1、第8章 采样控制系统v 8.2 8.2 采样过程与采样定理采样过程与采样定理v 8.3 8.3 保持器保持器v 8.4 Z8.4 Z变换变换v 8.5 8.5 脉冲传递函数脉冲传递函数v 8.6 8.6 采样控制系统的稳定性分析采样控制系统的稳定性分析v 8.7 8.7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差v 8.8 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传递采样系统的暂态响应与脉冲传递 函数零、极点分布的关系函数零、极点分布的关系v 8.9 8.9 采样系统的校正采样系统的校正第八章 采样控制系统 第8章 采样控制系统 本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论
2、不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数，而在离散系统中则不然，因此，在离散系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信号 。)(*te离散反馈信号 是由连续型的时间函数e(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开关经一定时间T重复闭合，每次闭合叫间为，且有 T。)(*teTfs1Ts2采样频率采样角频率第8章 采样控制系统数字控制系统数字控制系统)(*te)(*tu离散的偏差信号 经数字计算机的加工处理变换成数字信号 ，再经DA转换为连续信号 馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c(t)。)(*t
3、u)(tuk第8章 采样控制系统实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题。按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。8.2 采样过程与采样定理8.2.1 采样过程采样过程0*)()()(nnTtnTete0*)()()()()(nTttenTttete或第8章 采样控制系统 )()()()(0*ntjwT1TsetettetensjnsETsE1)(*则有0*)()()(nnTttete0)()(nTnTtt令8.2.2 采样定理采样定理采样定理(shannon定理)，由于它给出了从采
4、样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。在离散函数的频谱中、n=0的部分E(j)T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外，E*(j)还包含无限多个附加的高频频谱。为了准确复现采样的 连续信号，必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。拉氏变换第8章 采样控制系统 由图可见，相邻两频谱互不重迭的条件是由图可见，相邻两频谱互不重迭的条件是s 2max 如果满足条件，并把采样后的离散信号e*(t)加到理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差lT倍)
5、。倘若s 0)的Z变换.ttf)(解：解：21)(stLsFF(s)有两个s=0的极点，即2,011rs20220)1(lim1lim)!12(1)(zTzezzdsdezzssdsdzFTssTss第8章 采样控制系统若1。线性定理。线性定理)()(zXtxZ)()(zXznTtxZn10)()()(nkknzkTxzXznTtxZ2）迟后和超前定理）迟后和超前定理则有及3）复平移定理）复平移定理)()()()()(00zeXzekTxzkTxetxeZaTkaTkkkakTatzeaT定理的含义是：函数x(t)乘以指数序eaT的Z变换，等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 取代原算子
6、z。)()()()(2121zbXzaXtbxtaxZ8.4.3 Z 变换定理变换定理第8章 采样控制系统举例：试用复平移定理计算函数te-at的Z变换解：令x(t)=t，2)1()()(zTztZzX根据复平移定理，有22)()1()(aTaTaTaTataTezTzezezeTteZzeX第8章 采样控制系统5）初值定理）初值定理若Zx(t)=X(z)，且当t0，2.736-0.632k0，即k0时，akTikiiieApAkTC)(动态过程为按指数规律动态过程为按指数规律变化脉冲序列变化脉冲序列。pi 1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，动态响应为振荡脉冲序列振荡脉冲序列；若|pk|
7、=1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆上，动态响应为等幅振荡幅振荡脉冲序列脉冲序列，若|pk|1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列振荡收敛脉冲序列,且|越小,即复极点越靠近原点,振荡收敛越快；第8章 采样控制系统通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点。当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为kT。若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡角频率为T。为了使采样系统具有较为满意的暂态响应，其
8、z传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置。当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故动态过程质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆内时,由于输出衰减高频振荡脉冲,故动态过程性能欠佳。因此因此,在离散系统设计时在离散系统设计时,应把闭环极点安置在应把闭环极点安置在z平面的右半单平面的右半单位圆内位圆内,且尽量靠近极点且尽量靠近极点第8章 采样控制系统解：解：系统的闭环脉冲传递函数为0173.06048.07728.00198.04990.03805.0)(232zzzzzz当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z1)，输出量的z变换为：10173.
