1、第3章 试验的方差分析 n方差分析（方差分析（analysis of variance，简称，简称ANOVA）检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性n试验指标（试验指标（experimental index）衡量或考核试验效果的参数衡量或考核试验效果的参数 n因素（因素（experimental factor）影响试验指标的条件影响试验指标的条件 可控因素可控因素（controllable factor）n水平（水平（level of factor）因素的不同状态或内容因素的不同状态或内容 3.1 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析（one-wa
2、y analysis of variance）3.1.1 单因素试验方差分析基本问题单因素试验方差分析基本问题（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性（2）基本假设：）基本假设：n设某单因素设某单因素A有有r种水平：种水平：A1，A2，Ar，在每种水平，在每种水平下的试验结果服从正态分布，视为一个总体。下的试验结果服从正态分布，视为一个总体。n在各水平下分别做了在各水平下分别做了ni（i1，2，r）次试验）次试验n判断因素判断因素A对试验结果是否有显著影响对试验结果是否有显著影响 .:210rH rH ,:211不全相等不全相等.通常备择
3、假设通常备择假设1H可以不写可以不写.在水平在水平),2,1(riAi 下下,进行进行in次独立试验次独立试验,试验数据为试验数据为,21iiniiXXX记数据的总个数为记数据的总个数为得到得到.1 riinn那么那么,要比较各个总体的均值是否一致要比较各个总体的均值是否一致,就是要检验就是要检验各个总体的均值是否相等各个总体的均值是否相等.设第设第i个总体的均值为个总体的均值为,i 则要检验的假设为则要检验的假设为 单因素试验数据表单因素试验数据表 试验次数试验次数A1A2AiAr1x11x21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrn
4、r由假设有由假设有),(2 iijNX（i 和和2 未知未知),即有即有),0(2 NXiij 故故iijX 可视为随机误可视为随机误差差.记记,ijiijX 从而得到如下从而得到如下数学模型数学模型：),0(,2 NXijijiijinjri,2,1,2,1 各个各个ij 相互独立，相互独立，i 和和2 未知未知(1)3.1.2 单因素试验方差分析基本步骤单因素试验方差分析基本步骤（1）计算平均值）计算平均值n组内平均值组内平均值：111inrijijxxn11iniijjixxnn 总平均总平均：（2）计算离差平方和）计算离差平方和总离差平方和总离差平方和SST（sum of square
5、s for total）211()inrTijijSSxxn 表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和n 反映了试验结果之间存在的总差异反映了试验结果之间存在的总差异 组间离差平方和组间离差平方和 SSA（sum of square for factor A）22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各组平均值之间的差异程度反映了各组平均值之间的差异程度n 由于因素由于因素A不同水平的不同作用造成的不同水平的不同作用造成的 组内离差平方和组内离差平方和 SSe（sum of square for error）n反映了在各水平内，各试验
6、值之间的差异程度反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度 n由于随机误差的作用产生由于随机误差的作用产生 211()inrieijijSSxx三种离差平方和之间关系：三种离差平方和之间关系：(演示演示)TAeSSSSSSES与与AS的统计特性的统计特性如果如果0H成立成立,则所有的则所有的ijX都服从正态分布都服从正态分布),(2 N且相互独立，来自一个总体且相互独立，来自一个总体可以证明可以证明:);1(/22 nST ),(/22rnSE (3),1(/22 rSA )1()2(证明证明:(1)的证明略。的证明略。证明：证明：(2)记在水平记在水平iA下的样本方差为下的样本方差为,2iS则
