1、1 2 31 概述概述 32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析 35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题 37 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 39 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力 第三章第三章 扭扭 转转 3 31 概概 述述 轴：轴：工
2、程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。 扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 A B O m m O B A 4 扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（剪应变（）：直角的改变量。 m m O B A 5 工工 程程 实实 例例 6 32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系： m)(kN559 n P .m m)(kN0247 n P .m m)(kN1217 n P .m
3、其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm） 其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm） 其中：P 功率，马力（HP） n 转速，转/分（rpm） 1PS=735.5N m/s , 1HP=745.7N m/s , 1kW=1.36PS 7 3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。反之为负。 二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩 m m m T mT mT mx 0 0 x 8
4、4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的 扭矩变化规律； |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 x T 9 例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩 图。 n A B C D m2 m3 m1 m4 解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩 m)15.9(kN 300 500 9.55559 1 1 n P .m m)(kN 784 300 150 9.55559 2 32 . n P .mm
5、m)(kN 376 300 200 9.55559 4 4 . n P .m 10 n A B C D m2 m3 m1 m4 1 1 2 2 3 3 求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设） mkN784 0 , 0 21 21 .mT mTmC mkN569784784( , 0 322 322 .)mmT mmT mkN376 , 0 42 43 .mT mT 11 绘制扭矩图绘制扭矩图 mkN 569 max .TBC段为危险截面。段为危险截面。 x T n A B C D m2 m3 m1 m4 4.78 9.56 6.37 12 33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒
6、：薄壁圆筒：壁厚 0 10 1 rt （r0：为平均半径） 一、实验：一、实验： 1.实验前：实验前： 绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶施加一对外力偶 m。 13 2.实验后：实验后： 圆周线不变；圆周线不变； 纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。 3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 14 a c d dx
7、 b dy 无正应力 横截面上各点处，只产 生垂直于半径的均匀分布的剪 应力 ，沿周向大小不变，方 向与该截面的扭矩方向一致。 4. 与与 的关系：的关系： L R RL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示： 15 二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tA T tr T TtrrAr TrA A A 2 2 2d d 0 2 0 000 0 A0：平均半径所作圆的面积。 16 三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0 故 dxdytdxdyt mz 上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面
8、上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 a c d dx b dy t z 17 四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。 18 T=m )( ) 2( 0 R L tA T 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（时（ p)，剪应力与剪应
9、变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。 19 G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢 材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 （推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。 )1 ( 2 E G 20 34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力 变形几何方面变形几何方面 物理关系方面物理关系方面 静力学方面静
10、力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。 一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察： 21 二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：变形几何关系： xx GG d d d tg 1 xd d 距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。 xd d 扭转角沿长度方向变化率。 22 2. 物理关系：物理关系： 虎克定律： 代入上式得： G x G x GG d d d d x G d d 23
11、 3. 静力学关系：静力学关系： O dA A x G A x G AT A A A d d d d d d d 2 2 AI Ap d 2 令 x GI T p d d p GI T x d d 代入物理关系式 得： x G d d p I T 24 p I T 横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性
12、矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 25 单位：单位：mm4，m4。 AI Ap d 2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。 4 4 2 0 2 2 10 32 d2 d D. D AI D Ap 对于实心圆截面： D d O 26 对于空心圆截面： )1 (10)1 ( 32 )( 32 d2 d 444 4 44 2 2 2 2 D. D dD AI D d Ap )( D d d D O d 27 应力分布应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提
13、高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。 28 确定最大剪应力：确定最大剪应力： p I T 由 知：当 max , 2 d R ) 2 ( 2 2 max d IW W T d I T I d T p t p p 令 t W T max Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 33 2016D.DRIW pt 对于空心圆截面： )-(12016)1 ( 4343 D.DRIW pt 29 三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要
14、研究斜截面上的应力。 30 1. 点M的应力单元体如图(b)： (a) M (b) (c) 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)： (d) x 31 (d) x n t 转角规定： 轴正向转至截面外法线 逆时针：为“+” 顺时针：为“” 由平衡方程： 0)cossind()sincosd(d ; 0AAAF n 0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAF t 解得： 2cos ; 2sin 32 2cos ; 2sin 分析： 当 = 0时， max00 , 0 当 = 45时， 0 , 45min45 当 = 45时， 0 , 45max45 当 = 90时， max90
15、90 , 0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截 面和纵截面上的剪应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。 33 四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：强度条件： 对于等截面圆轴：对于等截面圆轴： max max t W T ( 称为许用剪应力。) 强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max t W T max T Wt max t WT ）（空： 实： 4 3 3 1 16 16 D D Wt 34 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转
