1、 第四章动态系统的稳定性分析1 稳定性基本概念稳定性基本概念2 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法1.1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念性概念2.2.熟练掌握李氏第一法熟练掌握李氏第一法,李氏第二法李氏第二法3.3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法掌握线性系统渐近稳定性分析方法重点内容：重点内容：李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函
2、数的构造雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别v研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。常工作的必要条件，是一个重要特征。v要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。v稳定性：系统在受
3、到小的外界扰动后，系统状稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。无关。v经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据v非线性系统：相平面法非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线适用于一、二阶非线性系统性系统)v1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。线性，非线性，定常，时变
4、，多变量等系统。v应用：自适应，最优控制，非线性控制等。应用：自适应，最优控制，非线性控制等。主要内容：主要内容：n李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先线性化。线性化。n李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造造Lyapunov标量函数。标量函数。一、稳定性基本概念一、稳定性基本概念 1.自治系统：自治系统：输入为输入为0的系统的系统 =Ax+Bu(u=0)2.初态：初态：=f(x,t)的解为的解为 初态初态 3.平衡状态：平衡状
5、态：系统的平衡状态系统的平衡状态 a.线性系统线性系统 x x 00(;,)x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx第一节第一节 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义00eexAxA非奇异：非奇异：解唯一解唯一,平衡平衡点只有一个点只有一个0),(txfxeex可能有一个或多个3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103ex令令例：例：b.非线性系统非线性系统eexAx有无穷多个 0A奇异：奇异：称其为孤立平衡点在状态空间中是孤立的,321eeexxx4.孤立的平衡状态：孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的在某一平衡状态的充分
6、小的邻域内不存在别的平衡状态。邻域内不存在别的平衡状态。(1)系统不一定都存在平衡点；系统不一定都存在平衡点；(2)但系统也可能有多个平衡点；但系统也可能有多个平衡点；(3)平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；(4)稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对多平衡点问题需针对各状态讨论。多平衡点问题需针对各状态讨论。说明：二、李雅普诺夫意义下的稳定性二、李雅普诺夫意义下的稳定性定义定义4-24-2：邻域为的平衡状态系统Hxtxfxe),()(2
7、,0 ,欧几里德范数范数为HHxxe2222211enneeexxxxxxxx即).(),(,SS定义球域类似地均有：对任意邻域内在,0,HH又称一致李氏稳定。平衡状态稳定的则此平衡状态称为一致无关与有关。如果与即有意义下是稳定的。对于称为在则平衡状态的轨迹不脱离始于时使得当存在一个如果对应于每一个,),(,0),()(,),(),()1(000tttLyapunovxSStSSe几何意义：几何意义：)(S)(SeX意义下稳定。为则平衡点轨线不会超出时当总存在一个球域若无论多么小球域会发生变化。运动状态后当产生对应初始状态平衡状态受破坏系统受扰动时当LyapunovxStxSxSStxttxt
8、te),()(,)(),(),()(,0000实际上，工程中的李实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定氏稳定是临界不稳定BA无摩擦，无摩擦，等幅振荡等幅振荡定义定义4-34-3(渐近稳定渐近稳定)：一致渐近稳定。则称无关与是渐近稳定的。若则称且有意义下的稳定若系统不仅是,)(),()(lim,00ttxxtxLaypunoveet)(S)(SeXA球受外力离开球受外力离开平衡点平衡点,存在摩存在摩擦力时擦力时,小球最小球最终静止在终静止在A点。点。几何意义几何意义 物理意义物理意义 定义定义4-44-4(大范围渐近稳定大范围渐近稳定)：又称全局稳定。是大范围渐近稳定。则称都有若对任意eetxxt
