1、弹性力学问题的实用解法 力法和位移法力法和位移法 消去一些变量减少变量个数的同时 提高方程的阶数常用思路 28 28 按位移求解平面问题按位移求解平面问题( (位移法位移法) ) 一、平面应力问题一、平面应力问题： 1. 由物理方程 （2-12）解出 2、把几何方程几何方程（2-3） 代入(2-12a） ）（ a E E E xy xy xyy yxx )1(2 )( 1 )( 1 2 2 )162( )( )1(2 )( 1 )( 1 2 2 b y u x vE x u y vE y v x uE xy y x -以位移分量作为基本未知量以位移分量作为基本未知量 把（216a）代入平衡微分
2、方程（22）： 式（217）即为用位移表示的平衡微分方程，为按位移求解 平面应力问题的基本微分方程。 这组方程的推导中已经用了物理方程和几何方程以及平衡方 程，仅仅采用了代数替换，所以它与原方程组是等价的。 该方程表明按位移求解平面应力问题时，解出的应力必然满 足平衡微分方程 )172( 0) 2 1 2 1 ( 1 0) 2 1 2 1 ( 1 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 y x f x v yx u y vE f y u yx v x uE 4、位移边界条件：仍为（214）式 (218)式即为用位移表示的应力边界条件，为按 位移求解平面应力问题时的应力边界条件。 )182(
3、 )( 2 1 )( 1 )( 2 1 )( 1 2 2 ys xs f y u x v l x u y v m E f y u x v m y v x u l E 3、应力边界条件：把（216a）代入应力 边界条件（215） )(, vvuu ss )182( )( 2 1 )( 1 )( 2 1 )( 1 2 2 ys xs f y u x v l x u y v m E f y u x v m y v x u l E )172( 0) 2 1 2 1 ( 1 0) 2 1 2 1 ( 1 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 y x f x v yx u y vE f y u yx
4、 v x uE 结论：按位移求解平面应力问题,可归纳为根据(217) 式确定位移分量，并且要求满足边界条件（218）和 （214），再用几何方程式求出应变分量，用物理方程 确定应力分量。 )(, vvuu ss 二、平面应变问题二、平面应变问题： 对平面应力方程的E、作如下变换后即可得到 平面应变问题的相应方程和边界条件： 1 , 11 2 EE 一般规律：凡是含有弹性常数的方程，在用于平 面应力和平面应变问题中，只需要做这种代换即 可。 1、为按位移求解平面应力问题，要联立求解两个二 阶偏微分方程，因此比较麻烦，但在有限元法中却比 较方便。 2、按位移求解，原则上可适用于任何平面问题，无 论
5、体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。 3、任何应力边界条件均可以转化为位移边界条件: 讨 论 )182( )( 2 1 )( 1 )( 2 1 )( 1 2 2 ys xs f y u x v l x u y v m E f y u x v m y v x u l E 2-9 按应力求解平面问题相容方程 基本未知量基本未知量 yxyxyx xy y x ,);,(;, 基本方程：用应力分量表示基本方程：用应力分量表示 1.1.平衡微分方程平衡微分方程 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx （2-2） 1、三个未知数只有两个方程不能求解 2、解答必须同时满足平衡、几何和物理方程
6、。单独 满足平衡方程是不可以的。 3、于是我们需要考虑从几何和物理方程中得到另外 一个仅仅含有应力的方程 ）（32 y u x v y v x u xy yx yxx v y u yxxy xyy x 2 2 2 2 2 2 将将 x y v y x u y x 对 对 求两阶导数求两阶导数 yx v x xy u y y x 2 3 2 2 2 3 2 2 相加相加 )192( 2 2 2 2 2 yxxy xyy x 2 2、变形相容（协调）方程、变形相容（协调）方程 （由几何方程消去位移得到同一平面内（由几何方程消去位移得到同一平面内 间的关系）间的关系） 相容方程是满足几何方程的应变必
7、然满足的关系相容方程是满足几何方程的应变必然满足的关系 用应力分量表示相容方程：用应力分量表示相容方程： 由物理方程由物理方程 ） （ 12 1 1 1 xy xy xyy yxx G E E 代入（代入（2 2- -9 9）式得到用）式得到用应力表示的相容方程应力表示的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 12(2-20) 相容方程相容方程只含有应力、并且是几何方相容方程相容方程只含有应力、并且是几何方 程和物理方程的结果。程和物理方程的结果。 由平衡方程由平衡方程 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx x f xyx xx yx 2 2 2 y f yyx