7、由则由(1)即知即知222(1)/(1).iiinSn riiriiiEnSnS122122)1(/)1(/即即22/()ESnr2 分布的可加性知分布的可加性知由由r2ei=(1)iiSSnS且 有 (3)的证明略。的证明略。若若0H不成立时不成立时,比值比值EASrSrnF)1()(有偏大的趋势有偏大的趋势.当当0H为真时为真时,因因AS与与ES相互独立相互独立,),(/),1(/2222rnSrSEA 所以所以).,1()1()(rnrFSrSrnFEA 且且n服从自由度为（服从自由度为（r-1，n-r）的）的F分布（分布（F distribution）n对于给定的显著性水平对于给定的显
8、著性水平，从，从F分布表查得临界值分布表查得临界值F(r-1，n-r)n如果如果FA F(r-1，n-r)，则认为因素，则认为因素A对试验结果有显著影对试验结果有显著影响否则认为因素响否则认为因素A对试验结果没有显著影响对试验结果没有显著影响 （3）计算自由度（）计算自由度（degree of freedom）n总自由度总自由度：dfTn1n组间自由度组间自由度：dfA r1n组内自由度组内自由度：dfe nr 三者关系三者关系：dfT dfA dfe（4）计算平均平方）计算平均平方n均方离差平方和除以对应的自由度均方离差平方和除以对应的自由度/AAAMSSSdf/eeeMSSSdfMSA组间
9、均方组间均方MSe组内均方组内均方/误差的均方误差的均方（5）F检验检验n服从自由度为（服从自由度为（dfA,dfe）的）的F分布（分布（F distribution）n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平，从，从F分布表查得临界值分布表查得临界值F(dfA，dfe)n如果如果FA F(dfA，dfe)，则认为因素，则认为因素A对试验结果有显著影对试验结果有显著影响否则认为因素响否则认为因素A对试验结果没有显著影响对试验结果没有显著影响 AAeMSFMS组间均方组内均方（6）方差分析表）方差分析表 n若若 FA F0.01(dfA，dfe)，称因素，称因素A对试验结果有非常显著的对试验结果
10、有非常显著的影响；影响；n若若 F0.05(dfA，dfe)FA F0.01(dfA，dfe)，则因素，则因素A对试验对试验结果有显著的影响；结果有显著的影响；n若若 FA F0.05(dfA，dfe)，则因素，则因素A对试验结果的影响不显著对试验结果的影响不显著单因素试验的方差分析表单因素试验的方差分析表 差异源差异源SSdfMSF显著性显著性组间（因素组间（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe组内（误差）组内（误差）SSenrMSeSSe（nr）总和总和SSTn13.2 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析n讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称讨论两个因素对试验结果影
11、响的显著性，又称“二元方差分析二元方差分析”n因素因素A水平：水平：因素因素B水平：水平：3.2.1 双因素无重复试验的方差分析双因素无重复试验的方差分析（1）双因素无重复试验）双因素无重复试验,21rAAAB1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs12,sBBB假设前提与单因素方差分析的假设前提相同假设前提与单因素方差分析的假设前提相同.仍假仍假设：设：(1)22,),(ijijijNX未知未知,;,1,1sjri (2)(3).,1,1sjri 那么，那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致要比较同一因素的各个总体的均值是否一致,就是要检验各个总体的
12、均值是否相等。就是要检验各个总体的均值是否相等。每个总体的方差查同；每个总体的方差查同；ijX相互独立，相互独立，各各由假设有由假设有),(2 ijijNXij(和和2 未知未知),记记,ijijijX 即有即有),0(2 NXijijij 故故ijijX 可视为随机误差可视为随机误差.从而得到如下数学模型从而得到如下数学模型 ),0(,2 NXijijijij),;,1(sjri 2,ij未知，未知，ij 相互独立相互独立(1)引入记号：引入记号：risjijrs11,1 sjijiris1,2,1,1 11,rjijir,2,1sj,2,1,2,1,sjrijjii ,2,1,2,1,sj
13、rijjii 易见易见 risjji11,0,0 称称 为为总平均总平均,水平水平iA的的效应效应,称称j 为水平为水平jB的的效应效应,若无交互作用：若无交互作用：.ijij 于是上述模型于是上述模型(1)可进一步写成可进一步写成称称i 为为 risjjiijijijjiijNX1122.0,0,),0(,),2,1;,2,1(sjri 未知，未知，各各ij 相互独立相互独立(2)就是要检验各个总体的均值是否相等就是要检验各个总体的均值是否相等,故要检验的故要检验的01.2.0.1.2.:ArBsHH11.2.1.1.2.:,:,ArBsHH不全相等不全相等不全相等不全相等 rArAHH ,