9、xx,)(lim0)(S)(SeX必要条件：必要条件：只只有一个平衡点。有一个平衡点。定义定义4-54-5(不稳定不稳定)：eX不稳定。则称则有当至少有一个多么小不论对任意给定实数eeexxtxxxx,)(,000说明：说明：(1)(1)若系统渐近稳定，则对于若系统渐近稳定，则对于x=Axx=Ax而言，而言，A A特征特征值应均有负实部。值应均有负实部。tAAtduBexetx00)()()(2)(2)若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡点。状态空间中只有一个平衡点。于平衡状态的邻域。否则这些定义只能应用对应于整个状态平面除
10、非,)()3(S),;,()(,),(d),)4(这一结论不成立但对非线性系统趋于无穷远发的轨迹将则不稳定平衡点附近出线性定常系统不稳定处的某一极限环。迹还可能趋于轨迹趋于无穷远处。轨却不说明说明平衡状态不稳定轨迹离开对于图SS(5)(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线性系统性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。第二节第二节 李雅普诺夫间接法李雅普诺夫间接法 李氏间接法利用系统矩阵李氏间接法利用系统矩阵A A的特征值的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。或者说系统极点来判断系统稳定性
11、。对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得到一近似的线性化方程，然后再进行判断。到一近似的线性化方程，然后再进行判断。一、线性定常系统的稳定性一、线性定常系统的稳定性n,21是一个平衡点0exAxx(1)(1)李氏稳定李氏稳定 A的约当标准形的约当标准形J中，实部为中，实部为0的特的特征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均有负实部。均有负实部。说明：说明：的有界性即可看出考察AtJteeAJAPPJ 1例：例：1-00 01J0 01 02J0 00 03J李氏稳定李氏稳定不稳定不稳定李氏稳定李氏稳
12、定1-00 01JA201020100 00 1)(xexxxexetx-t-tAt有界)(tx0 01 02JA20201020100 1 0 1)(xtxxxxtxetxAt)(,2010txtxxt时-tAtee 00 11 0 1teAt李氏稳定李氏稳定不稳定不稳定0 00 03JA2010201001 00 1)(xxxxxetxAt1 00 1Ate李氏稳定李氏稳定(2)(2)渐近稳定渐近稳定 A的特征值均具有负实部。的特征值均具有负实部。(3)(3)不稳定不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。的特征值中至少有一个有正实部。说明：说明：(1)(1)劳斯判据依然适用。劳斯判据依然适
13、用。(2)(2)状态稳定状态稳定(内部的稳定内部的稳定)与与BIBOBIBO稳定稳定(输出稳定性输出稳定性)。例：例：xyuxx1 01 2-1-16 0求求A的特征值：的特征值：03261detAI得得A特征值：特征值：3 ,221不稳定不稳定例：例：0 01 0 x 判判xe=0平衡点的稳定性。平衡点的稳定性。解解A的特征值：的特征值：对应约当块是二维。对应约当块是二维。021102010201001 0 1)(txxxxxtxetxAt不稳定平衡点时任意0.,102010extxtxx例：例：xx1-00 0判判xe=0平衡点的稳定性。平衡点的稳定性。解解A的特征值：的特征值：1 ,02
14、1实部为实部为0 0的特征值的特征值 对应约当块是一维的对应约当块是一维的.1201020100 00 1)(xexxxexetxt-tAt下稳定有界。李雅普诺夫意义时10)(,xtxtBIBOBIBO稳定稳定:若输入若输入u(t)u(t)有界，则输出有界，则输出y(t)y(t)也有界。也有界。称有界输入有界输出稳定。称有界输入有界输出稳定。BIBOBIBO稳定性由稳定性由G(s)G(s)极点决定。极点决定。系统状态的稳定性由系统状态的稳定性由A A的特征值决定。的特征值决定。)()()(),(sDsNsGcbASn的传函维线性定常系统设零点多项式零点多项式极点多项式极点多项式反之则不一定！稳
15、定渐近稳定则一定时当两者等价时当 ;,)()2(,)()1(BIBOAsIsDAsIsD例：例：xyuxx1 01 2-1-16 0判判xe=0平衡点的渐近稳定平衡点的渐近稳定与与BIBO稳定。稳定。311 2-1 1-6-1 0)(11sssBAsICsG稳定所以是系统极点是BIBOs,30236612ssssssAsI.2,321不是渐近稳定ss说明：说明：渐近稳定是真正的系统稳定，包含渐近稳定是真正的系统稳定，包含BIBO稳定。稳定。BIBO稳定可能内部状态不稳定，不包含渐近稳定。稳定可能内部状态不稳定，不包含渐近稳定。二、非线性系统的稳定性二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般