9、06408.07728.00198.04990.03805.0)()()(232zzzzzzzzRzzC0173.05875.03776.17728.10198.04490.03805.023423zzzzzzz例：例：系统如图所示，分析系统的动态性能。采样周期T=0.2秒。第8章 采样控制系统利用长除法得1413121110987654321005.1960.0942.0989.0079.1118.1025.1842.0760.0945.0313.1488.1124.1381.0)(zzzzzzzzzzzzzzzC%48%),(6.0),(4.0超调量峰值时间上升时间ststpr第8章 采样
10、控制系统8.9 采样系统的校正采样系统的校正8.9.1 数字控制器的脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数D(z)如图所示的线性离散系统(线性数字控制系统)中，数字控制器D将输入的脉冲系列e*(t)按照系统性能指标要求做适当处理后，输出新的脉冲序列u*(t)。如果数字控制器对脉冲序列的运算是线性的，可以确定个联系输入脉冲序列e*(t)与输出脉冲序列u*(t)的脉冲传递函数D(z)。)()(1)()()()()(zGzDzGzDzRzCz)(1)()()(zzGzzD)()(11)()()(zGzDzRzEze)()()(1)(zzGzzDeennmmzazazazazbzbzbbzD332211
11、221101)(第8章 采样控制系统在采样控制过程中，通常把一个采样周期称作一拍。具有当典型控制信号作用下在采样时刻上无稳态误差，以及过渡过程能在最少个采样周期内结束的离散系统，称为最少拍系统或有限拍系统。8.9.2 最少拍系统的校正最少拍系统的校正)(1)(ttr111)(zzRttr)(211)1()(zTzzR221)(ttr31112)1(2)1()(zzzTzR典型输入信号分别为典型输入信号的Z变换可写为 其中A(z)是不包含因子(1 z1)的z1 的多项式。rzzAzR)1()()(1)()()(zRzEze)()()(zRzzEereezzAzzRzzE)1()()()()()(
12、1给定稳态误差为)()1()()1(lim)()1(lim11111zzzAzzEzeerzzsr为使稳态误差为0，e(z)中应包含 因子。rz)1(1第8章 采样控制系统)()1()(1zFzzre)()1(1)(1)(1zFzzzre)()()()(zFzAzRzC设式中F(z)为不包含(1 z1)的z1的多项式 可见，当 F(z)=1时，e(z)中包含的z1的项数最少。采样系统的暂态响应过程可在最少个采样周期内结束。第8章 采样控制系统因此，rezz)1()(1rzz)1(1)(1 是无稳态误差最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数。在典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位速度信号和单位加速度信
13、号时，可分别求得最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数 e(z)、e(z)及E(z)、C(z)。第8章 采样控制系统111)(),(1)(zzRttr)1()(1zze1)(zz)1)()()()()()()(1)(11zzGzzzGzzzGzzDeee当，或r=1时得于是且有1)()()(zRzzEenzzzzzzzC3211111)(第8章 采样控制系统0)2()(,1)0(TeTee1)2()(,0)0(TcTcc表明：可见最少拍采样系统经过一拍便可完全跟踪阶跃输入，其调节时间ts=T。第8章 采样控制系统211)1()(,)(zTzzRttr212121)1()(zzzze21212)1(1
14、)(zzzz当或 r=2时得于是)21)(2)()()()(2121zzzGzzzzGzzDe且有1)()()(TzzRzzEennTzTzTzzTzzzzC322112132)1()2()(第8章 采样控制系统表明：0)3()2(,)(,0)0(TeTeTTeenTnTcTTcTTcTcc)(3)3(,2)2(,0)()0(可见最少拍采样系统经过二拍便可完全跟踪斜坡输入，其调节时间ts=2T。第8章 采样控制系统当,21)(2ttr31112)1(2)1()(zzzTzR或r=3时得31)1()(zze3213133)1(1)(zzzzz31321)1)(33)()()()(zzGzzzzz
