1、第三维几何造型形体的定义形体的定义 几何形体由基本元素点、边、面、体等组成，这些基几何形体由基本元素点、边、面、体等组成，这些基本元素的定义如下。本元素的定义如下。1点点 它是它是0维几何元素，分端点、交点、切点和孤立点等。维几何元素，分端点、交点、切点和孤立点等。但在形体定义中一般不允许存在孤立点。在自由曲线和曲但在形体定义中一般不允许存在孤立点。在自由曲线和曲面的描述中常用三种类型的点，即：面的描述中常用三种类型的点，即：(1)控制点控制点 用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点。线和曲面不一定经过的点。(2)型值点型值点 用
2、来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点。线和曲面一定经过的点。(3)插值点插值点 为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入的一系列点。间插入的一系列点。一维空间中的点用一元组一维空间中的点用一元组t表示；二维空间中的点表示；二维空间中的点用二元组用二元组x，y或或x（t），），y（t）表示；三维空间中的表示；三维空间中的点用三元组点用三元组x，y，z或或x（t），），y（t），），z(t)表示。表示。n维空间中的点在齐次坐标系下用维空间中的点在齐次坐标系下用n1维表示。维表示。点是几何造型中的
3、最基本元素，自由曲线、曲面或点是几何造型中的最基本元素，自由曲线、曲面或其他形体均可用有序的点集表示。用计算机存储、管理、其他形体均可用有序的点集表示。用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。2边边 边是一维几何元素，是两个邻面（正则形体）或多个边是一维几何元素，是两个邻面（正则形体）或多个邻面（非正则形体）的交界。直线边由其端点（起点和终邻面（非正则形体）的交界。直线边由其端点（起点和终点）定界；曲线边由一系列型值点或控制点表示，也可用点）定界；曲线边由一系列型值点或控制点表示，也可用显式、隐式方程表示。显式、隐式方程表示。
4、3面面 面是二维几何元素，是形体上一个有限、非零的区域，面是二维几何元素，是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。一个面可以无内环，由一个外环和若干个内环界定其范围。一个面可以无内环，但必须有一个且只有一个外环。但必须有一个且只有一个外环。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。若一个面的外法矢向外，此面为正向面；反之，为反向面。若一个面的外法矢向外，此面为正向面；反之，为反向面。区分正向面和反向面在面面求交、交线分类、真实图区分正向面和反向面在面面求交、交线分类、真实图形显示等方面都很重要。在几何造型中常分平面、二次
5、面、形显示等方面都很重要。在几何造型中常分平面、二次面、双三次参数曲面等形式。双三次参数曲面等形式。4环环 环是有序、有向边（直线段或曲线段）组成的面的封环是有序、有向边（直线段或曲线段）组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。环有内外之分，确定面的最大外边界的环称之为外环，环有内外之分，确定面的最大外边界的环称之为外环，通常其边按逆时针方向排序。而把确定面中内孔或凸台边通常其边按逆时针方向排序。而把确定面中内孔或凸台边界的环称之为内环，其边与外环排序方向相反，通常按顺界的环称之为内环，其边与外环排序方向相反，通常按顺时针
6、方向排序。基于这种定义，在面上沿一个环前进，其时针方向排序。基于这种定义，在面上沿一个环前进，其左侧总是面内，右侧总是面外。左侧总是面内，右侧总是面外。5体体 体是三维几何元素，由封闭表面围成的空间，也是欧体是三维几何元素，由封闭表面围成的空间，也是欧氏空间氏空间R3中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。集。为了保证几何造型的可靠性和可加工性，要求形体上为了保证几何造型的可靠性和可加工性，要求形体上任意一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，任意一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单