16、是局部的。用间接法判非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判断时，应先线性化。断时，应先线性化。附近线性化：在非线性系统extxfx),()(xRxxxfxexTe高阶导数项高阶导数项eexnnnnnnxTexfxfxfxfxfxfxfxfxfxfAxxx ,212221212111令)(.常数则exxxxAx.判定法：判定法：.)(,)1(无关与是渐近稳定的则部的所有特征值均有负实xRxAe.)(,)2(无关与是不稳定的则正实部的特征值至少有一个有xRxAe.,)(,0 )3(来决定不能由有关与的稳定性则部为的特征值至少有一个实AxRxAe 说明：说明：.0 )1(不一定为ex.,)3(不
17、能判定范围局部稳定与否此方法只能判定ex(2)(2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;例：例：025.02xxxx xxxx21 令221122121 25.0 fxxxxfxx00 21xx平衡点0021xx0221xx0 2-00 21eexx即线性化：处在1 ex0.5-2-1 0 0.5-2-2-1 0 1111eexxxTxxfA 两个负实根，渐近稳定两个负实根，渐近稳定和和线性化：处在2 ex0.5-21 022exxTxfA 有一个正实根，不稳定有一个正实根，不稳定025.02例：例：21222111xxxxxxxx00 21xx平
18、衡点11 00 21eexx即21222111xxxxxxxx线性化：处在1 ex1-00 11 1 1112121eexxxTx-x-x-xxfA1,1 21其特征值所以，系统在所以，系统在 处不稳定处不稳定1ex线性化：处在2 ex0 11-022exxTxfAjj21,其特征值实部为实部为0 0，不能由，不能由A来判断稳定性来判断稳定性第三节第三节 李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法 李氏直接法通过找一个能量函数李氏直接法通过找一个能量函数V(x)V(x)来判断系统来判断系统的稳定性。如果的稳定性。如果V(x)V(x)能量减小，系统可能稳定；能量减小，系统可能稳定；V(x)V(x)增大，则
19、系统不稳定。但并不是所有的系统都增大，则系统不稳定。但并不是所有的系统都可以找到能量函数。可以找到能量函数。一、函数的定号性一、函数的定号性.0(4);0(3)0(2)0)1(:0,0)(,0.)(,半负定负定半正定；正定；有当对是标量函数维向量是设 V(x)V(x)V(x)V(x)V(x)V(x)V(x)V(x)xxVxxVnx例：例：21xxx正定 0)(2221xxxV正定 01)(22212221xxxxxV0,0 0)(2121xxxxV正定21221 0)(xxxxxV半正定半负定 0)(221xxxV负定 0)(2221xxxV二、二次型二、二次型1)1(221122232231
20、2212222113113211221112121222211121121222 222 222 )(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnTxxpxxpxxpxpxxpxxpxxpxpxxpxxpxxpxpxxxpppppppppxxxPxxxVjiijppP,为实对称矩阵例：例：xxxxxxxxxxVT6 4 04 5 20 2 2 86542)(3223222121V(x)的定号性完全由的定号性完全由P来确定。来确定。P的正负判定：通过的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。的主子式的正负来判断。P的顺序主子式：的顺序主子式：nnnnnnnpppppppppPppppPpP212
21、222111211222112112111 ,希尔维斯希尔维斯特判据特判据半负定半负定则为奇数为偶数若负定负定则为奇数为偶数若半正定半正定则若正定是正定的则若)(0 0 0)4(;)(,0 0 0 )3(;)(,0121 0 )2(;)(,0 )1(xVPniiiPxVPiiPxVPP,n-,iPxVPPiinii例：例：xxxxxxxxxxVT6 0 20 7 32 3 2 46762)(3123222121026 0 20 7 32 3 2057 33 202321PPPP的顺序主子式都大于的顺序主子式都大于0P是正定的是正定的 V(x)正定正定例：例：xxxxxxxVT1 44 282)
22、(2221210141 44 2 ,0221PP不定不定例：例：xxxxxxxVT4 4 1 142)(222121034 4 1 1 ,0121PP负定负定 Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建直接法通过构造能量函数来判断，建立在用立在用能量分析能量分析稳定性的基础上。稳定性的基础上。例：例：能量=0能量0能量=0能量0若无摩擦若无摩擦 能量不变能量不变 李氏稳定李氏稳定有摩擦有摩擦 能量减小能量减小 渐近稳定渐近稳定能量变化始终能量变化始终0 0 不稳定不稳定例：例：Myy BK 如图所示机械系统：弹簧如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器，阻尼器B，质量，质量M为状态变量速度和位移