15、GzzDe于是且有22122121)()()(zTzTzRzzEenzTnzTzTzzzTzzzzC2232223111232122923)1(2)1()33()(第8章 采样控制系统表明：0)3()2(,0)()0(TeTeTee2222)(,23)2(,0)()0(TnnTcTTcTcc 可见最少拍采样系统经过三拍便可完全跟踪加速度输入，其调节时间ts=3T。第8章 采样控制系统例：例：设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为)1(10)(0sssGsesGTsh1)(其中T为采样周期；已知T1秒，试求取在等速输入信号r(t)=t作用下，能使给定系统成为最少拍系统的数字
16、控制器的脉冲传递函数D(z)。求取数字控制器的脉冲传递函数求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)第8章 采样控制系统解解 根据给定的传递函数G0(s)及Gh(s)求取开环脉冲传递函数G(z)，即)368.01)(1()718.01(68.3)()()(11110zzzzsGsGZzGh选取与r(t)t对应的最少拍系统的闭环脉冲传递函数为212)(zzz)21()(21zzze第8章 采样控制系统则可求得数字控制器的脉冲传递函数D(z)，即)21)(2)()()()(2121zzzGzzzzGzzDe经过数字校正后，最少拍系统的开环脉冲传递函数为)21(2)()(2121zzzzzGzD该系统典型
17、输入r(t)=t的过渡过程c*(t)如图所示。过渡过程在两个采样周期就可结束。第8章 采样控制系统下面分析上述最少拍系统在位置阶跃输入及等加速输入的过渡过程。当位置阶跃输入r(t)=1(t)作用于上述最少拍系统时，其输出函数c(t)的Z交换C(z)为nzzzzzzzzC321121211)2()(与上式对应的过渡过程从图可见，反应位置阶跃输入的过渡过程时间ts仍为两个采样周期，稳态误差仍等于零，但在t=T1秒时却出现一个100%的超调。第8章 采样控制系统当等加速输入 作用于上述最少拍系统时，其输出函数的Z变换c(z)221)(ttr54323111215.1175.3)1(2)1()2()(
18、zzzzzzzzzzC与上式对应的过渡过程从图可见，反应等加速输入时过渡过程的持续时间ts仍为两个采样周期，但出现了数值等于1的常值稳态误差。第8章 采样控制系统 从上面分析看到，如果线性离散系统是对等速输入信号设计的最少拍系统，则反应位置阶跃输入信号(其时间幂次低于等速信号)时的过渡过程会出现100的超调，而反应等加速输入信号(其时间幂次高于等速信号)的过渡过程虽无超调现象，但系统将具有不为零的稳态误差。这说明，最少拍系统对输入信号的适应性较差。第8章 采样控制系统关于闭环脉冲传递函数关于闭环脉冲传递函数(z)或或e(z)的讨论的讨论按上面方法选取线性离散系统的闭环脉冲传递函数(z)或e(z
19、)，只有在系统开环脉冲传递函数G(z)的极点与零点中不包含位于单位圆上或单位圆外的极点与零点时，才是正确的。也就是说，在这种情况下选出的(z)或e(z)能使线性离散系统具有最少拍系统的特性。如果在开环脉冲传递函数G(z)的极点与零点中含有位于单位圆上或单位圆外的极点或零点时，则不能上面方法 选取(z)或e(z)。否则，因为G(z)含有的位于单位圆上或单位圆外的极点或零点得不到抵消或补偿，因此，在数字控制器的脉冲传递函数D(z)中含有位于单位圆上或单位圆外的极点或零点，这是在设计上所不希望的。可求得单位反馈系统的闭环脉冲传递函数(z)和e(z)、开环脉冲传递函数G(z)与数字控制器的脉冲传递函数
20、D(z)间的关系式为)()()()(zzGzzDe)()()()(zzGzDze第8章 采样控制系统为保证闭环系统稳定，闭环脉冲传递函数(z)、e(z)都不应含有在单位圆上或单位圆外的极点，这时，G(z)中位于单位圆上或单位圆外的极点，或应被D(z)的零点所抵消，或应合并到e(z)中去，即应在e(z)的零点中包含着G(z)的位于单位圆上或单位圆外的极点。在一般情况下，G(z)中那些单位圆上或单位圆外的极点不希望由D(z)的相同零点来抵消。这是因为由于不可避免的参数漂移会使D(z)的零点发生不利于上述完全补偿的变化。因此，G(z)中那些单位圆上或单位圆外的极点就只能包含在e(z)的零点中。又因为
21、D(z)不允许含有位于单位圆上或单位圆外的极点，另外，由于已经选定具有关于z1的多项式形式,所以G(z)中位于单位圆上或单位圆外的零点既不能为D(z)的同样极点来抵消，又不能合并到e(z)中去。因此,上述零点便只能反映到闭环脉冲传递函数(z)的零点中去。第8章 采样控制系统 根据上面的讨论，可得出按过渡过程在尽可能少的采样周期内结束的要求选取闭环脉冲传递函数(z)、e(z)时的限制条件，它们是 1闭环脉冲传递函数e(z)中必须含有与开环脉冲传递函数G(z)中那些位于单位圆上或单位圆外的全部极点相同的零点；2闭环脉冲传递函数(z)中必须包含与开环脉冲传递函数G(z)中那些位于单位圆上或单位圆外的