7、连通域。即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域。我们把满足这个定义的形体称之为正则形体。不满足上述我们把满足这个定义的形体称之为正则形体。不满足上述要求的形体称为非正则形体。要求的形体称为非正则形体。非正则形体的造型技术将线框、表面和实体模型统一非正则形体的造型技术将线框、表面和实体模型统一起来，可以存取维数不一致的几何元素，并可对维数不一起来，可以存取维数不一致的几何元素，并可对维数不一致的几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体致的几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体覆盖域。覆盖域。基于点、边、面几何元素的正则形体和非正则形体的基于点、边、面几何元素的正则形体和
8、非正则形体的区别如表区别如表6.1表所示。表所示。表表6.1 6.1 正则形体和非正则形体的区别正则形体和非正则形体的区别 几何元几何元素素正则形体正则形体非正则形体非正则形体 面面是形体表面是形体表面的一部分的一部分可以是形体表面的一部分可以是形体表面的一部分,也可以是形体内的一部分也可以是形体内的一部分,也可以与形体相分离。也可以与形体相分离。边边只有二个邻只有二个邻面面可以有多个邻面、一个邻可以有多个邻面、一个邻面或没有邻面。面或没有邻面。点点至少和三个至少和三个面面(或三条边或三条边)邻接邻接可以与多个面可以与多个面(或边或边)邻接，邻接，也可以是聚集体、聚集面、也可以是聚集体、聚集面
9、、聚集边或孤立点。聚集边或孤立点。6体素体素 体素是可以用有限个尺寸参数定位和定形的体，常有体素是可以用有限个尺寸参数定位和定形的体，常有三种定义形式。三种定义形式。（1）从实际形体中选择出来，可用一些确定的尺寸参数）从实际形体中选择出来，可用一些确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的一组单元实体，如长方体、圆柱控制其最终位置和形状的一组单元实体，如长方体、圆柱体、圆锥体、圆环体、球体等。体、圆锥体、圆环体、球体等。（2）由参数定义的一条（或一组）截面轮廓线沿一条）由参数定义的一条（或一组）截面轮廓线沿一条（或一组）空间参数曲线作扫描运动而产生的形体。（或一组）空间参数曲线作扫描运动而产生的形体
10、。（3）用代数半空间定义的形体，在此半空间中点集可定）用代数半空间定义的形体，在此半空间中点集可定义为：义为：(x，y，z)|f（x，y，z）0，此处的，此处的f应是不可约应是不可约多项式，多项式系数可以是形状参数，半空间定义法只适多项式，多项式系数可以是形状参数，半空间定义法只适用正则形体。用正则形体。从上述定义中我们知道几何形体有两种重要信息：从上述定义中我们知道几何形体有两种重要信息：几何信息和拓扑信息。几何信息是指描述几何元素（如几何信息和拓扑信息。几何信息是指描述几何元素（如点、线、面等）空间位置和大小的信息，如点的空间坐点、线、面等）空间位置和大小的信息，如点的空间坐标值、线段的长
11、度等。标值、线段的长度等。拓扑信息是指几何元素之间的相互连接关系的信息。拓扑信息是指几何元素之间的相互连接关系的信息。它只反映几何元素的结构关系，而不考虑它们各自的绝它只反映几何元素的结构关系，而不考虑它们各自的绝对位置，这种关系称为拓扑关系。对位置，这种关系称为拓扑关系。几何元素之间一共有九种拓扑关系，即面几何元素之间一共有九种拓扑关系，即面-面相邻面相邻性、边性、边-边相邻性、顶点边相邻性、顶点-顶点相邻性、边顶点相邻性、边-面相邻性、顶面相邻性、顶点点-面相邻性、顶点面相邻性、顶点-边相邻性、面边相邻性、面-边包含性、面边包含性、面-顶点顶点包含性、边包含性、边-顶点包含性。顶点包含性。
12、形形体的存储模型体的存储模型 无论是形体的表示，还是新形体的生成都与其几何无论是形体的表示，还是新形体的生成都与其几何信息和拓扑信息有关。只有几何信息没有拓扑信息是不信息和拓扑信息有关。只有几何信息没有拓扑信息是不能构成图形的。这两方面的信息如何在计算机中存储和能构成图形的。这两方面的信息如何在计算机中存储和使用，达到既节省计算机的空间资源和时间资源，又能使用，达到既节省计算机的空间资源和时间资源，又能有效地进行各种操作运算，一般是通过研究图形的数据有效地进行各种操作运算，一般是通过研究图形的数据结构来解决。结构来解决。三维形体在计算机内的三维形体在计算机内的3 3种存储模式决定了形体的种存储