8、 yyxy 2 22 两式相加两式相加 y f yx f xyx yy xx xy 22 2 2 2 2 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 12 代入相容方程（2-20）式： 化简（2-20）式消去剪应力 （2 2- -21a21a）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程 整理、化简整理、化简： 注：对于平面应变问题用注：对于平面应变问题用 1 代换 y f x f xy y x yx 1 1 2 2 2 2 （221b） （2 2- -2121）是用应力表示的相容方程的简化形式。）是用应力表示的相容方程的简化形式。 y f x f xy y x yx 1 2 2 2 2 (2-2
9、1a) 整理、化简整理、化简： （22） 结论：按应力求解平面应力（应变）问题，可结论：按应力求解平面应力（应变）问题，可 归结为根据（归结为根据（2 2- -2 2）平 平及（ 及（2 2- -2121）容 容求出应力分 求出应力分 量量 ，并要求在边界上满足应力边界条件，并要求在边界上满足应力边界条件 （2 2- -1515）边 边，及位移单值条件 ，及位移单值条件。 y f x f xy y x yx 1 2 2 2 2 (2-21a) 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx 相容方程的数学讨论 1. 相容方程是几何方程的结果，是应变和位 移满足几何方程的必要条件。换言之：
10、如果应 变和位移满足几何方程，则必然满足相容方程。 2. 这个结论的逆否命题(因而是正确的)：如 果应变不满足相容方程，则必不满足几何方程。 3. 逆定理并不成立：不能说应变满足相容方 程就一定满足几何方程。 所以三个应变不能任意独立选取。必须满足相 容方程才能保证可以由此求得满足几何方程的 位移 相容方程的物理意义是：同一平面内一点处的三个应变分 量必须相互协调，才能保证变形不发生开裂或相互嵌入 （位移连续）。 开裂 嵌入 连续 多连体的位移单值条件多连体的位移单值条件 单连体：具有一个连续的边界单连体：具有一个连续的边界。 多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。多连体：具有两个以上互不
11、相交的连续的边界。 位移单值条件：一点处的位移是单值位移单值条件：一点处的位移是单值的。的。 *按应力求解时，要利用位移单值条件，才能按应力求解时，要利用位移单值条件，才能 完全确立应力分量完全确立应力分量 2-10 应力函数常体积力 一一. 简化相容方程简化相容方程 当体力为常量时，当体力为常量时，fx=C,fy=C （2 2- -2121）容 容简化为 简化为： 0 2 2 2 2 yx xy 2 2 2 2 2 yx 若令拉普拉斯算子拉普拉斯算子 0 2 yx （222） 结论：当体力为常量时，按应力求解平面问题，可归 结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量,并 要求在边界上满
12、足应力边界条件（2-15）边及位移单 值条件。 0; * xyxyyyxx yfxf 平衡方程的通解 yx yf x xf y xy yy xx 2 2 2 2 2 0 yx yx x 0 yx yxy xy xyxy y yy x xx * * * 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx 平衡方程 齐次方程： 特解 如果 y yxB x yxA , x B y A 齐次偏微分方程的通解 yxxy xyyx 2 2 2 2 2 ; 平面应力函数（Airy应力函数）满足： 可以找到一个函数 （x，y），有 0 2 2 2 2 2 2 2 2 xyxy 0 2 2 2 2 2 2 2
13、 2 xyxy 可记为可记为： 0 22 0 4 或 这里这里 （x x，y y）为双调和函数）为双调和函数 注：满足注：满足 0 2 的的函数称函数称 调和函数调和函数 展开后展开后： 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 求解求解应力函数应力函数 为满足双调和方程的双调和函数时为满足双调和方程的双调和函数时 （2 22525）同时满足边界条件和位移单值条件）同时满足边界条件和位移单值条件。这样。这样 就可以得到原问题的解答。就可以得到原问题的解答。 （225） 例题例题 习题习题2 216 16 全部边界上受压力全部边界上受压力q q，则，则 解：解：1.1.验证是否满足平衡微分方程验
