、 s 时的渐近线为时的渐近线为（n nmm）条与实轴交点为）条与实轴交点为 a a 、相角为、相角为 a a的一组射线。的一组射线。mnzpmiiniia 11 说明说明37例：设例：设 ，试求出由上面，试求出由上面三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。21422*()()()()KsG ss sss 4,1nm解：由开环传递函数可得：解：由开环传递函数可得：1234104111,pppjpj z ，C(s)C(s)R(s)R(s)-21422*()()()Kss sss 38法则法则1：起点：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j
26、 终点：终点：z1=-1和三个无穷远零点和三个无穷远零点法则法则2：四条分支四条分支法则法则3：渐近线与实轴渐近线与实轴的交点及夹角为：的交点及夹角为：3/531141144111 jjzpjiija 2,1,0 ,14)12(kka 0-1-4-2-3-110-1-2-3-113/5 a 渐近线渐近线 渐近线渐近线 060 a 渐近线渐近线 渐近线渐近线 060 a 0300 a 394-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 4：根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数
27、一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。之和为奇数，则该区域必是根轨迹。401p2p3p4p1z2z3zs 12 3 04 1 23 232 证明：证明：设开环零、极点分布如图所示。设设开环零、极点分布如图所示。设 是测试点。是测试点。s则则 为根轨迹上点的充分必要条件为：为根轨迹上点的充分必要条件为：s(*)12()()(kpszsij即开环零点到即开环零点到 的相角之和减去开环极点到的相角之和减去开环极点到 的相角之和是的相角之和是 的奇数倍。的奇数倍。ss 411p2p3p4p1z2z3zs 12 3 04 1 23 232 注意到：注意到：复共轭极点到复共轭
28、极点到 的相角之和是的相角之和是 ，不影响（，不影响（*）式的奇偶性。）式的奇偶性。因此，可略去不计。同理复共轭零点的情况亦可略去不计。因此，可略去不计。同理复共轭零点的情况亦可略去不计。s 2而测试点左边的所有点到而测试点左边的所有点到 的相角均为零，其右边点到的相角均为零，其右边点到 的的相角均为相角均为 。因此，（。因此，（*）式为的）式为的 奇数倍的充要条件是奇数倍的充要条件是的右边开环实零、极点的个数之和是奇数。的右边开环实零、极点的个数之和是奇数。ss s42例：例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22)3)(2()6)(
29、4)(1()(ssssssKsG-2-2，-1-1 右侧实零、极点数右侧实零、极点数=3=3-6-6，-4-4 右侧实零、极点数右侧实零、极点数=7=7654321oj平面s表示两重极点434-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 5：根轨迹的分离点与分离角。根轨迹的分离点与分离角。niimjjpdzd1111 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点的坐标即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点的坐标d 是下列方程的解：是下列方程的解：式中式中zj
30、 为各开环零点的数值，为各开环零点的数值，pi 为各开环极点的数值。为各开环极点的数值。分离角为：分离角为：lk/)12(44 因为根轨迹是对称的，所以根轨迹的分离点或因为根轨迹是对称的，所以根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；限
31、极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点之间也至少有一个分离点(会合点会合点)。451110*()()mjjniiszKsp 证明：由根轨迹方程，证明：由根轨迹方程，有：有：46110*()()()nmijijD sspKsz 闭环特征方程为：闭环特征方程为：根轨迹在根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程在相遇点平面上相遇，说明闭环特征方程在相遇点处有重根出现。设重根为处有重根出现。设重根为d，
32、根据代数中重根条件：，根据代数中重根条件：00()()D sD s 4711*()()nmijijspKs z 11*()()nmijijdds pKs zdsds 1111()()()()mnjijinmijijddszspdsdsspsz 11ln()ln()mnjijidszdspdsds 代入代入11ln()ln()nniiiispsp 11ln()ln()mmjjjjszsz两端微分两端微分48得：得：1111()()nmijijspsz d 即为根轨迹的分离点。即为根轨迹的分离点。1111()()nmijijdpdz mjjniidszsddspsd11)ln()ln(49 当当
33、l 条根轨迹分支进入并立即离开分离条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由点时，分离角可由(2k+1)/l 来决定，其中来决定，其中k=0,1,2,l-1。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。显然，当显然，当 l 2时，分离角必为直角。时，分离角必为直角。50系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。C(s)C(s)R(s)R(s)-123*()()()Kss ss 解：解：实轴上区域实轴上区域-1，0 和和-3，-2是根轨是根轨迹。迹。该系统有该