13、模式决定了形体的3 3种存储模型：线框模型、表面模型和实体模型。种存储模型：线框模型、表面模型和实体模型。环有内外之分，确定面的最大外边界的环称之为外环，通常其边按逆时针方向排序。0,ANGLE);Koch(leng/3,n+1,N,LPX,LPY,ANGLE);1415926/180;else/对组成发生器的每条线段进行递归处理这是因为每一体元都是立方体，且体元各表面分别与三个坐标平面平行。1988年,ISO颁布的STEP(产品模型数据交换标准）标准草案，将形状、容差、材料等特征列为产品信息模型的构成要素，从而使特征造型获得法定地位。xk=xk-1*xk-1*xk-1-3*xk-1*yk-1
14、*yk-1+xc;常用办法是用有向边的右手法则确定所在面的外法线的方向（即用右手沿着边的顺序方向握住，大拇指所指向的方向则为该面的外法线的方向）。标示当前点的颜色（根据n的大小）而把确定面中内孔或凸台边界的环称之为内环，其边与外环排序方向相反，通常按顺时针方向排序。/从数列的最后项起若第k项落在以最后一项为中心若某一小立方体的体内空间全部被所表示的物体占据，则将此立方体标识为“Full”；分形几何造型是利用分形几何学的自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景象呈现出细节的无穷回归性质的方法。fabs(yKL-yKL-k)BOX)A*B=r(AB)在两个多边形之间进行并、交、差的运算
15、。1线框模型（线框模型（Wireframe Model）三维线框模型是在二维线框模型的基础上发展起来的。三维线框模型是在二维线框模型的基础上发展起来的。在在60年代初期，用户通过逐点、逐线地构造二维线框模型，年代初期，用户通过逐点、逐线地构造二维线框模型，就能用计算机代替手工绘图。由于图形几何变换和投影变就能用计算机代替手工绘图。由于图形几何变换和投影变换理论的发展，认识到在计算机内部的存储信息中加上第换理论的发展，认识到在计算机内部的存储信息中加上第三维信息，再用不同视向的投影变换，就可以在显示器上三维信息，再用不同视向的投影变换，就可以在显示器上显示出不同视向的立体图。因此，三维绘图系统迅
16、速发展显示出不同视向的立体图。因此，三维绘图系统迅速发展了起来。了起来。线框模型采用顶点表和边表两个表的数据结构来表示线框模型采用顶点表和边表两个表的数据结构来表示三维物体，顶点表记录各顶点的坐标值，边表记录每条边三维物体，顶点表记录各顶点的坐标值，边表记录每条边所连接的两个顶点。由此可见，三维物体可以用它的全部所连接的两个顶点。由此可见，三维物体可以用它的全部顶点及边的集合来描述，线框一词由此而来。顶点及边的集合来描述，线框一词由此而来。V1V2V3V4V5V6V7V8E8E10E1E2E3E4E5E6E7E9E11E12abcXZY 图图6.2和表和表6.2、表、表6.3说明了线框模型在计
17、算机内存储说明了线框模型在计算机内存储的数据结构原理。的数据结构原理。图图6.2 组成长方体的顶点和边组成长方体的顶点和边 顶点表顶点表V1V2V3V4V5V6V7V8x坐标坐标aaaa0000y坐标坐标0bb00bb0z坐标坐标00cc00cc边号边号E1E2E3E4E5E6E7E8E9E10E11E12起点号起点号V1V2V3V4V5V6V7V8V1V2V3V4终点号终点号V2V3V4V1V6V7V8V5V5V6V7V8表表6.2 6.2 长方体的顶点表长方体的顶点表 表表6.3 6.3 长方体的边表长方体的边表 线框模型的优点主要是可以产生任意视图，视图间能线框模型的优点主要是可以产生任
18、意视图，视图间能保持正确的投影关系，这为生成需要多视图的工程图纸带保持正确的投影关系，这为生成需要多视图的工程图纸带来了很大方便。还能生成任意视点或视向的透视图及轴测来了很大方便。还能生成任意视点或视向的透视图及轴测图。构造模型时操作简便，在图。构造模型时操作简便，在CPU时间及存储方面开销低。时间及存储方面开销低。线框模型的缺点也很明显，因为所有棱线全都显示线框模型的缺点也很明显，因为所有棱线全都显示出来，物体的真实形状须由人脑的解释才能理解，因此出来，物体的真实形状须由人脑的解释才能理解，因此容易出现二义性。当形状复杂时，棱线过多，也会引起容易出现二义性。当形状复杂时，棱线过多，也会引起模
19、糊理解。缺少曲面轮廓线。由于在数据结构中缺少边模糊理解。缺少曲面轮廓线。由于在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系的信息，即所谓拓扑信息，因此与面、面与体之间关系的信息，即所谓拓扑信息，因此不能构成实体，无法识别面与体，更谈不上区别体内与不能构成实体，无法识别面与体，更谈不上区别体内与体外。体外。因此从原理上讲，此种因此从原理上讲，此种模型不能消除隐藏线，不能作模型不能消除隐藏线，不能作任意剖切，不能计算物性，不能进行两个面的求交，无法任意剖切，不能计算物性，不能进行两个面的求交，无法生成数控加工刀具轨迹，不能自动划分有限元网格，不能生成数控加工刀具轨迹，不能自动划分有限元网格，不能检查物体间
