1、第一节 解析函数的洛朗展式 1. 双边幂级数双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式 3. 洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系 4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 5. 典型例题典型例题 第五章第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点解析函数的洛朗展式与孤立奇点 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数 和计算留数的基础。和计算留数的基
2、础。 1. 双边幂级数双边幂级数 形如形如 )1()()( )()()( 0010 1 0100 n n n n n n n zzczzcc zzczzczzc -双边幂级数双边幂级数 正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分： )2()()()( 0010 0 0 n n n n n zzczzcczzc 都是常数都是常数及及其中其中), 2, 1, 0( 0 ncz n 负幂项部分负幂项部分： )3()()()( 0 1 01 1 0 n n n n n zzczzczzc 级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在 z - z0 = =R
3、2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在 z - z0 =R 2外发散。外发散。 则则若令若令对于级数对于级数, 1 ),3( 0 zz 级数发散。级数发散。级数收敛级数收敛则当则当 设其收敛半径为设其收敛半径为为幂级数为幂级数级数级数对变数对变数 RR R , ,)4( )4()( 2 21 11 0 n n n n n n n n cccczzc )4(, 11 , 1 100 则级数则级数代回得代回得将将 令令 R R zzzz .;)(, 1010 发散发散当当且和为且和为收敛收敛当当 RzzzsRzz z0 R1 R2 有公共收敛域有公共收敛域 21 RR z0 R2 R1
4、 无公共收敛域无公共收敛域 21 RR 。且和且和收敛收敛称称 ，此时，此时，区域即圆环域：区域即圆环域： 有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)( )3()2( 0 201 21 zszszszzc RzzR RR n n n 0 21 0 0)3( zz RR ： ， 收敛域为收敛域为 此时此时 可以可以可以可以 。，发散发散处处处处称称时时当当 n n n zzcRR)() 1 ( 021 (2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0 =R2上上, , n n n zzc。点点收敛，有些点发散收敛，有些点发散可能有些可
5、能有些)( 0 定理定理5.15.1 设双边幂级数设双边幂级数(1)(1)的收敛圆环为的收敛圆环为 H: r|z-a|R (r0, R+) 则则(1) 级数在级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于内绝对收敛且内闭一致收敛于: f(z)=f1(z)+f2(z). (2) f(z) 在在H内解析内解析. n n n azczf)()( (3)函数 在在H内可逐项求导内可逐项求导p次次(p=1,2,). (4) 函数函数f(z)可沿可沿H内曲线内曲线C逐项积分逐项积分. 定理定理5.2（洛朗定理）（洛朗定理） . ) 5(), 2, 1, 0( )( )( 2 1 : )5()()( ,:)( 0 1
6、0 0 201 的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线内绕内绕是是 其中其中 则则内解析内解析在在设设 zDc ndz zz zf i c zzczf RzzRDzf c n n n n n 级数级数内的内的在在称为称为LaurentRzzRDzf 201 :)( 展开式展开式内的内的在在称为称为LaurentRzzRDzf 201 :)( 2. 解析函数的洛朗解析函数的洛朗(Laurent)展式展式 d 2 1 d 2 1 )( 12 KK z f iz f i zf证证 )()( 11 00 zzzz 因为因为 对于第一个积分对于第一个积分: 00 0 0 1 n n z zz z 1
7、1 11 0 0 0 0 0 z zz z zz zz 0 z R r 2 R . z 1 K 2 K 1 R . . , )( )( 0 1 0 0 n n n z zz n n n zzc)( 0 0 d )( 2 1 2 K z f i 所以所以 对于第二个积分对于第二个积分: d )( 2 1 1 K z f i )()( 11 00 zzzz 因为因为 1 0 0 zz z n n K n zz z f i )(d )( )( 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 11 zz z zz 10 1 0 )( )( n n n zz z ,)( )( 1 0 1 1 0 n n n
8、 zz z d )( 2 1 1 K z f i 则则 1 01 1 0 1( ) d() 2() n n K n f zz iz ,)( 0 1 n n n zzc n n n n n n zzczzc )()( 0 1 0 0 .)( 0 n n n zzc ), 2, 1, 0(d )( )( 2 1 1 0 n z f i c C n n 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单 0 z nn cc 与与闭曲线闭曲线 . 则则 可用一个式子表示为可用一个式子表示为: 证毕证毕 d )( 2 1 d )( 2 1 )( 12 KK z f iz f i
9、 zf 则则 展开式的唯一性展开式的唯一性 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含有的函数展开为含有 正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。的洛朗级数。 事实上事实上， )6()()( :)( 0 201 n n n zzazf RzzRDzf 可表示为可表示为 内解析，内解析，在在设设 n n n zaf)()( 0 D z0 R1 R2 c c zDc 的简单闭曲线，的简单闭曲线， 内任何一条绕内任何一条绕为为设设 0 的正向积分得：的正向积分得：并沿并沿 为任一整数为任一整数 将上式两边乘以将上式两边乘以
