1、 例如例如,三维空间任意一点三维空间任意一点P P在笛卡儿坐在笛卡儿坐标系标系321,xxx用指标符用指标符号表示为号表示为3,2,1,ixinaaaa,321 niai,2,1,nxxxx,321 nixi,2,1,i取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数n nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维3131ijjiijyxA333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAy
2、xAyxAjiijkjiijkzyxA 333323213123232221211313212111bxAxAxAbxAxAxAbxAxAxAijijbxA j i在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同013,2,1,01133132232112332211时，有当当当jijijiijji1100010001333231232221131211ij若若321,eee是相互垂直的单位矢量，则是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeeej ijiee，但，但3332211i i而而，故，故i iiiee3i i注意：注意：是一个数值，即是一个数值，即i ij ijieei iiie
3、eijmjimiiiijijAAaaaaa332211j i的作用：的作用：1）换指标；）换指标；2）选择求和。）选择求和。例例j ijkTTj ij ii ijkkiTTT例例jmimjninjnimnmBABABAjnimBA个数，个数，813,4nm 项的和。项的和。求求特别地，特别地，j ijkkimimjjkki,等若有两个或三个指标相若若2,3,1,3,1,2,1,2,3,2,1,3,1,3,2,3,2,1,011kjikjieijk011113112111321132213312231123 eeeeeeeee偶次置换奇次置换也称为三维空间也称为三维空间的排列符号。的排列符号。k
4、j ie1001010100131211232221333231321333222111321321321eekjikjikjikkkjjjiiiijkkijjkiijkkjiikjjikijkeeeeeee333222111321321321rqprqprqpkkkjjjiiipqrijkeeippipipipi11332211Kronecker delta符号与置换符号的关系krkqkpjrjqjpiriqippqrijkeekrkqkpjrjqjpiriqippqrijkeejqirjriqjrjqiriqkqrijkeekpitjsjtiskstkijee321321322311332
5、112312213322113312312332211333231232221131211kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAiririrjrijjjirrjkijkee23itjsjtiskstkijee32kijkrjirjjijjriririree 62iiijkijkee 321,eeeiieaeaeaeaa332211 jjiiijjijjiibababaebeabaijjiee 任意两矢量a和 b的点积),cos(|bababa两矢量a和 b用正交基 表示,则其点积为iekjkjkikieeee kijktijttjsir
6、rstjjjiiijieeeeeeeeeee321321321kijkjieeeeabab jiijkkkjiijkkijkjijijijjiibaeccebaeeebaeebaebeabakjiijkkrrjiijkrrkjiijkcbaecbaeecebaecba ijkrkijrkrijrkjieeeeeeeeikjjikkjikll j ik j i)()()(eeeeeeeeeeeee 旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：321xxxO单位基矢量：),(321eee新坐标系：321xxxO),(321eeej ijijijiji),cos(),cos(|eeeeeeee单位基矢量：旧
7、新1e2e3e1e2e3e111221312213233233 新旧1e2e3e1e2e3e11 12 21 31 22 13 23 32 33 j ijijijiji),cos(),cos(|eeeeeeeejj ijjiieeeeejj ijjiieeeeej i 变换系数kjkiktt jkit jkijij i tkeeeek jk itkt jk it jk ijiij tkeeeei jj i 即kjkij i k jk iij任一矢量u在新旧坐标中表示一致iiiiuueeujjji jiiiuuueeejjjj iiiiuuueee即ii jjuuij ijuu矢量u本身与坐标无
8、关,矢量的分量ui随坐标系而变 推广矢量的概念ii iiuu1111iiiiTT21221121iiiiiiiiTT 若在空间任一组基 下,有用n个指标编号的 个数ien3niiiT21张量的定义当基矢量按 变换成 时,个数 按如下规律变换iiiieen3niiiT21iennnniiiiiiiiiiiiTT21221121n3niiiT21 个数 的有序集合为一个n阶张量.称niiiT21lijkl lkkj ji ilkj i lkjilijkeeee iii i 标量 零阶张量，不随坐标变换而变的不变量矢量 一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它 随坐标系的变化而变化在一个坐标系中,某