20、碰撞、干涉等。但目前有些系统从内部建立了检查物体间碰撞、干涉等。但目前有些系统从内部建立了边与面的拓扑关系，因此具有消隐功能。边与面的拓扑关系，因此具有消隐功能。尽管这种模型有许多缺点，但由于它仍能满足许多设尽管这种模型有许多缺点，但由于它仍能满足许多设计与制造的要求，加上上面所说的优点，因此在实际工作计与制造的要求，加上上面所说的优点，因此在实际工作中使用很广泛，而且在许多中使用很广泛，而且在许多CADCAM系统中仍将此种系统中仍将此种模式作为表面模型与实体模型的基础。线框模型系统一般模式作为表面模型与实体模型的基础。线框模型系统一般具有丰富的交互功能，用于构图的图素是大家所熟知的点、具有丰
21、富的交互功能，用于构图的图素是大家所熟知的点、线、圆、圆弧、二次曲线、样条曲线、线、圆、圆弧、二次曲线、样条曲线、Bezier曲线等。曲线等。2表面模型（表面模型（Surface Model）这种模型通常用于构造复杂的曲面物体，构形时常这种模型通常用于构造复杂的曲面物体，构形时常常利用线框功能，先构造一线框图，然后用扫描或旋转常利用线框功能，先构造一线框图，然后用扫描或旋转等手段变成曲面，当然也可以用系统提供的许多曲面图等手段变成曲面，当然也可以用系统提供的许多曲面图素来建立各种曲面模型。素来建立各种曲面模型。该模型的数据结构原理见图该模型的数据结构原理见图6.3，与线框模型相比，与线框模型相
22、比，多了一个面表（顶点表和边表与表多了一个面表（顶点表和边表与表6.2和表和表6.3完全相同，完全相同，面表见表面表见表6.4），记录了边、面间的拓扑关系，但仍旧），记录了边、面间的拓扑关系，但仍旧缺乏面、体间的拓扑关系，无法区别面的哪一侧是体内缺乏面、体间的拓扑关系，无法区别面的哪一侧是体内,哪一侧是体外，依然不是实体模型。哪一侧是体外，依然不是实体模型。Xamax Xbmin；交运算的规则刚好和并运算的规则相反。在复平面的某一部位上，令C作有规律的变化，对不同的C值进行迭代，如果计算结果达到无穷大，则C被着成白色，否则，着成黑色，这样就能显示出M集的形状。case 9:xc=-1.case
23、 4:xc=-1.在一般情况下，一个普通物体相应的八叉树可能多达数千个结点。yk=2*xk-1*yk-1+yc;/虚部case 9:xc=-1.END;E3 E11 E7 E12MoveTo(LPX,LPY);对于具有孔洞的正则多面体，相应的欧拉公式扩展为：|发生器就是生成复杂分形图形的最小基本图元，如Koch曲线的发生器为图6.7(中、右)的旋转扫描，这个物体可以看作为集合A按绕Z轴旋转的路径B运动而成。对于具有孔洞的正则多面体，相应的欧拉公式扩展为：Mandelbrot分形集CGraphDC g(this);V1V2V3V4V5V6V7V8E8E10E1E2E3E4E5E6E7E9E11E
24、12abcXZYF1F3F4F2F5F6图图6.3 长方体的顶点、边和面长方体的顶点、边和面 面号面号F1F2F3F4F5F6边号边号E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E1 E10 E5 E9 E2 E11 E6 E10 E3 E12 E7 E11E4 E9 E8 E12表表6.4 6.4 长方体的面表长方体的面表 表面模型的优点是能实现以下功能：消隐、着色、表表面模型的优点是能实现以下功能：消隐、着色、表面积计算、二曲面求交、数控刀具轨迹生成、有限元网格面积计算、二曲面求交、数控刀具轨迹生成、有限元网格划分等。此外擅长于构造复杂的曲面物体，如模具、汽车、划分等。此外擅长于构造复
25、杂的曲面物体，如模具、汽车、飞机等表面。它的缺点是有时产生对物体二义性理解。飞机等表面。它的缺点是有时产生对物体二义性理解。需要指出的是不仅表面模型中常常包括了线框模型需要指出的是不仅表面模型中常常包括了线框模型的构图图素，而且表面模型还时常与线框模型一起同时的构图图素，而且表面模型还时常与线框模型一起同时存在于同一个存在于同一个CADCAM系统中。系统中。表面模型系统中常用的曲面图素有平面、直纹面、表面模型系统中常用的曲面图素有平面、直纹面、旋转面、柱状面、贝塞尔曲面、旋转面、柱状面、贝塞尔曲面、B样条曲面、孔斯曲面样条曲面、孔斯曲面和等距面。和等距面。3实体模型实体模型 实体模型与表面模型