23、选择yyMyxyx21则21221xMBxMKxxx22212121:MxMKxK动能中势能弹簧系统能量用用V(x)表示系统的能量：表示系统的能量：22212121)(MxKxxV2221)(BxxxBxV V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增大而趋于坐标原点。增大而趋于坐标原点。坐标原点是渐近稳定。坐标原点是渐近稳定。稳定性。的正负来判别和直接法就是利用)()(xVxVLyapunov耗散速率为：耗散在阻尼器中能量以热能形式在运动中显然,0)()0,0(,21xVxx定理定理4-24-2：若平衡状态为阶系统为,0),(extxfxn:)(满足存在
24、标量函数xV若有：即是正定的都有一阶连续偏导数对所有,)()()3(;0)(,)()2(;)()1(dtxdVxVxVxVxxV.,0)(,)()(;,)(,),()()(;,0)(,0)(,)()(;,0)(,)()(;,0)(,)()(不稳定则即正定大范围渐近稳定则有当或对渐近稳定则不恒为但即半负定渐近稳定则即负定李氏稳定则即半负定eeeeexxVxVexxVxcbdxxVxVxVcxxVxVbxxVxVa对李氏函数的讨论：对李氏函数的讨论：(1)V(x)(1)V(x)是一正定标量函数，且对是一正定标量函数，且对x x具有一阶连续偏导。具有一阶连续偏导。(2)(2)对于一给定系统，若对于一
25、给定系统，若V(x)V(x)可找到，那么通常是非唯一可找到，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。的，但这并不影响结论的一致性。(3)V(x)(3)V(x)的最简单形式是二次型函数的最简单形式是二次型函数 ，其中，其中P P为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但但V(x)V(x)并不一定都是简单的二次型。并不一定都是简单的二次型。PxxxVT)(4)V(x)(4)V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。动的稳定情况，但丝毫
26、不能提供邻域外运动的任何信息。(5)(5)由于由于V(x)V(x)构造需要技巧，因此构造需要技巧，因此LyapunovLyapunov第二法主要用第二法主要用于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如高阶非线性系统或时变系统。如高阶非线性系统或时变系统。(6)(6)只有只有V(x)V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。可判稳定性时，才称其为李氏函数。例：例：22212122221121xxaxxxxxaxxx0021xx先求平衡点解：解：唯一 0ex2221)(xxxV取显然是正定的显然是正定的,且且有连续一阶偏导有连续一阶偏导2222
27、12211222)(xxaxxxxxV是大范围渐近稳定且当渐近稳定负定时 )(,0,0 )1(xVxx(x)Vae李氏稳定时 0,0 )2(x)Va判稳定性。判稳定性。不稳定正定时ex(x)Va 0,0 )3(1x2x0 x2x0 x)(tx1x2x1x000)(002221xVCxx12221Cxx22221Cxx)(tx0 x)(tx(a)(b)(c)始终在圆上运动。能量不变时不稳定增大，能量不断增大。因不断时渐近稳定减小，能量不断减小。因不断时,0)(,0)(,0 )(x)Vc(x)Vb(x)Va例：例：xx0 1-1 0 判稳定性。判稳定性。李氏稳定不随时间改变方程的解为李氏稳定李氏稳
28、定特征根 )(cossinsincos)(3)022)()2()1(0021212221xtxxtt -tt txxxxxxVxxV(x)j1x0 x)(tx0ex始终位于圆上始终位于圆上状态与平衡状态与平衡点的距离点的距离例：例：xx1-1-1 0 判稳定性。判稳定性。0021221xxxxx先求平衡点唯一0 0 exA正定，有连续偏导数构造 02)(2221xxxV无法判别不定.24224)(2221222121xxxxxxxxxV李氏稳定半负定构造 0-2)()(222221xxVxxxV(1)(2)21221xxxxx(*)解：解：非零解的任意值令 00 0-2)(2122xxxxV(
29、3)1100 xx 代入方程代入方程(*)中中01x的解不是方程的非零解使0)(xV是大范围渐近稳定的时，是渐近稳定的，又)(xVxxe正定，连续偏导数构造222122221221)(xxxxxV0 222)(2221221122112221xxxxxxxxxxxxxV渐近稳定ex大范围渐近稳定时，)(xVx由上例可以看出：由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数关键是寻找合适的李氏函数。例：例：判稳定性。判稳定性。1212211xxxxxx0021xx求平衡点解：解：)(0021唯一xx正定，有连续偏导数构造 0)(2221xxxV12222111222)(xxxxxxxV 0)(1 )(0