34、系统有3条根轨迹分支，且对称于条根轨迹分支，且对称于实轴。实轴。51C(s)C(s)R(s)R(s)-123*()()()Kss ss 一条根轨迹分支起于开环极点（一条根轨迹分支起于开环极点（0），），终止于开环零点（终止于开环零点（-1），另外两条根轨迹分支起于），另外两条根轨迹分支起于开环极点（开环极点（-2）和（）和（-3），终止于无穷远处（无限），终止于无穷远处（无限零点）。零点）。两条终止于无穷远处的根轨迹的渐近两条终止于无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴的交角为线与实轴的交角为90o和和270o，交点坐标为：，交点坐标为：31110 2 3123 1()()ijijapzn m 52C
35、(s)C(s)R(s)R(s)-123*()()()Kss ss 实轴区域实轴区域-3，-2 必有一个根轨迹的必有一个根轨迹的分离点分离点 d，d 满足分离点方程：满足分离点方程：1111123dddd 解得：247.d 53由法则由法则1、2：起点：起点0，-2，-3；终点；终点-1,共三条根轨迹，其中两条趋向无穷远点共三条根轨迹，其中两条趋向无穷远点 1 2 3 01 2 3 0由法则由法则3：趋向无穷远点分枝的渐近线：趋向无穷远点分枝的渐近线与实轴交点与实轴交点=-2，与实轴的交角，与实轴的交角为为90o和和270o。由法则由法则 4：实轴上区域：实轴上区域-1，0 和和-3，-2是根轨
36、迹。是根轨迹。由法则由法则 5：实轴区域：实轴区域-2，-3 必有一个根轨迹的分离点必有一个根轨迹的分离点 d，d 满足分离点方程：满足分离点方程：3121111dddd47.2d47.2 54系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。解：解：C(s)C(s)R(s)R(s)-20 510 51*(.).Ksss 211*()()()()K sG ssj sj 55法则法则1：起点：起点：终点：终点：-2，无穷远处。，无穷远处。法则法则2：两条分支。：两条分支。法则法则3：n-m=1，故只有，故只有180o渐近线，它正好与负实渐近线，它正好与负实轴重合。轴重合。法则法
37、则4：为实轴上的根轨迹。为实轴上的根轨迹。法则法则5：由分离点的坐标方程得：由分离点的坐标方程得：j1jdjdd111121414.3d58.0d或或(舍去)2,(5657v 由两个极点由两个极点(实数极点或复数极点实数极点或复数极点)和一个有限零和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当数极点之间，当K*从零变化到无穷时，闭环根轨从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的
38、一部分。v 特别指出，如果此时有限极点是共轭的，则半径特别指出，如果此时有限极点是共轭的，则半径为零点到一个极点的距离。为零点到一个极点的距离。584-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 6：根轨迹的起始角与终止角。根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以称为起始角，以 标志；根轨迹进入开环复数零点处标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 表示表示。ipiz1121()()()
39、;ijijimnpz pp pjjj ik 1121()()()ij ij imnzz zp zjjj ik 012,k ，59证明：设开环系统有证明：设开环系统有m个有限零点，个有限零点，n个有限极个有限极点。在无限靠近待求起始角点。在无限靠近待求起始角(或终止角或终止角)的复数极的复数极点点pi(或复数零点或复数零点zj)的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点s1。由于。由于s1无限接近无限接近pi(或或zj)，因此除，因此除pi(或或zj)外，所有开环零、外，所有开环零、极点到极点到s1的向量相角都可以用它们到的向量相角都可以用它们到pi(或或zj)的向的向量相角量相角 来代替，而来代替，而p
40、i(或或zj)到到s1的向量相角即为起始角的向量相角即为起始角 （或终止角（或终止角 ）。）。),(,ijijijijzpzzpppzipiz60112101 2()()(,)jijiimnz pp ppjjj ikk 112101 2()()(,)j iij imnz zzp zjjj ikk 根据根据 s1 满足的相角条件，有：满足的相角条件，有：得到：1121()()()ijijimnpz pp pjjj ik 1121()()()ij ij imnzz zp zjjj ik 012,k ，012,k ，61系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：1）
41、实轴上区域-1.5,0和(-,-2.5 为根轨迹。2）n-m=1，只有一条180o渐近线。3）无分离点。4）起始角与终止角。15222505150515*(.)()()()(.)(.)(.)K ssj sjG ss ssjsj 212313418079()()p 21312341801495()().z 62-1-2108.59059 37 19 56.5 218056 51959108 5903779.p 6390 121 153 199 63.5 117 21809011763 5153199121149 5.z 64654-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本
42、法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 7：根轨迹与虚轴的交点。：根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和值和值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的中的 sj，然后分别令其实部和虚部为零而，然后分别令其实部和虚部为零而求得。求得。66 若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着纯虚根，这意味着K*的数值使闭环系统处于临界的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此令劳斯表第一列中包含稳定状态。因此令劳斯表第一列中包含K*的项为的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的