26、的不同之处在于确定了表面的实体模型与表面模型的不同之处在于确定了表面的哪一侧存在实体这个问题。常用办法是用有向边的右手哪一侧存在实体这个问题。常用办法是用有向边的右手法则确定所在面的外法线的方向（即用右手沿着边的顺法则确定所在面的外法线的方向（即用右手沿着边的顺序方向握住，大拇指所指向的方向则为该面的外法线的序方向握住，大拇指所指向的方向则为该面的外法线的方向）。方向）。例如规定正向指向体外，如图例如规定正向指向体外，如图6.4所示。如此只须将所示。如此只须将表表6.4的面表改成表的面表改成表6.5的环表形式，就可确切地分清体内的环表形式，就可确切地分清体内体外，形成实体模型了。体外，形成实体
27、模型了。体外体外图图6.4 有向边确定外法线方向有向边确定外法线方向 实体模型的数据结构当然不会这么简单，可能有许多实体模型的数据结构当然不会这么简单，可能有许多不同的结构。但有一点是肯定的，即数据结构不仅记录了不同的结构。但有一点是肯定的，即数据结构不仅记录了全部几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的拓扑信全部几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的拓扑信息，这是实体模型与线框或表面模型的根本区别。息，这是实体模型与线框或表面模型的根本区别。面号面号F1F2F3F4F5F6边号边号E1 E2 E3 E4 E8 E7 E6 E5 E1 E9 E5 E10 E2 E10 E6 E11 E3 E
28、11 E7 E12E4 E12 E8 E9表表6.5 长方体的环表长方体的环表 实体模型成了设计与制造自动化及集成的基础。依靠实体模型成了设计与制造自动化及集成的基础。依靠机内完整的几何与拓扑信息，所有前面提到的工作，从消机内完整的几何与拓扑信息，所有前面提到的工作，从消隐、剖切、有限元网格划分、直到隐、剖切、有限元网格划分、直到NC刀具轨迹生成都能刀具轨迹生成都能顺利地实现，而且由于着色、光照及纹理处理等技术的运顺利地实现，而且由于着色、光照及纹理处理等技术的运用使物体有着出色的可视性，使它在用使物体有着出色的可视性，使它在CADCAM、计算、计算机艺术、广告、动画等领域有广泛的应用。机艺术
29、、广告、动画等领域有广泛的应用。实体模型的构造方法常用机内存储的体素实体模型的构造方法常用机内存储的体素(Primitive),经集合论中的交、并、差运算构成复杂形体。经集合论中的交、并、差运算构成复杂形体。形体的线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的形体的线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的概念，并不反映形体在计算机内部，或对最终用户而言所概念，并不反映形体在计算机内部，或对最终用户而言所用的具体表示方式。从用户角度看，形体表示以特征表示用的具体表示方式。从用户角度看，形体表示以特征表示和构造的实体几何表示（和构造的实体几何表示（CSG）较为方便；从计算机对形）较为方便；从计算机对形体
30、的存储管理和操作运算角度看，以边界表示（体的存储管理和操作运算角度看，以边界表示（BRep）最为实用。为了适合某些特定的应用要求，形体还有一些最为实用。为了适合某些特定的应用要求，形体还有一些辅助表示方式，如单元分解表示和扫描表示。辅助表示方式，如单元分解表示和扫描表示。对于一个几何造型系统不可能同时采用上述五种表示，对于一个几何造型系统不可能同时采用上述五种表示，也不可能只采用一种表示，一般根据应用的要求和计算机也不可能只采用一种表示，一般根据应用的要求和计算机条件采用某几种表示的混合方式。条件采用某几种表示的混合方式。6.2 三维实体表示方法三维实体表示方法 例如，例如，70年代初，美国年
31、代初，美国Rochester大学推出了以大学推出了以CSG表示为基础的表示为基础的PADL-1系统；日本北海道大学推出了以系统；日本北海道大学推出了以Coons曲面片为边界的曲面片为边界的TIPS系统；美国系统；美国MIT大学推出了大学推出了以线框边界为基础的以线框边界为基础的ADAM系统；美国系统；美国Stanford大学推大学推出了以欧拉操作为基础的出了以欧拉操作为基础的Geomod系统；英国系统；英国Cambridge大学推出了以边界表示为基础的大学推出了以边界表示为基础的Build-1系统。系统。目前，国际上应用较广的几何造型系统有目前，国际上应用较广的几何造型系统有IBM公司公司的的