10、c P z P ),( )( 1 1 0 D z0 R1 R2 c d z f i a iad z ad z f c p p p n c np n c p 1 0 1 0 1 0 )( )( 2 1 2 )( 1 )( )( 解得：解得： . , 级数级数就是就是 展开成级数展开成级数在圆环域内解析的函数在圆环域内解析的函数由此可知由此可知 Laurent n n n zaf)()( 0 . )(, ! )( , ,0)1( 0 )( 解析的解析的 内不是处处内不是处处在在相同相同 形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当 czf n zf c cn n n n 但但 (2)(
11、2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。级数，可用间接法。 在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定 圆环域内的圆环域内的Laure
12、nt展开式，只有在个别情况下，才直展开式，只有在个别情况下，才直 接采用公式接采用公式(5)求求Laurent系数的方法。系数的方法。 例例1 解解 展开成洛朗级数。展开成洛朗级数。在在求求 z z z 0 sin 0 12 )!12( )1(1sin n nn n z zz z z0 !5!3 1 !5!3 1 4253 zzzz z z 3 求圆环域内解析函数洛朗展开的方法求圆环域内解析函数洛朗展开的方法 3 1 0. z e zLaurent z 将将在在 内内展展开开成成级级数数 2 333 0 111 (1)() !2! znn n ezzz z nnzzz 例例2 解解 2 111
13、 2!3!4! n zz znz 例例3 级数。级数。的的内展开成内展开成 （ 在以下圆环域在以下圆环域将将 Laurentz ziiiziizi zz zf 0 2)(; 21)(; 10) )2)(1( 1 )( 0 x y o 1 2 21)( zii x y o 1 2 ziii 2)( x y o 1 2 10) zi（ 解解: zz zf 2 1 1 1 )( 2 1 1 2 1 1 1 )( z z zf 故故 1 2 110)( z zzi 0 1 2 ) 2 1 1 ( 8 7 4 3 2 1 n n n zzz ) 42 1 ( 2 1 )1 ( 2 2 zz zzz n
14、没没 有有 奇奇 点点 2 1 1 2 1 1 1 11 2 1 1 1 )( z z zzz zf 1 2 2 z z又又1 1 121 )( z zzii 0 1 1 2 1 2 2 2 1 842 1111 ) 42 1( 2 1 ) 11 1( 1 n n n n n nn z z zz zzz zz zzz 1 2 22)( z zziii z z z zzz zf 2 1 11 1 1 11 2 1 1 1 )( 2 1 00 122111 n n n n n n n zzzzz 432 22 731 42 1 111 1 1 zzz zzzzzz 注意首项注意首项 Laurent
15、解解析析函函数数的的级级数数展展开开利利用用间间接接展展开开， 即即利利用用已已知知基基本本初初等等函函数数的的泰泰勒勒展展开开式式， 经经过过变变形形、代代换换、逐逐次次求求导导、逐逐次次积积分分等等 来来获获得得。要要熟熟记记6 6个个基基本本公公式式。 小结：把小结：把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数的方法：级数的方法： 1 4( )| -1| 1 (1)(2) 1 | -1|Laurent f zz zz z 例例 将将函函数数 分分别别在在和和 内内展展开开成成级级数数。 1 ( )0 | -1| Laurent z z f zez 例例5 5 将将函函数数 在在
16、内内展展开开成成 级级数数。 1 0 2 0 0 | -1| 1( )(1) 1 | -1|( ) (1) n n n n zf zz zf z z 解解: :在在内内, , 在在1 1内内, , 0 1 1 1 0 | -1|( ) !(1)n n z e zf ze e nz 解解 在在内内， 4. 4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 定义定义5.25.2 如果如果f(z)在点在点a的某一去心邻域的某一去心邻域 K-a： 0|z-a|R 内解析，点内解析，点a是是f(z)的奇点，的奇点， 则称为则称为f(z)的的孤立奇点孤立奇点. 如果如果a为为f(
17、z)的一个孤立奇点，则的一个孤立奇点，则f(z)在在 点点a的某一去心邻域的某一去心邻域K-a：0|z-a|R内能展内能展 成洛朗级数。成洛朗级数。 将函数展成洛朗级数的常用方法。将函数展成洛朗级数的常用方法。 1. 1. 直接展开法直接展开法: : 利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数 n c ), 2, 1, 0(d )( )( 2 1 1 0 n z f i c C n n 然后写出然后写出 .)()( 0 n n n zzczf 2. 2. 间接展开法间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, , 可可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展
18、开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . . 1 ( )1 1 Laurent z f zez z 例例6 6将将在在的的去去心心邻邻域域内内 展展开开成成级级数数。 11 0 1 01 ( )(1) 1! 01 zn n z z ee f zez zn z 解解是是其其孤孤立立奇奇点点， 函函数数可可以以在在内内展展开开成成洛洛朗朗级级数数， ， （） 2 1 ( )0 | 1,1 | (1) 0 |-1| 1Laurent f zzz zz z 例例7 7 将将函函数数 分分别别在在和和 内内展展开开成成级级数数。 2 2 0 0 |1| 1 1 ( )( 1) (1) (1) nn n z f zz zz 在在 23 0 1 | | 11 ( )= (1) n n z n f z zzz 在在内内 2 2 01 0 | 1 11 ( )=() (1) nn nn z f zznz zzz 在在内内 Rz 0 z zf 1 tan思考题思考题 试问函数试问函数 能否在能否在 内展成内展成 洛朗级数？洛朗级数？ 不不能能， 1 =0 2 zz k zR 因因为为及及都都是是奇奇点点， 所所以以函函数数在在0 0邻邻域域内内不不解解析析。