14、:0:211210 sBsBHH ,:0:211210假设为假设为或或不全相等不全相等不全相等不全相等（2）双因素无重复试验方差分析的基本步骤）双因素无重复试验方差分析的基本步骤 计算平均值计算平均值 n总平均总平均：111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平时水平时：n Bj水平时：水平时：计算离差平方和计算离差平方和 n总离差平方和：总离差平方和：n因素因素A引起离差的平方和：引起离差的平方和：n因素因素B引起离差的平方和：引起离差的平方和：n误差平方和：误差平方和：211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSS
15、xxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx类似地类似地,可以证明当可以证明当AH0、BH0成立时成立时,有有(1)2222/,/,/,/EBATSSSS分别服从自由分别服从自由度依次为度依次为)1)(1(,1,1,1 srsrrs的的2 分布分布;(2)EBATSSSS,相互独立相互独立.211211()rsTijijrsijijijijSSxxxxxxxxxx 可以证明展开式中交差项全为可以证明展开式中交差项全为0。计算自由度计算自由度 nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSe的自由度：
16、的自由度：dfe（r1）（）（s1）nSST的自由度：的自由度：dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe计算均方计算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMSdfrsF检验检验 nFA服从自由度为（服从自由度为（r-1,(r-1)(s-1)的的F分布；分布；nFB服从自由度为（服从自由度为（s-1,(r-1)(s-1)的的F分布；分布；n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，查，查F分布表：分布表：F （r-1,(r-1)(s-1)，F（s-1,(r-1)(s-1)n若若FAF （r-1,(r-1)(s-1)，则因素，则因素A
17、对试验结果有显著影响，否则对试验结果有显著影响，否则无显著影响；无显著影响；n若若FBF （s-1,(r-1)(s-1)，则因素，则因素B对试验结果有显著影响，否则无对试验结果有显著影响，否则无显著影响；显著影响；BBeMSFMSAAeMSFMS差异源差异源SSdfMSF显著性显著性因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1误差误差SSe总和总和SSTrs1无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表3.2.2 双因素重复试验的
18、方差分析（交互作用）双因素重复试验的方差分析（交互作用）设因素设因素A、B作用于试验的指标作用于试验的指标.水平水平,21rAAA因素因素B有有s个水平个水平.,21sBBB),2,1;,2,1(sjri 都作都作c次试验次试验(称为称为等重复试验等重复试验),记所得样本记所得样本为为,(1,2,;1,2,;1,2,).ijkXir js kc因素因素A有有r个个现对因素现对因素BA,的水平的每对组合的水平的每对组合),(jiBA(1,2,;1,2,;1,2,).ir js kc且其中各且其中各ijkX独立独立.这里这里,2,ij均为未知参数均为未知参数,),(2 ijijkNX设设且其中各且
19、其中各ijkX独立独立.这里这里,2,ij均为未知参数均为未知参数,即有即有),0(2 NXijijk 从而得到如下从而得到如下数学模型数学模型故故ijijkX 可视为随机可视为随机误差误差.记记,ijkijijkX ,ijkijijkX ),0(2 Nijk各各ijk 独立，独立，1,2,1,2,1,2,irjskc因素因素B1B2BsA1A2Ar11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxxx2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cx