14、证是否满足平衡微分方程 由： 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx 将x=y=-q,xy=0代入 00)0( )( yx q 00 )( )0( y q x 故满足故满足 q x y q O x=y=-q,xy=0 是正确解答 将将 x x= = y y= =- -q,q, xy xy=0 =0代入，自然满足代入，自然满足 事实上，任何单元体中都是这个结果事实上，任何单元体中都是这个结果 1 1= = 2 2= =- -q q 三三. .满足边界条件满足边界条件： q ql qm x y x y yx xy y f x f xy y x yx 1 2 2 2 2 由由： 由由：
15、 y s y s xy x s xysx fm fm qmfqlf yx , 将将 x x= = y y= =- -q, , xy xy=0 =0， 代入代入 qmqmqmqml qlqlqlmql )()0( )0()( 满足 四四. .位移单值条件位移单值条件： 2 2）求位移）求位移： 1 1）求应变：）求应变： 0 1 )1()( 1 )1()( 1 xy xy xyy yxx G E q E E q E 0 ) 1( ) 1( y u x v E q y v E q x u xy y x （1） （2） （3） )()1( )()1( 2 1 xfy E q v yfx E q u
16、代入（代入（3）得）得 dx xdf dy ydf)()( 21 于是有于是有 ： , )( 1 dy ydf dx xdf)( 2 由（由（1）、（）、（2）式积分）式积分 结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方 程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通 域满足位移单值条件，故为问题的解。域满足位移单值条件，故为问题的解。 上式为线性函数，为单值函数。上式为线性函数，为单值函数。 积分：积分： 0 0 ) 1( ) 1( vxy E q v uyx E q u 二二. .应力函数应力函数 为非齐次偏微分
17、方程组为非齐次偏微分方程组 研究（研究（2-2）平 平及（ 及（2-22）容 容的求解 的求解 由（由（2 22 2）平 平式 式 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx 1.1.对应的齐次偏微分方程的通解对应的齐次偏微分方程的通解 所以存在一个具有全微分的函数所以存在一个具有全微分的函数A A（x x，y y） 根据微分方程解的理论，根据微分方程解的理论， （2 22 2）平 平的解由两部分 的解由两部分 组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。 0 yx yx x 0 yx yxy 由第一式有由第一式有 xy x yx 全微分的
18、充要条件全微分的充要条件 QdyPdxdFF x Q y P 有则存在若, 同理：将第二式写为 yx y xy 根据全微分充要条件，同样也存在另一个函数B（x，y） x yxA P xy ),( 1 （a） y yxA Q x , 1 （b） y yxB Q xy , 2 (d) x yxB P y , 2 （c） 比较（ a）（ c ）两式,由剪应力互等定理 y yxB x yxA , x B y A 齐次偏微分方程的通解 yxxy xyyx 2 2 2 2 2 ; 平面应力函数（Airy应力函数） 可以找到一个函数 （x，y），有 yxxy 2.2.平衡方程特解平衡方程特解 3.3.平衡方
19、程平衡方程的通解的通解 0; * xyxyyyxx yfxf yx yf x xf y xy yy xx 2 2 2 2 2 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx xy xyxy y yy x xx * * * 将将（）代入（） 0 2 2 2 2 2 2 2 2 xyxy 0 2 2 2 2 yx xy 可记为可记为： 0 22 0 4 或 这里这里 （x x，y y）为双调和函数）为双调和函数 注：满足注：满足 0 2 的的函数称函数称 调和函数调和函数 展开后展开后： 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 结论：结论： 1.1.当当应力函数应力函数 为满足双调和方程的
20、双调和函数时为满足双调和方程的双调和函数时 （2 22323）可以同时满足）可以同时满足（2 2- -2 2）平 平及（ 及（2 2- -2222）容 容，故 ，故 （2 22323）为）为（2 2- -2 2）平 平及（ 及（2 2- -2222）容 容的解。 的解。 （2 22424）为用应力函数表示的相容方程）为用应力函数表示的相容方程 2.2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变） 问题，可归结为根据（问题，可归结为根据（2 2- -2424）容 容求出应力函数 求出应力函数 ， 然后根据（然后根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 并要求在边界并要求在边界 上满足应力边界条件（上满足应力边界条件（2 2- -1515）边 边，及位移单值条件 ，及位移单值条件 （多连体时）。（多连体时）。