22、全部零点相同的零点；第8章 采样控制系统 3因为在开环脉冲传递函数G(z)中常常含有z1的因子，为使D(z)在物理上能实现，所以要求闭环脉冲传递函数也含有z1的因子，以便与G(z)相关因子的抵消，则要求闭环脉冲传递函数e(z)将包含常数项为1的关于z1的多项式形式。显见，表8-4所列的e(z)均满足上述要求。第8章 采样控制系统例例8-21 设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为)105.0)(11.0(10)(0ssssGsesGTsh1)(已知采样周期T=0.2秒。试计算能使给定系统反应单位阶跃函数的过渡过程具有最短可能时间的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。第8章
23、采样控制系统解解 计算给定系统的开环脉冲传送函数G(z)，即)0185.01)(135.01)(1()065.11)(05.01(76.0)()()(1111110zzzzzzsGsGZzGh因为G(z)具有一个位于单位圆外的零点，为满足上述限制条件2及3的要求，闭环脉冲传递函数(z)=1 e(z)必须含有项（1+1.065 z1）及z1的因子，即(z)应具有一个z1.065的零点。第8章 采样控制系统因此)065.11()(1)(111zzbzze将是e(z)所能具有的关于z1的项数最少的多项式。其中b1是待定的常系数。从上式可见，闭环脉冲传递函数e(z)是一个阶数不能低于2的关于z1的多项
24、式。因此，考虑到上述限制条件1，以及典型输入r(t)1(t)，即 v1，可写成如下形式：)1)(1()(111zazze式中a1 待定的常数。第8章 采样控制系统比较求得2112111065.1)1(zzbzaza解得：1111065.11baab)065.11(484.0)065.11()(11111zzzzbz)561.01)(1()1)(1()(11111zzzazze484.0561.011ba第8章 采样控制系统)561.01)(05.01()135.01)(0185.01(636.0)561.01)(1()065.11(484.0)065.11)(05.01(76.0)0185.0
25、1)(135.01)(1()()()()(111111111111111zzzzzzzzzzzzzzzzzGzzDe第8章 采样控制系统从求得的D(z)可见，数字控制器是物理上可实现的。经数字校正后系统的输出11111)065.11(484.0)()()(zzzzRzzCnzzzz321484.0可见，采样系统的单位阶跃响应在两个采样周期结束，较表8-4给出的暂态时间延长了一个周期，这是由于G(z)含有一个单位圆外的零点之故。第8章 采样控制系统 一般说来，最少拍系统暂态响应时间的增长与G(z)包含的单位圆上或圆外的零极点个数成正比。另外，G(z)中那些位于单位圆上或单位圆外的极点会引起最矩可
26、能的过渡过程时间的增长，而且也将和这些极点的个数成比例。第8章 采样控制系统 上面介绍了最少拍采样系统的设计方法。最少拍系统设计方法简便，系统结构简单，但在实际应用上存在一些问题。前面已经指出，最少拍系统对于各种不同典型信号的适应性差。对于一种典型输入信号设计的最少拍系统用于其它典型信号时性能并不理想。虽然可以考虑根据不同典型信号自动切换程序，但应用仍旧不便。最少拍系统对参数变化较敏感。当系统的参数受各种因素的影响发生变化时，会导致系统暂态响应时间的延长。第8章 采样控制系统 需要强调指出的是，按照上述方法设计最少拍系统只能保证在采样点稳态误差为零，而在采样点之间系统的输出有可能会产生波动(围
27、绕给定输入)，这种系统称为有纹波系统。纹波的存在不仅引起误差，而且增加功耗和机械摩损，这是许多快速系统所不容许的。适当增长系统暂态响应的时间(增加响应的拍数)，是能设计出既使输出无纹波又使暂态响应为最少拍采样周期的系统。关于无纹波最少拍系统的设计，请读者参阅有关文献。第8章 采样控制系统8.10 MATLAB在离散系统中 的应用 MATLAB在离散控制系统的分析和设计中起着重要作用。无论将连续系统离散化、对离散系统进行分析（包括性能分析和求响应）、对离散系统进行设计等，都可以应用MATLAB软件具体实现。下面举例，介绍MATLAB在离散控制系统的分析和设计中的应用。第8章 采样控制系统1 连续
28、系统的离散化连续系统的离散化 在MATLAB软件中对连续系统的离散化是应用c2dm()函数实现的，c2dm()函数的一般格式为第8章 采样控制系统例例8-21 已知离散系统的结构图如图8-38所示，求开环脉冲传递函数。(采样周期T=1s)图8-38 例8-20系统结构图解：解：可用解析法求,368.0368.1264.0368.0)1(11)(22zzzssZzzzG第8章 采样控制系统用Matlab可以方便求得上述结果。程序如下：%This script converts the transfer function%G(s)=1/s(s+1)to a discrete-time system