43、零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的 K*值。值。此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中异的根，所以利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助行的系数构成辅助方程必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨方程必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的迹与虚轴交点上的 值。值。67 如果根轨迹与正虚轴如果根轨迹与正虚轴(或者负虚轴或者负虚轴)有一个以有一个以上交点，则应采用劳斯表中幂大于上交点，则应采用劳斯表中幂大于2的的s偶次方行偶次方行的系数构造辅助方程。的系数构造辅助方程。确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，确定根轨迹与虚轴交点
44、处参数的另一种方法，是将是将sj代入系统闭环特征方程，并令方程的代入系统闭环特征方程，并令方程的实部和虚部分别为零，即可求得相应的实部和虚部分别为零，即可求得相应的K*和和。68例例:系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 ,求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点 。)2)(1()()(*sssKsHsG闭环特征方程闭环特征方程023)2)(1(*23*KsssKsss0123ssss*3631KK02*K系统稳定的临界系统稳定的临界K K*值值：K*=6表中表中s s2 2行元素构成辅助方程行元素构成辅助方程0632s2js根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 劳斯表劳斯表69例例:系统
45、的开环传递函数系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。)2)(1()()(*sssKsHsGjs 代入系统闭环特征方程代入系统闭环特征方程0)2()3()(2)(3)(32*23jKKjjj032*K02326*K70)22)(3()()(2*ssssKsHsG例：例：设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：解：（1）无开环零点，开环极点为：无开环零点，开环极点为：实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为-3，0。jppp1,3,04,32171（2）n-m=4 有有 4 条分支趋向无穷远处。条分支趋向无穷远处。渐近线
46、与实轴的交点与夹角分别为：渐近线与实轴的交点与夹角分别为：（3）分离点：）分离点：（4）起始角：）起始角：03111 25421 180451354.(),aoooajjk 01111311jdjddd23.d 71 6.iop 72（5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 （应用劳斯判据）（应用劳斯判据）4325860*()D sssssK 432018563452042534 0*()/sKssKsKsK 由第一列、第四行元素为零由第一列、第四行元素为零16.8025204*KK由辅助方程由辅助方程21 2348 16051 095,.ssj 737422322*()()()()K s
47、G ss sss 例：设系统开环传递函数为例：设系统开环传递函数为jpjppp1,1,3,0432121z11421130jja解：法则解：法则1 起点：起点：试绘制系统的概略根轨迹。试绘制系统的概略根轨迹。终点：终点：和三个无穷远处。和三个无穷远处。法则法则4 -2，0，(-，-3为实轴上的根轨迹。为实轴上的根轨迹。法则法则3根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：n=4，m=1，故有三，故有三条渐近线。条渐近线。)2,1,0(,300,18060)12(000kmnka75 法则法则5实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无 分离点。分离点。oooooop6.2
48、6)456.2690135(1803op6.264法则法则6 确定起始角：确定起始角：02)6(85*234KsKsss02)6(85*234KjKj法则法则7根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：闭环系统特征方程：闭环系统特征方程：令令sj代入系统闭环特征方程：代入系统闭环特征方程：760280)6(5*24*3KK06.10.7*K令其实部和虚部分别为零，有：令其实部和虚部分别为零，有：有有(舍舍)，此时：，此时：*0*1*2*3*4234506253465281KsKKKsKKsKsKs034506*KKK0.7*K由闭环特征方程列劳斯表：由闭环特征方程列劳斯表：根轨迹与虚轴的交点也可
49、以用劳斯表求得。根轨迹与虚轴的交点也可以用劳斯表求得。令令s1行首列为零：行首列为零：有：有：77vw,k=solve(-5*w3+(6+k)*w=0,w4-8*w2+2*k=0)vw=v 0v 5*13(1/2)-11v 5*13(1/2)-11v-5*13(1/2)-11v-5*13(1/2)-11vk=v 0v (13(1/2)-1)(1/2)v -(13(1/2)-1)(1/2)v (-13(1/2)-1)(1/2)v-(-13(1/2)-1)(1/2)78vk=solve(6+k-50*k/(34-k)vk=v 5*13(1/2)11=7.0278v-5*13(1/2)11=7.02
50、78790725734)(2ssFjs6.16.10.7*K以以s2行系数列辅助方程：行系数列辅助方程：有：有：故根轨迹与虚轴的交点为：故根轨迹与虚轴的交点为：此时开环增益为：此时开环增益为：8081235322*(.)()()()K sG ss sss 824-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 8：根之和与根之积。：根之和与根之积。系统闭环特征方程，在系统闭环特征方程，在nm且且n-m1时，开时，开环环n个极点之和总等于闭环特征方程个极点之和总等于闭环特征方程n个根之和：个根之和：njjniips11 si 为系统闭环特征方