20、xx12,.,rsrsrscxxx双因素重复试验方差分析试验表双因素重复试验方差分析试验表 双因素重复试验数据表双因素重复试验数据表引入记号：引入记号：risjijrs11,1 sjijiris1,2,1,1 riijjsjr1,2,1,1 ,2,1,riii .,2,1,sjjj 易见易见 sjjrii11,0,0 称称 为为总平均总平均,称称i 为水平为水平iA的的效应效应,称称j 为水平为水平jB的的效应效应.ij由于交互效应,表示为,ijjiij ,2,1,2,1sjri 其中其中,ijijij,2,1,2,1sjri 称称ij 为水平为水平iA和水平和水平jB的的交互效应交互效应,这
21、是由这是由iA、jB搭配联合起作用而引起的搭配联合起作用而引起的.易见易见 sjijri1,2,1,0 riijsj1,2,1,0 从而前述从而前述数学模型可改写为数学模型可改写为 且各且各ijk 独立，独立，),2,1;,2,1;,2,1(tksjri ,ijkijjiijkX ),0(2 Nijk risijrisjijijji111,0,0,0,0 从而前述从而前述数学模型可改写为数学模型可改写为 且各且各ijk 独立，独立，),2,1;,2,1;,2,1(tksjri ,ijkijjiijkX ),0(2 Nijk risijrisjijijji111,0,0,0,0 其中其中ijji
22、 ,及及2 都是未知参数都是未知参数.(3)与无重复试验的情况类似，与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的是建立在偏差平方和的分解上的.检验假设检验假设：(1)0:2101rH rH ,:2111不全为零不全为零;(2)0:2102sH sH ,:2112不全为零不全为零;0:121103rsH rsH ,:121113不全为零不全为零.（2）双因素重复试验方差分析的基本步骤）双因素重复试验方差分析的基本步骤计算平均值计算平均值n总平均总平均：n任一组合水平（任一组合水平（Ai，Bj）上）上：nAi水平时水平时：nBj水平时水平时：1111
23、rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc111sciijkjkxxs c 111rcjijkikxxrc 计算离差平方和计算离差平方和n总离差平方和：总离差平方和：n因素因素A引起离差的平方和：引起离差的平方和：n因素因素B引起离差的平方和：引起离差的平方和：n交互作用交互作用AB引起离差的平方和：引起离差的平方和：n误差平方和：误差平方和：2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscijeijkijkSSxx risijtkijkT
24、XXS112.)(可将可将TS写成：写成：risjtkijkTXXS1112.)(risjtkjiijijkXXXXXX111)()()(2)(XXXXjiij risjtkriiijijkXXstXX111122)()(risjtkriiijijkXXstXX111122)()(sjjXXrt12)(risjjiijXXXXt112,)(故得平方和的分解式：故得平方和的分解式：.BABAETSSSSS 计算自由度计算自由度nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSAB的自由度：的自由度：dfAB(r1)(s1)nSSe的自由度：的自由度：dfers
25、(c 1)nSST的自由度：的自由度：dfTn1rsc1 ndfT dfA dfB dfAB dfe计算均方计算均方1AASSMSr1BBSSMSs(1)(1)A BA BSSMSrs(1)eeSSMSrs cF检验检验n若若FAF （dfA,dfe)，则认为因素，则认为因素A对试验结果有显著影响，对试验结果有显著影响，否则无显著影响；否则无显著影响；n若若FBF （dfB,dfe)，则认为因素，则认为因素B对试验结果有显著影响，对试验结果有显著影响，否则无显著影响；否则无显著影响；n若若FABF （dfAB,dfe)，则认为交互作用，则认为交互作用AB对试验结对试验结果有显著影响，否则无显著影响果有显著影响，否则无显著影响。AAeMSFMSBBeMSFMSA BA BeMSFMS重复试验双因素方差分析表重复试验双因素方差分析表3.2.3 Excel在双因素方差分析中的应用在双因素方差分析中的应用（1）双因素无重复试验方差分析）双因素无重复试验方差分析n利用利用“分析工具库分析工具库”中的中的“无重复双因素方差分析无重复双因素方差分析”工具工具（2）双因素重复试验方差分析）双因素重复试验方差分析n利用利用“分析工具库分析工具库”中的中的“重复双因素方差分析重复双因素方差分析”工具工具