32、CADAM和和CATIA；SDRC公司的公司的Geomod；PT公司的公司的Pro/Engineer；Spatial Technology公司的公司的ACIS；Solidworks公司的公司的Solidworks等。等。构造的实体几何构造的实体几何(CSG：Constructive Solid Geometry)法的含意是任何复杂的形体都可用简单形体（体素）的组法的含意是任何复杂的形体都可用简单形体（体素）的组合来表示。通常用正则集合运算（构造正则形体的集合运合来表示。通常用正则集合运算（构造正则形体的集合运算）来实现这种组合，其中可配合执行有关的几何变换。算）来实现这种组合，其中可配合执行有
33、关的几何变换。形体的形体的CSG表示可看成是一棵有序的二叉树，称为表示可看成是一棵有序的二叉树，称为CSG树。其终端结点或是体素，如长方体、圆柱体等；或树。其终端结点或是体素，如长方体、圆柱体等；或是刚体运动的变换参数，如平移参数是刚体运动的变换参数，如平移参数x等。非终端结点等。非终端结点或是正则的集合运算，一般有交、并、差运算；或是刚体或是正则的集合运算，一般有交、并、差运算；或是刚体的几何变换，如平移、旋转等。的几何变换，如平移、旋转等。构造的实体几何法构造的实体几何法自相似的不变集的曲线段，是通过反复用一发生器的相似图形，来取代每一直线段的递归调用过程而建立起来的。由于在数据结构中缺少
34、边与面、面与体之间关系的信息，即所谓拓扑信息，因此不能构成实体，无法识别面与体，更谈不上区别体内与体外。此时，必定有如下四个不等式中的一个得到满足。传统的点集之间的并、交、差运算可能改变点集的正则性质，也就是说，两个正则点集的集合运算的结果可能产生一个非正则点集。E1 E10 E5 E9yk=3*xk-1*xk-1*yk-1-yk-1*yk-1*yk-1+yc;5,x_max=1.依此方式，物体在计算机内可表示为一棵八叉树。若将Mandelbrot分形集的迭代式由2次换成3次：实际上，八叉树表示以存储空间换取了算法的时间效率。通常在以边界表示法为基础的几何造型系统中，时常将这两类扫描方法列为输
35、入形体的手段之一，只要在屏幕上设计出所要的一个二维图形，调用系统提供的扫描命令，立即就能形成三维实体，因此成为形体输入的强有力的手段之一。else/对组成发生器的每条线段进行递归处理int cx=320,cy=240;/绘图中点其中，新增的参数H为实体表面的空穴数，B为实体个数，P为穿透实体的孔洞数。/从数列的最后项起若第k项落在以最后一项为中心GetColor(coli1);计算机图形学也从中受到启发，并形成了以模拟自然界复杂景象、物体为目标的分形几何造型。设逆时针旋转时角度为正，发生器的初始角度为0，图中已标明发生器各段的位置和角度。分形图形中最著名的是Mandelbrot集，这是分形的创
36、始者Mandelbrot在非线性分形领域中作出的杰出贡献。l 1n2 颜色为3号（青色）只有几何信息没有拓扑信息是不能构成图形的。这里，正则集合运算是在传统点集的集合运算基础上这里，正则集合运算是在传统点集的集合运算基础上附加一定的限制而定义的。传统的点集之间的并、交、差附加一定的限制而定义的。传统的点集之间的并、交、差运算可能改变点集的正则性质，也就是说，两个正则点集运算可能改变点集的正则性质，也就是说，两个正则点集的集合运算的结果可能产生一个非正则点集。但在实际生的集合运算的结果可能产生一个非正则点集。但在实际生活中，两物体并、交、差运算的结果总是产生一新的物体活中，两物体并、交、差运算的
37、结果总是产生一新的物体（或一空物体）。（或一空物体）。为了反映这样一个事实，有必要对传统的点集的集合为了反映这样一个事实，有必要对传统的点集的集合运算施加一定的限制。为此，对点集的正则集合运算作如运算施加一定的限制。为此，对点集的正则集合运算作如下定义：下定义：A*B=r(AB)A*B=r(AB)A*B=r(AB)这种运算或变换只对其紧接着的子结点（子形体）这种运算或变换只对其紧接着的子结点（子形体）起作用。每棵子树（非变换叶子结点）都代表一个集合，起作用。每棵子树（非变换叶子结点）都代表一个集合，表示了其下两个结点组合及变换的结果，它是用算子对表示了其下两个结点组合及变换的结果，它是用算子对
38、体素进行运算后生成的。树根表示了最终的结点，即整体素进行运算后生成的。树根表示了最终的结点，即整个形体。个形体。CSG树可能是一颗不完全的二叉树，这取决于树可能是一颗不完全的二叉树，这取决于用户拼合该物体时所设计的步骤。用户拼合该物体时所设计的步骤。CSG树是无二义性的，但不是唯一的，它的定义域树是无二义性的，但不是唯一的，它的定义域取决于其所用体素以及所允许的几何变换和正则集合运取决于其所用体素以及所允许的几何变换和正则集合运算算子。算算子。其中，其中，*、*、*分别分别称为正则并、正则交、正则差，称为正则并、正则交、正则差，而而、则表示传统的点集的并、交、差集合运算则表示传统的点集的并、交
