1、等积变换北京五中分校熊鸣北京五中分校熊鸣等积变换的基本原理：等底等高等底等高的两个三角形面积相等。不等底但等高不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的比等底但不等高等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比等积变换的基本图形等积变换的基本图形一一.用等积变换作图用等积变换作图v根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。例1.用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。v例例2.如图如图 ABC，过，过A点的中线能把三角形点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。你能过分成面积相同的两部分。你能过AB边上一点边上一点E作一条直线作一条直线EF，使它也将这个三角形分成，使它也将这个三角
2、形分成两个面积相等的部分吗？两个面积相等的部分吗？A AB BC CE E过梯形中位线中点且与上下底相交的任意直线（西城（西城08一模）如图，梯形纸片一模）如图，梯形纸片ABCD中，中，ADBC且且ABDC.设设AD=a,BC=b.过过AD中点中点和和BC的中点的直线可将梯形纸片的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积面积分成面积相等的两部分分成面积相等的两部分.请你再设计一种方法请你再设计一种方法:只须用剪子剪一次将梯形纸片只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法说明你的分割方法.ABCD 例例3.
3、有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数如果只允许引一条直线，你能办到吗？份数如果只允许引一条直线，你能办到吗？A B C D例4有一块形状如图的耕地，兄弟四人要把它分成四等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数ABCDEEFMHPABCDG二二.用等积变换比大小用等积变换比大小v比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。v例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点。求AEF是平行四边形的几分之几？所有空白
4、部分占整个平行四所有空白部分占整个平行四边形面积的分数求出来了边形面积的分数求出来了,于是阴影部分于是阴影部分AEFAEF的面积的面积所占的分数便是所占的分数便是例例2.如图任意如图任意ABCD.求四边形求四边形EFGH与与ABCD面积之比面积之比.v连结E、D和B、D，用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。三三.用等积变换求面积用等积变换求面积例1如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积 这道题可以直接解答，也可以把两这道题可以直接解答，也可以把两个阴影部分集中，连结个阴影部分集中，连结ACAC，因为，因为ABAB平行于平行于D
5、CDC，所以，所以DAEDAE的面积的面积=CAECAE的面积，两个阴影部分的面积就换的面积，两个阴影部分的面积就换成一个成一个 CABCAB的面积了。的面积了。例例2如图，已知，正方形如图，已知，正方形ABCD的边长是的边长是a，正，正方形方形CEFG 的边长为的边长为b，且点，且点B、C、E在一条在一条直线上直线上.连结连结AG、GE、AE，求，求AGES G F E C B A Dv例例3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。如果四边形ABCD的面积是20，那么BNDM的面积是多少？MDNCBA两个白色的四边形两个白色的四边形ANCQANCQ、BPDMBPDM的面积
6、的面积相等，故有相等，故有y=xy=x例5四边形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知ABD+BDC=90度,求ABCD的面积 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做ABD关于L的对称图形BD.连接C 如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如图 图中有ECA=110度,所以CED=110度.易证CDA=40度.四四.用等积变换证题用等积变换证题v如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的边上任意一点，DEAB，DFAC，CG是AB边上的高。证明：CG=DED
7、F。已知：如图，以矩形已知：如图，以矩形ABCD的顶点的顶点A为顶点，为顶点，以以AD为角平分线作两射线，分别与为角平分线作两射线，分别与BC与与CD的的延长线交于点延长线交于点E和和F，连结，连结EF。求证：求证：.ABCDAEFSS矩矩形形 F B C A D E又如四中这次提招中有这么一道题,ABC,D为BC中点过点D向AB,AC作垂线.BE=2,CF=1,EF/BC.求EFv连A,D.由等积关系易知DF=2DEv设DE=x,则DF=2xv由勾股定理易得vX=1v从而得到EF的v平方为5,算出EF.已知矩形已知矩形ABCD和点和点P，当点，当点P在图在图1中的位置时，则中的位置时，则有结
8、论：有结论：。理由：过点理由：过点P作作EF垂直垂直BC，分别交，分别交AD、BC于于E、FPBCPACPCDSSS当点当点P分别在图分别在图2、图、图3中的位置时，上面三中的位置时，上面三个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明种情况的猜想给予证明（丽水（丽水08）.如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（坐标为（2，4），直线），直线X=2与与X轴相交于点轴相交于点B，连结，连结OA，抛物线，抛物线Y=X2从点从点O沿沿OA方
9、向平移，与直线方向平移，与直线X=2交于交于P点，顶点点，顶点M到点到点A时停止移时停止移动动 （1）求线段）求线段OA所在直线的函数解析式；所在直线的函数解析式；v（2）设抛物线顶点）设抛物线顶点M的横坐标为的横坐标为m,v 用用m的代数式表示点的代数式表示点P的坐标；的坐标；v 当当m为何值时，线段为何值时，线段PB最短；最短；v（3）当线段）当线段PB最短时，相应的抛物线最短时，相应的抛物线v上是否存在点上是否存在点Q，使，使 PMA 的面积与的面积与vQMA的面积相等，若存在，请求出的面积相等，若存在，请求出v点点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由五五.用等积变
10、换来分割拼图用等积变换来分割拼图v直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与之面积相等的矩形？任意的三角形呢？v对任意四边形，你能设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形吗？用等积变换来分割拼图用等积变换来分割拼图用等积变换来分割拼图用等积变换来分割拼图v分割图形的应用很多。如下图，大家应该非分割图形的应用很多。如下图，大家应该非常熟悉了，在此不在赘述。常熟悉了，在此不在赘述。人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这就意味着
11、不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。6.凡是内心能够想到.相信的，都是可以达到的。NapoleonHill 77.一个客观的艺术不只是用来看的，而是活生生的。但是你必须知道如何去靠近它，因此你必须要做静心。OSHO 78.烦恼使我受着极大的影响我一年多没有收到月俸，我和穷困挣扎；我在我的忧患中十分孤独，而且我的忧患是多么多，比艺术使我操心得更厉害！米开朗基罗 79.有两种东西，
12、我们对它们的思考愈是深沉和持久，它们所唤起的那种愈来愈大的惊奇和敬畏就会充溢我们的心灵，这就是繁星密布的苍穹和我心中的道德律。康德 80.我们的生活似乎在代替我们过日子，生活本身具有的奇异冲力，把我们带得晕头转向；到最后，我们会感觉对生命一点选择也没有，丝毫无法作主。索甲仁波切 81.如果你是个作家，这是比当百万富豪更好的事，因为这一份神圣的工作。哈兰爱里森 82.成为一个成功者最重要的条件，就是每天精力充沛的努力工作，不虚掷光阴。威廉戴恩飞利浦 83.人生成功的秘诀是，当机会来到时，立刻抓住它。班杰明戴瑞斯李 84.不停的专心工作，就会成功。查尔斯修瓦夫 40.你要确实的掌握每一个问题的核心
13、，将工作分段，并且适当的分配时间。富兰克林 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心
14、而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没
15、有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人
16、，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧
17、憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气
18、息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 1
19、16.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持
20、续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