16、/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。 n N mTBC 2 103 m)(kN551 m)(N 4151432 10150 3 . T m 解：求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 此轴满足强度要求。 D3 =135 D2=75 D1=70 A B C m m x MPa23 16070 10551 3 3 max . . W T t 35 35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 一、扭转时的变形一、扭转时的变形 由公式 p GI T x d d 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为 值不变）若 (
17、 d d 0 T GI Tl x GI T p l p 36 二、单位扭转角二、单位扭转角 ： (rad/m) d d p GI T x /m)( 180 d d p GI T x 或 三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) max p GI T /m)( 180 max p GI T 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。 37 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max G T I p max p GIT 有时，还可依据此条件进行选材。 38 例例33长为 L=2m 的圆杆受均
18、布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2 /m ，试校核此杆的刚 度，并求右端面转角。 解：设计杆的外径 max T Wt 1 16 D 4 3 ）（ t W 3 1 4 max 1 16 ）（ T D 39 3 1 4 max 1 16 ）（ T D 40Nm x T 代入数值得： D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度 180 max max P GI T 40 40Nm x T 180 max max P GI T 891 11080 1804032 4429 . )(D 右端面转角
19、为： 弧度）( 0330 4 102040 2 0 2 2 00 . )xx( GI dx GI x dx GI T PP L P 41 例例44 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知： G=80GPa ， =70M Pa， =1 /m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500 400 N1 N3 N2 A C B T x 7.024 4.21 (kNm)
20、 m)(kN0247 n N .m 42 16 3 1 Td W t mm467 1070143 42101616 3 6 3 2 . . T d 32 4 G Td I p mm80 1070143 70241616 3 6 3 1 . T d 由刚度条件得： 500 400 N1 N3 N2 A C B T x 7.024 4.21 (kNm) 43 mm474 11080143 180421032 32 4 92 4 2 . . G T d mm84 11080143 180702432 32 4 92 4 1 . G T d mm75 mm85 21 d,d综上： 全轴选同一直径时 m
21、m85 1 dd 44 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 T x 4.21 (kNm) 2.814 45 36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程；平衡方程； 几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得； 物理方程；物理方程； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 46 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m
22、=20Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa， 试求固端反力偶。 解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： 02 BA mmm 47 几何方程变形协调方程 0 BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程： 0 40220 2 00 P A P A L P BA GI m dx GI xm dx GI T mN 20 A m 由平衡方程和补充方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。 mN 20 B m 48 37 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 G dV)dx(dzdy)(dW 2 1 2 1 2
23、 2 1 2 1 d d d d G V W V U u 一、一、 应变能与能密度应变能与能密度 a c d dx b dy dz z x y 单元体微功：单元体微功： 应变比能：应变比能： 49 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 1. 1. 应力的计算应力的计算 = + Q T Q T t TQ W T A Q max 近似值： 323 8 1 2 416 2 d DP D d d P d PD P Q T 50 2. . 弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件: : 8 3 d DP K max 精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响） 33max 886150 4
24、4 14 d DP K d DP C . C C 其中： d D C C . C C K 6150 44 14 称为弹簧指数。 称为曲度系数。 51 3. .位移的计算位移的计算( (能量法）能量法） 为弹簧常数。 64 ; 64 ; 3 4 4 3 nR Gd K K P Gd nPR UW PW 2 1 外力功： 变形能： AL I T G VUU pVVV d 2 1 d 2 1 d 2 pp GI PRRn L I T G2 2 2 1 2 2 52 例例66 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的
25、近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？ 解：最大剪应力的近似值： MPa329 0180 50012508 1 1252 18 8 1 2 3 3max . . . )( d DP ) D d ( 53 最大剪应力的精确值： 091 6150 44 14 ; 6315 18 125 . C . C C K. d D C MPa233 0180 50012508 091 8 33max . . . . d DP K 弹簧圈数： 66 125050064 1018826 64 3 64 3 4 . .PR Gd n （圈） 54 38 非圆截面等直
26、杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保 持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不 适用，须由弹性力学方法求解。 55 一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。 二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。 三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力: : h b h 1 T max 注意！ b 1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） 56 2. 最大剪应力及单位扭转角
27、 max1 h b h 1 T max 注意！ b max max t W T 3 b t W其中： 4 bIt , t GI T 其中：It相当极惯性矩。 57 hb t W W T t 2 max max :其中 注意！注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义： hbI GI T t t 3 : , 其中 max1 3 1 ; ) 10 : ( b h 即对于狭长矩形 查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。 h b h 1 T max 注意！ b 58 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两
28、端受扭转力偶 T=4000N m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1 /m ，试校核 此杆的强度和刚度。 解：查表求 、 校核强度 0.493 ; 0.457 ; 2 50 100 b h m106610504930 3633 .b t W 59 校核刚度 MPa65 10661 4000 6 max max . W T t 4844 m102840504570 bIt /m1rad/m017450 102861080 4000 o 89 . GI T t 综上,此杆满足强度和刚度要求。 60 一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。 二
29、、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚），厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。 39 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力 61 三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b b），同），同 一厚度处，应力均匀分布。一厚度处，应力均匀分布。 62 四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取）图上取 单元体如图（单元体如图（d）。）。 图（c） 1 2 图（d） 2211 d d ; 0xxX 常量 2211 63 min max 2 T 22 d)ds(T 积。为厚度中线所包围的面 2 1 dds 64 例例88下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm， b=75mm，厚度t =5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000N m，试 求此杆的最大剪应力。 解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力： b a t MPa42 10755052 5000 22 9 min max abt TT 65