39、、差集合运算，r 表示点集正则化算子。表示点集正则化算子。（2）每个）每个CSG表示都和一个实际的有效形体相对应；表示都和一个实际的有效形体相对应；（3）CSG表示可方便地转换成表示可方便地转换成BRep表示，从而可支持表示，从而可支持广泛的应用；广泛的应用；（4）比较容易修改）比较容易修改CSG表示形体的形状。表示形体的形状。CSG法的缺点：法的缺点：（1）产生和修改形体的操作种类有限，基于集合运算对）产生和修改形体的操作种类有限，基于集合运算对形体的局部操作不易实现；形体的局部操作不易实现；（2）由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地）由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示
40、在表示在CSG中，故显示与绘制中，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长表示的形体需要较长的时间。的时间。CSG法的优点：法的优点：（l）数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管）数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易；理比较容易；边界表示（边界表示（Boundary Representation）法详细记录了）法详细记录了构成形体的所有几何元素的几何信息及其相互连接关系的构成形体的所有几何元素的几何信息及其相互连接关系的拓扑信息，以便直接存取构成形体的各个面、面的边界以拓扑信息，以便直接存取构成形体的各个面、面的边界以及各个顶点的定义参数，有利于以面、边、点为基础的各及各个
41、顶点的定义参数，有利于以面、边、点为基础的各种几何运算和操作。如形体线框的绘制、有限元网格的划种几何运算和操作。如形体线框的绘制、有限元网格的划分、数控加工轨迹的计算、真实感彩色图形的生成等。分、数控加工轨迹的计算、真实感彩色图形的生成等。所谓边界就是物体内部点与外部点的分界面。所谓边界就是物体内部点与外部点的分界面。形体形体的边界表示就是用面、环、边、点来定义形体的位置和形的边界表示就是用面、环、边、点来定义形体的位置和形状。例如，长方体由六个面围成，对应有六个环，每个环状。例如，长方体由六个面围成，对应有六个环，每个环由四条边界定，每条边又由两个端点定义。而圆柱体由上由四条边界定，每条边又
42、由两个端点定义。而圆柱体由上顶面、下底面和圆柱面围成，对应的有上顶面圆环、下底顶面、下底面和圆柱面围成，对应的有上顶面圆环、下底面圆环。面圆环。边界表示法边界表示法 在边界表示法中，为了对记录的顶点、边和平面数在边界表示法中，为了对记录的顶点、边和平面数据信息进行存储管理，需要选取一定的数据结构。常用据信息进行存储管理，需要选取一定的数据结构。常用的数据结构有：翼边结构、半边结构和多表结构。每种的数据结构有：翼边结构、半边结构和多表结构。每种方法均有一定的应用范围和优缺点。其中最简单易用的方法均有一定的应用范围和优缺点。其中最简单易用的是采用是采用3个表结构，即顶点表、边表和面表。如图个表结构
43、，即顶点表、边表和面表。如图6.3中，中，长方体由顶点表、边表和面表（表长方体由顶点表、边表和面表（表6.26.4）描述。）描述。点、边、面之间的连接关系共有点、边、面之间的连接关系共有9种：种：V:V、V:E、V:F、E:V、E:E、E:F、F:V、F:E、F:F，如图，如图6 6.6(P197)所示。所示。一个简单多面体用边界表示法表示时满足欧拉公式：一个简单多面体用边界表示法表示时满足欧拉公式：V-E+F=2 其中，其中，V、E、F为实体的顶点、边和面数。如一个长方体，为实体的顶点、边和面数。如一个长方体，V=8，E=12，F=6。对于具有孔洞的正则多面体，相应的。对于具有孔洞的正则多面
44、体，相应的欧拉公式扩展为：欧拉公式扩展为：V-E+F-H=2（B-P）其中，新增的参数其中，新增的参数H为实体表面的空穴数，为实体表面的空穴数，B为实体个数，为实体个数，P为穿透实体的孔洞数。如一个带一个长方体孔的长方体，为穿透实体的孔洞数。如一个带一个长方体孔的长方体，V=16，E=24，F=10，H=2，B=1，P=2。BRep表示的优点是：表示的优点是：（1）表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，）表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得绘制使得绘制BRep表示形体的速度较快，而且比较容易确定表示形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素间的连接关系；几何元素间的连接关系；（