9、一张量的所有分量为零,按定义,则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为零张量,O例:证明 是一个三阶张量(置换张量)ijke ijkkkjjiikjikkjjiikkkjjjiiikjikjiee)()()(eeeeeeeee满足变换规律,即是一个三阶张量ijke例:和 是两个任意矢量,是标量.iaibjiijbajij ijiijj ji ijj jii iijjiij babababa)(证明 是一个二阶张量ij和 是任意的,iaibijj ji ij i 得证二阶张量nnnniiiiiiiiiiiiTT21221121jij ijij ij ieeTeeBABAT )(beTaeeT
10、eaTakijjkikjjkii)()(矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量新张量b b比原张量比原张量 T T的阶数降低的阶数降低一一阶阶 ceaTeaTeaeeTaTijijjkikijkkjiij)()(aTTaAeeTaeeeeTaeeTeaTakrjkiijrkrijrjkikjjkii)()(BeeaTeeeeaTeaeeTaTrikijjkrrjkrikijkkjiij)()(SeeeeBAeeeeBAeeeBeeeABAtsjitkskijtskrjitrskijtsrtrskjikij )()(两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积
11、的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 2 2 两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘 jiijeeAA 332211AAAAAeeAAiiijijjiij在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运这种运算称为缩并算称为缩并 若在某坐标系中按某规律给出若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数个数 A(ijk),且且A(ijk)bk=Cij,其中其中bk 是与是与A(i
12、jk)无关的任意矢量无关的任意矢量,Cij是张量是张量,那么那么,A(ijk)必为比必为比Cij高一阶的张量。高一阶的张量。二阶张量T 仿射量,线性变换uTvv,u为矢量,用矩阵表示则Tvvv321vTuuu321u333231232221131211TTTTTTTTTTuTv uTv BAC BAC 1:二阶张量的矩阵表示2:二阶张量的行列式detdetdetTTijTjjTiiI二阶张量的行列式与坐标无关,是不变量.与单位矩阵I对应的张量叫单位张量I单位张量I与除标量外的任意张量B的点积仍为B单位矩阵Idetdet)det(detdetjijijjTiijjjiTiijjjiTiijijj
13、iiijTTTTTTjiijeeBBuvBiiijijkkjiijeuevBeveeBbBaBbaB)(B B的作用如同一个算子的作用如同一个算子,它使空间内每一个向量变换它使空间内每一个向量变换为另一个向量为另一个向量,或者说或者说 B B 能把一个向量空间映射能把一个向量空间映射为另一向量空间。为另一向量空间。若T,对B有:TB=BT=I,则T可逆,B=T-1为逆张量充要条件:T的行列式不为零jiijAB TABijA对定义B为A的转置张量转置张量的运算性质:A,B是二阶张量,u,v是任意矢量TTTABBA)(TAuuA3、二阶张量的逆与转置逆张量运算性质:A,B是二阶张量AA11)(11
14、1)(ABBA11)(det()det(AATT)()(11 AA3、二阶张量的逆与转置4:二阶张量的对称与反对称TAA若则A是对称二阶张量AAT若即 则A是反对称二阶张量jiijAAWST任意一个二阶张量T可表示成一个对称张量S和一个反对称张量W之和(张量的加法分解)(21 W )(21)(21S ),(21ijijjiijTjiijTTTTTTTWTTS 某二阶对称张量S,若存在一个数和单位矢量a,使得)(0aISaaS成立,则为张量S的特征值(主值),a为张量S对应特征值的特征矢量(主方向).根据商法则,为标量.0)(jijijijijaSaaS 1jjaa单位矢量a0)det(3332
15、31232221131211SSSSSSSSSIS 展开032213III其中StrSIii1231223212113333222211222)(21)(21SSSSSSSSStrtrSSSSIjiijjjiiSSSdet3I321,III分别为S的第一、第二和第三不变量iiStr S张量S的迹jiijkijkijSSeeSStrtrtr)()(2SSS 在空间所论域内在空间所论域内,每点定义的同阶张量每点定义的同阶张量,构成了张量场。一般张量场中被考察的张构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域
16、进入张化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。量分析的领域。一个张量一个张量F F依赖于另一张量依赖于另一张量T T而变化而变化F(T)F A:标量的矢量函数iituteu)()(矢量u是t的函数,ui也是t的函数,如ui可导,则矢量u对t的导数为:iidttdudttdeu)()(iidtdudtdeuiidudeu B:矢量的标量函数标量f是矢量u的函数即)e(u)iiufff若f可连续偏导,则uueedfduufduufdfjjiiii)()(iiijjijijijjiiduufduufduufduufeeee)()(f对u的导数是一个矢量iiuffeuC:矢量的矢量函数矢量u是矢量v的函数即)(iiiivueueu(v)u若ui的偏导连续.则jjiidvvuduvvueeueeuddddvvdvvududkkjjjijiii)()(jjjijivvuddeueevu称为u对v的导数,是一个二阶张量jij ji ijkjkjii ijjjii ijivuvvvuvvvuvu)()(若标量f是二阶张量Tij的函数,即D:二阶张量的标量函数)(T)ijTfff若f对二阶张量Tij的偏导连续,则TTeeeedfdTTfdTTfdflkkljiijijij)(:)(jiijTffeeTf相对于T的导数,二阶张量
