1、4 4- -3 3 极坐标中的应力函数极坐标中的应力函数 与相容方程与相容方程(A)(A) 一一.平面直角坐标系中，体积力为常数平面直角坐标系中，体积力为常数 常数 零 1、应力表示的相容方程：、应力表示的相容方程： （2-22） 0)()( 2 2 2 2 2 yxyx yx 2应力函数表示的相容方程：应力函数表示的相容方程：（2-24） 02 4 4 22 4 4 4 4 yyxx 二二. 极坐标下的相容方程极坐标下的相容方程 应力分量：应力分量： yx yY x xX y xy y x 2 2 2 2 2 （2-23） sin cos ry rx x y arctgyxr, 222 ),
2、(),(),(rryrx 在极坐标下对在极坐标下对x x和和y y的方向导数的方向导数 r x y sincos rrx sin)sincos( cos)sincos( 2 2 rrr rrrx x 2 2 2 222 22 2 2 sinsincossin2 cossin2 cos rrrrr rr y 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 ) 2 (sin) 2 (sin) 2 cos() 2 sin(2 ) 2 cos() 2 sin(2 ) 2 (cos rrrrr rry x 2 2 2 222 22 2 2 coscoscossin2 cossin2 sin rrrrr rr
3、 x cos)sincos( sin)sincos( 2 rrr rrryx 2 2 2 222 2 22 2 22 cossincossinsincos sincos cossin rrrrr rryx xy ) 11 )( 11 ( 2 2 22 2 2 2 22 2 4 rrrrrrrr rrrrrrrr 2 3 33 3 4 4 422 4 24 4 2212 0 141 32 2 42 2 2 rrrrr 4 4 432 2 23 3 4 4 4 1112 rrrrrrrr 0 422 2 2 42 3 322 4 2 rrrrr 22 2 2 2 2 2 2 2 2 rrrryx
4、极坐标相容方程极坐标相容方程 0)()( 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 rrrryx 4.4 4.4 应力的座标变换应力的座标变换 一.坐标的旋转变换应力的坐标变换 r r n X n Y x y r m l Y X yyx xyx n n y x lm ml y x n n r r Y X lm ml 1 , TTTTdenoting lm ml lm ml Thus m l lm m l mlhavewe m l lm ml From T xy T r yyx xyx rr rr rr yyx xyx r r n nr Y X lm ml l m lm ml Y X lm
5、ml yyx xyx n nr lm ml lm ml yyx xyx r r r n X n Y r x y r o l m Y X yyx xyx n n TT rxy 1 )sin(coscossin)( cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 rrxy rry rrx )sin(coscossin)( cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 xyxyr xyyx xyyxr 1 TT xyr 三三. .极坐标下的应力极坐标下的应力 比较比较 )sin(coscossin)( cossin2cossin cossin2s
6、incos 22 22 22 rrxy rry rrx 与与 2 2 2 222 22 2 2 sinsincossin2 cossin2 cos rrrrr rr y 2 2 2 222 22 2 2 coscoscossin2 cossin2 sin rrrrr rr x 2 2 2 222 2 22 2 22 cossincossinsincos sincos cossin rrrrr rryx xy 可得 可证明可证明: 当当 时时,(4-5)能满足平微方程能满足平微方程(4-1) 0 r KK (4-5) ) 1 ( 11 2 2 2 2 2 rr r rrr r r 1.1.应力分
7、量（采用应力函数表示，不计体力） 2.相容方程：（采用应力函数，不计体力） 小结：小结： ) 1 ( 11 2 2 2 2 2 rr r rrr r r （4-5） 0)( 22 2 2 2 r rrrr 0) 11 ( 2 2 2 22 2 4 rrrr（4-6） 3 3.求解：在略去体力分量按应力求解平面问题时，可归 结为根据（4-6）求出应力函数，然后根据（4-5）求应 力 ，并满足位移单值条件，在边界上满足应力边界条件。 4.5 4.5 轴对称问题的一般解轴对称问题的一般解 一一. 轴对称问题轴对称问题 构件的几何形状，受力及约束状态都关于通过Z轴 的平面对称。故应力分量与 无关。 若
8、不计体力 （1 1）平微方程：）平微方程： 0 21 0 1 K rrr K rrr rr r rrr 00 0 rdr d rr 0 1 r u r u r u r uu r r u r rr r r r （3 3）物理方程不变：）物理方程不变： r r r r rr EG E E )1(2 )( 1 )( 1 （2 2）几何方程：）几何方程： （1 1）平微方程：）平微方程： 0 rdr d rr （4 4）相容方程：）相容方程： CrB r ln)( 0)( 1 ( 2 2 r dr d rdr d 方程汇总 二二. 轴对称问题应力分量轴对称问题应力分量 与平衡方程 联立 0 r r d
9、r d r CrB dr d r r r ln2 24 ln 2 2 CB r B r A r 24 ln 2 2 CB r B r A C r A r 2 C r A 2 注意应力的有界性，必有注意应力的有界性，必有B B=0=0。式中的常数重新命名：。式中的常数重新命名： 由几何方程 0 1 )1 ()1 ( 1 )1 ()1( 1 2 2 r u r uu r C r A Er u r u C r A Er u r r r （a） A 、 C、F 、I 、 K都是任意常数其中F 、I 、 K和2-4节 中的 、 u0 、 v0一样代表刚体的位移(由位移边界确定) *对于平面应变问题对于平
10、面应变问题 1 , 1 , 2 E E换成 sincosKI)1 ()1 ( 1 Cr r A E ur cossinKIFru （4-12） 求解微分方程得： 积分过程如下积分过程如下( (简单了解简单了解) )： 由（由（a a）第一式积分：）第一式积分： )()1 ()1 ( 1 frC r A E ur （b） 0)()( 1 )()( 1 11 rfdf r rff rr u r u r ur )()( ),( 1 rfdfu f u Dfdfrfrf r )()()()( 111 对于两个独立的变量要保持等式恒成立，必须有对于两个独立的变量要保持等式恒成立，必须有 )1 ()1(
11、1 2 C r A Er ur )1 ()1 ( 1 2 C r A Er u r ur D dr rdf rrf )( )( 1 1 （d） Ddf d df )( )( （e） 求解：求解： (d)(d)为线性微分方程，可用分离变量法为线性微分方程，可用分离变量法: r dr Drf rdf )( )( 1 1 对于对于(e)(e)式求导得式求导得 0)( )( 2 2 f d fd 通解为通解为: : DFrrf)( 1 （f） sincos)(KIf（g） 将将(g)(g)式带入式带入(b)(b)式式 )1 (2)1 ( 1 Cr r A E ursincosKI (h、f）代入（c）式： cossinKIFru 由由(e)得：得： cossin )( )(KID d df Ddf (h) 式中：式中： A 、 C、F 、I 、 K都是任意常数其中都是任意常数其中F 、I 、 K和和2-4节节 中的中的 、 u0 、 v0一样代表刚体的位移一样代表刚体的位移(由位移边界确定由位移边界确定) *对于平面应变问题对于平面应变问题 1 , 1 , 2 E E换成 sincosKI)1 ()1 ( 1 Cr r A E ur cossinKIFru （412） 作业 4.2 Thank Everybody !