30、0 0)(0)(1 )(0)(1 )(12111不稳定时，为渐近稳定不是状态方程的非零解时，李氏稳定，又时，李氏稳定时，xVxcxxxxVxVxbxVxae说明：说明：系统的稳定域在单位圆内。系统的稳定域在单位圆内。例：例：1221xxkxx判稳定性。判稳定性。0k001221xxkxx先求平衡点唯一0 0 exA解：解：正定，有连续偏导数构造 0)(2221kxxxV02222)(21212211xkxxkxxkxxxxV但不是渐近稳定。是李氏稳定，值上均可保持为零，则在任意xxV)(二、克拉索夫斯基方法二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法构造李氏函数的方法)定理定理4-34-3：).,
31、(),()(,0)()()(),()(0),(*txftxfxVxxFxFxFtxxfxFxtxfxeTe且有李氏函数渐近稳定则有若。取平衡点系统.,)(,则是大范围渐近稳定有时当xVx进一步：进一步：证明：证明：0),(),()(*txftxfxV取),()(),(),(),(txfxFdtdxxtxfdttxdftxfT有.),(),(),(),(*的共轭转置分别为注：txfxFtxfxF),()()(),(),(),(),(),()(*txfxFxFtxffFffFffFfffFtxftxftxftxfxV函数。是且是渐近稳定的，则有时当LyapunovffxVxxVxFxFe*)(,0
32、)(,0)()(说明说明:(1)(1)这种方法并不适用于所有系统这种方法并不适用于所有系统;函数。有可能是LyapunovffxV*)()2(（充分条件）大范围渐近稳定则若唯一。是非奇异的实数矩阵，对线性定常系统eeTxFxAAFAAxx,0 0,)3(例：例：判稳定性。判稳定性。22212122221121xxxxxxxxxx唯一平衡点0ex解：解：2221212122213 2121 3)(xxxxxxxxxfxFT22212121222162 4 4 26xxxxxxxxFFFT的顺序主子式：求F02622211xxF0121662262222121222122212xxxxxxxxF0
33、 F处是渐近稳定的。此系统在0 ex0)(222212221xxxxffxVT)(xVx时，当定的。此系统是大范围渐近稳例：例：线性定线性定常系统常系统判稳定性。判稳定性。xx3-21 1-唯一0 0 exA解：解：6-3 3 2-AAFT021F033122F大范围渐近稳定此系统在0 0 exF例：例：线性定线性定常系统常系统判稳定性。判稳定性。xx3-21 1-1)(2ssAsIsf解：解：渐近稳定均有负实部0 ex若用克拉索夫斯基方法：若用克拉索夫斯基方法：2-00 0AAFT无法判定无法判定进一步说明此方法并不是适用于所有的系统。进一步说明此方法并不是适用于所有的系统。三、李雅普诺夫方
34、程三、李雅普诺夫方程Axx PxxxVT)(P P应为正定实对称矩阵应为正定实对称矩阵则则QxxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxVTTTTTTTT )(是大范围渐近稳定。则李氏方程：。则系统大范围渐近稳定时，当0,0,0)(0eTxPQPAPAxVQ任意确定一正定矩任意确定一正定矩阵阵Q Q，则可求出，则可求出P P线性定常系统判别稳定性的充要条件。线性定常系统判别稳定性的充要条件。定理定理4-44-4：。且有李氏函数满足，若存在一正定对称矩阵正定对称矩阵渐近稳定的充要条件：线性定常系统PxxxVQPAPAPQAxxTT)(,说明：说明：.,)1(IQQ通常取只要正定即可.0)(,0
35、 )2(即可的非零解不使只要也满足xVAxxQ?0),(MATLAB )3(PQALyapPT判解李氏函数方程：用.,A )4(充要条件特征值均具有负实部的中矩阵是该定理实质相联系特征值分布分析稳定性与从AAxx 例：例：线性定线性定常系统常系统判稳定性。判稳定性。xx1-1-1 0 唯一0ex解：解：IQ 令IPAPAT2112pp1 00 11-1-1 0 1-11-02221121122211211 pp pp pp pp122012221212221112pppppp有1212322211211pppp1 2121 23P0231P041232P0P顺序主子式顺序主子式22212123
36、)(xxxxxVxe大范围渐近稳定，且有说明：说明：线性定常系统用李氏方程判稳定性并不一线性定常系统用李氏方程判稳定性并不一定方便，但提供了一种思维方式。定方便，但提供了一种思维方式。1sK21ss1R-3x2x1x例：例：如图所示控制系统，欲使系统渐稳，试确定增益如图所示控制系统，欲使系统渐稳，试确定增益 K取值范围。取值范围。解：解：写出状态方程：写出状态方程：KRxKxxxxxxx313322212RKx-Kxxx001-0 1 2-0 0 1 0 321设设R R0(0(不影响稳定性不影响稳定性)0ex平衡状态半正定对称阵选 1 0 00 0 00 0 0Q0)(23xQxxxVT即不是状态方程的非零解则若000 0)(32123xxxxxV0 3x由即0 0 01313xxKxx即0 1x由又0 0 032121xxxxx即大范围渐近稳定的选取也保证了系统的的情况只有QxxxxV 00)(321333231232221131211 pp ppp p pp pP设求得：由,QPAPATK-K-K K-K K-K-K K-K KRKKP2126212 0 2122122 2126 0 21262122正定，所以由P00212KK60 K
