1、2023年年2月月4日星期六日星期六1第四节 二元函数的极值 第六章第六章(Absolute maximum and minimum values)一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法三、小结与思考练习三、小结与思考练习2023年年2月月4日星期六日星期六2xyz一、二元函数的极值定义定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz2
2、2zxy yxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz2023年年2月月4日星期六日星期六3说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如例如,函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理1(必要条件必要条件)2023年年2月月4日星期六日星期六4时,具有极值的某邻域内
3、具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2(充分条件充分条件)2023年年2月月4日星期六日星期六5求函数),(yxfz 极值的一般步骤：,0),(yxfx0),(yxfy2023年年2月月4日星期六日星期六6提示提示:第一步 求驻点.第二步 判别.时,具有极值 1)当A0 时取极小值.2)当3)
4、当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.02 BAC02 BAC02 BAC2023年年2月月4日星期六日星期六7提示提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和最小值.2023年年2月月4日星期六日星期六8 从上例可以看出，计算函数f(x,y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域 D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.说明说明
5、:2023年年2月月4日星期六日星期六92023年年2月月4日星期六日星期六102023年年2月月4日星期六日星期六112023年年2月月4日星期六日星期六122023年年2月月4日星期六日星期六13二、条件极值与拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz2023年年2月月4日星期六日星期六14,0),(下在条件yx如方法 1 所述,则问题等价于一元函
6、数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx,)(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.2023年年2月月4日星期六日星期六15引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF2023年年2月月4日星期六日星期六16拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件
7、的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F推广推广2023年年2月月4日星期六日星期六17解解 设所求平面的方程为设所求平面的方程为2023年年2月月4日星期六日星期六18)1321(61),(cbaabccbaL解方程组解方程组2221061206130612310abaLbcaLacbLabcabc 2023年年2月月4日星期六日星期六192023年年2月月4日星期六日星期六20提示：提示：目标函数：目标
8、函数：约束条件约束条件：构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数：2023年年2月月4日星期六日星期六21内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法2023年年2月月4日星期六日星期六22设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F3.函数的最值问题第二步第二步 判别
9、判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)2023年年2月月4日星期六日星期六23习题习题64课外练习课外练习已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.思考练习思考练习)0,0(14922yxyxCBAoyxED解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),21则 ACABS21031013yxkji)103,0,0(21yx10321yx2023年年2月月4日星期六日星期六24设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx,5.3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停