45、2）修改形体的操作比较难以实现；）修改形体的操作比较难以实现；（3）BRep表示并不一定对应一个有效形体，即需要表示并不一定对应一个有效形体，即需要有专门的程序来保证有专门的程序来保证BRep表示形体的有效性、正则性表示形体的有效性、正则性等。等。扫描表示法是指通过平移、旋转及其他对称变换来扫描表示法是指通过平移、旋转及其他对称变换来构造三维物体的方法。一个集合在空间运动就能构造三维物体的方法。一个集合在空间运动就能“扫扫”成一实体。通常用二维形体及它的运动轨迹来表示扫描成一实体。通常用二维形体及它的运动轨迹来表示扫描生成的物体。有两种扫描方法：平移扫描和旋转扫描。生成的物体。有两种扫描方法：
46、平移扫描和旋转扫描。扫描表示法扫描表示法 如图如图6.7(左左)所示的平移扫描，图中所示的平移扫描，图中A(五边形五边形)是一是一个二维的多边形，个二维的多边形，B是一条有向的直线，相当于运动轨是一条有向的直线，相当于运动轨迹，迹，A沿着沿着B路径进行扫描运动，则形成图中所示物体。路径进行扫描运动，则形成图中所示物体。由于路径由于路径B的表达很简单，又由于集合的表达很简单，又由于集合A的表示可用的表示可用A的的边界的边来表示，所以平移扫描的表示可减为边界的边来表示，所以平移扫描的表示可减为A集合的集合的二维表示。二维表示。图图6.7 两种扫描形成的实体两种扫描形成的实体 图图6.7(中、右中、
47、右)的旋转扫描，这个物体可以看作为集合的旋转扫描，这个物体可以看作为集合A按绕按绕Z轴旋转的路径轴旋转的路径B运动而成。同样，集合运动而成。同样，集合A是一个二是一个二维形体，可用其边界的边来表示。维形体，可用其边界的边来表示。通常在以边界表示法为基础的几何造型系统中，时常通常在以边界表示法为基础的几何造型系统中，时常将这两类扫描方法列为输入形体的手段之一，只要在屏幕将这两类扫描方法列为输入形体的手段之一，只要在屏幕上设计出所要的一个二维图形，调用系统提供的扫描命令，上设计出所要的一个二维图形，调用系统提供的扫描命令，立即就能形成三维实体，因此成为形体输入的强有力的手立即就能形成三维实体，因此
48、成为形体输入的强有力的手段之一。扫描表示中的二维集合由有界边线组合而成的这段之一。扫描表示中的二维集合由有界边线组合而成的这个特点，对经过传统训练的绘图人员来说，给了他们一个个特点，对经过传统训练的绘图人员来说，给了他们一个方便的接口方便的接口,使他们能在屏幕上得心应手地进行设计。使他们能在屏幕上得心应手地进行设计。这两类扫描表示中，只要二维集合这两类扫描表示中，只要二维集合A无二义性，实体无二义性，实体就不会有二义性。就不会有二义性。特征表示是从应用层来定义形体，可以较好地表达设特征表示是从应用层来定义形体，可以较好地表达设计者的意图，为制造和检验产品和形状提供技术依据和管计者的意图，为制造
49、和检验产品和形状提供技术依据和管理信息。特征造型是面向制造全过程、实现理信息。特征造型是面向制造全过程、实现CAD/CAM集集成的重要手段。成的重要手段。1988年年,ISO颁布的颁布的STEP(产品模型数据交产品模型数据交换标准）标准草案，将形状、容差、材料等特征列为产品换标准）标准草案，将形状、容差、材料等特征列为产品信息模型的构成要素，从而使特征造型获得法定地位。信息模型的构成要素，从而使特征造型获得法定地位。所谓特征是指一个产品模型的相关元素集，是在设计、所谓特征是指一个产品模型的相关元素集，是在设计、加工、装配等过程中定义的关于几何形状和其他属性的信加工、装配等过程中定义的关于几何形
50、状和其他属性的信息集合。不同的面向应用的观点，形成了各种不同的特征息集合。不同的面向应用的观点，形成了各种不同的特征定义，由此也形成了不同的特征分类标准。定义，由此也形成了不同的特征分类标准。特征表示法特征表示法 从产品的整个生命发展周期来看，特征可分为设计从产品的整个生命发展周期来看，特征可分为设计特征、加工特征、分析特征公差及检测特征、装配特征。特征、加工特征、分析特征公差及检测特征、装配特征。从功能上看，特征可分为形状特征、精度特征、技术特从功能上看，特征可分为形状特征、精度特征、技术特征、材料特征、装配特征。一般公认的基本特征分为：征、材料特征、装配特征。一般公认的基本特征分为：形状特