29、%with a sampling period of T=1sec%num=1;den=1,1,0;T=1numZ,denZ=c2dm(num,den,T,zoh);printsys(numZ,denZ,Z)打印结果368.0368.1264.0368.02zzz第8章 采样控制系统2 求离散系统的响应求离散系统的响应 在Matlab软件中，求离散系统的响应可运用dstep()、dimpulse()、dlism()函数实现。其分别用于求离散系统的阶跃、脉冲及任意输入时的响应。dstep()的一般格式如下第8章 采样控制系统例例8-22 已知离散系统结构图如图8-39所示，输入为单位阶跃，采样周
30、期T=1s，求输出响应。图8-39 例8-22系统结构图第8章 采样控制系统解：解：368.0368.1264.0368.0)1(11)(22zzzssZzzzG632.0264.0368.0)(1)()(2zzzzGzGz54321214.14.14.1368.0)632.0)(1()264.0368.0()()()(zzzzzzzzzzzRzzC第8章 采样控制系统用Matlab中的dstep()函数可很快得到输出响应，如图8-40所示。程序如下：%This script gene rather the unit step response,y(kT),%for the sampled d
31、ata system given in example%num=0 0.368 0.264;den=1 1 0.632;dstep(num,den)%This script computes the continuous-time unit%step response for the system in example第8章 采样控制系统numg=0 0 1;deng=1 1 0;nd,dd=pade(1,2)numd=dd-nd;dend=conv(1 0,dd);numdm,dendm=minreal(numd,dend);%nl,dl=series(numdm,dendm,numg,de
32、ng);num,den=cloop(nl,dl);t=0:0.1:20;step(num,den,t)第8章 采样控制系统图8-40 系统阶跃响应第8章 采样控制系统例例8-23 已知系统的传递函数)10)(15.0()22.0(10)(22ssssssG要求：绘制连续系统的脉冲响应，以及T=1，0.1，0.01s时离散系统的脉冲响应。解解：求系统的脉冲响应可利用Matlab中的impulse()及dimpulse()函数，设终端时间为Tf。第8章 采样控制系统响应曲线如图8-41所示。程序如下：num=10*1 0.2 2;den=conv(1 0.5 1,1 10);clfsubplot(
33、2,2,1)Tf=15;t=0:0.1:Tf;impulse(num,den,t)m=1;第8章 采样控制系统while m=3,Ts=1/10(m-1);subplot(2,2,1+m)numd,dend=c2dm(num,den,Ts);y,x=dimpulse(numd,dend,Tf/Ts);tl=0:Ts:Tf-Ts;stairs(tl,y/Ts)xlabel(Timelsre(s)ylabel(Amplitude)m=m+1;end第8章 采样控制系统图8-41 系统脉冲响应第8章 采样控制系统小小 结结 本章首先讨论了离散信号的数学描述，介绍了信号的采样与保持。引入采样系统的采样
34、定理（香农定理），即为了保证信号的恢复，其采样频率信号必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。为了建立线性离散控制系统的数学模型，本章引进Z变换理论及差分方程。Z变换在线性离散控制系统中所起的作用与拉普拉斯变换在线性连续控制系统中所起的作用十分类似。本章介绍的Z变换的若干定理对求解线性差分方程和分析线性离散系统的性能是十分重要的。第8章 采样控制系统 本章扼要介绍了线性离散控制系统的分析综合方法。在稳定性分析方面，主要讨论了利用Z平面到W平面的双线性变换，再利用劳斯判据的方法。值得注意的是，离散控制系统的稳定性除与系统固有结构和参数有关外，还与系统的采样周期有关，这是与连续控制系统分析相区别的重要一点。其它，诸如稳态误差、动态响应等分析都有阐述。在离散控制系统的综合方法中，本章主要介绍了无稳态误差最少拍系统的设计。结合几个实例介绍了MATLAB在离散控制系统中的应用。返回
