1、 第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)学习目标学习目标 理解傅里叶变换的几种形式理解傅里叶变换的几种形式 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程期卷积过程 理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系者之间的关系 了解频域抽样理论了解频域抽样理论 理解频谱分析过程理解频谱分析过程本章作业练习本章作业练习 P138:P138:3 3 5(1)(2)(3)5(1)(2)(3)8 8 9 9 1010 1111 12
2、12 1414第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT：Discrete Fourier TransformDFT是重要的变换是重要的变换1、是分析有限长序列的有用工具。、是分析有限长序列的有用工具。2、在信号处理的理论上有重要意义。在信号处理的理论上有重要意义。3、在运算方法上起核心作用，谱分析、在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通过卷积、相关都可以通过DFT在计算机在计算机上实现。上实现。3.1 引言引言3.2 Fourier变换的几种可能形变换的几种可能形式：式：时间函数时间函数 频率函数频率函数连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换连续时间、离散
3、频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换一、连续时间、连续频率一、连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱函数。而时域的非周期造成频域是连续的谱函数。()()j tX jx t edt 1()()2j tx tX jed x(t)X(j)连续的连续的非周期的非周期的非周期的非周期的连续的连续的二、连续时间、离散频率二、连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数 时域连续
4、函数造成频域是非周期的谱，时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期性造成频域的离散。而时域的周期性造成频域的离散。000/20/201()()TjktTX jkx t edtT00()()jktkx tX jkex(t)连续的连续的周期的周期的非周期的非周期的离散的离散的X(jk0)三、离散时间、连续频率三、离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域的周期延拓，时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期造成频域的连续而时域的非周期造成频域的连续()()jj nnX ex n e1()()2jj nx nX eed x(n)X(ej)离散的离散的非周期的非
5、周期的周期的周期的连续的连续的四、离散时间、离散频率四、离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的的和周期的210()()NjnkNnX kx n e2101()()NjnkNkx nX k eN x(n)X(k)离散的离散的周期的周期的周期的周期的离散的离散的四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期连续和非周期非周期和连续非周期和连续连续和周期连续和周期(T0)非周期和离散非周期
6、和离散(0=2/T0)离散离散(T)和非周期和非周期周期周期(s=2/T)和连续和连续离散离散(T)和周期和周期(T0)周期周期(s=2/T)和离散和离散(0=2/T0)3.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数DFS()()x nx nrNrN周期序列：为任意整数 为周期000 ()()()()aajktakx tx tkTTx tA k e连续周期函数：为周期0002/jktTke 基频：次谐波分量：0 ()()jknkNx nA k e为周期的周期序列：002/jknNke基频：次谐波分量：周期序列的周期序列的DFS正变换和反变换：正变换和反变换：21100()()()()
7、NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011()()()()NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中其中：NkX、nx且周期都是都是周期的,)()()6x nDFS例：已知序列是周期为 的周期序列，如图所示，试求其的系数。10()()NnkNnX kx n W解：根据定义求解 560()nknx n W22266222345666141210 8610jkjkjkjkjkeeeee(0)60(1)93 3(2)33(3)0(4)33(5)93 3XXjXjXXjXj4()(),()8()()x nR nx nNx nx
8、 nDFS例：已知序列将以为周期 进行周期延拓成，求的。解法一：数值解10()()NnkNnX kx n W780()nknx n W222238881jkjkjkeee 380nknW(0)4(1)121(2)0(3)121(4)0(5)121(6)0(7)121XXjXXjXXjXXj 210()NjknNnX kDFS x nx n e解法二：公式解 2780jknnx n e340jknne222888jkjkjkjkjkjkeeeeee44411jkjkee38sin2sin8jkkek X kz与 变换的关系：010 x nnNx nn令其它 x nz对作 变换:10NnnnnX
9、zx n zx n z 210jkkNNNnkNz WenX kx n WX z 可看作是对可看作是对 的的一个周期一个周期 做做 变换变换然后将然后将 变换在变换在 平面平面单位圆上按等间隔角单位圆上按等间隔角 抽样得到，且第一个抽抽样得到，且第一个抽样点为样点为k=0。X k x n x nzz2Nz3.4 DFS的性质1、线性：、线性：其中，其中，为任意常数为任意常数,a b11()()X kDFS x n22()()XkDFS x n若若1212()()()()DFS ax nbx naX kbXk则则2、序列的移位、序列的移位2()()()jmkmkNNDFS x nmWX keX
10、k10()()NnkNnDFS x nmx nm W证：1()()Nmk i mNi mx i W inm令10()()NmkkimkNNNiWx i WWX k3、调制特性、调制特性()()nlNDFS W x nX kl10()()NlnlnnkNNNnDFS W x nW x n W证：1()0()Nl k nNnx n W()X kl4、对偶性、对偶性10()()NnkNkNxnX k W()DFS X n10()()NnkNkNxkX n W10()()()NnkNnX kDFS x nx n W101()()()NnkNkx nIDFS X kX k WN将n与k互换()()DFS
11、 X nNxk6、周期卷积和、周期卷积和1210()()Nmx m x nm12()()()Y kX kXk若若1120()()()()Nmy nIDFS Y kx m x nm则则N，nx、nx都是的周期相同)()(2112()()()y nIDFS X kXk证：11201()()NknNkX k Xk WN1112001()()NNmkknNNkmx m WXk WN 11()12001()()NNn m kNmkx mXk WN1120()()Nmx m x nm5 频域卷积定理频域卷积定理 如果如果 ，则，则)()()(21nxnxny1012102110)()(1)()(1)()(
12、)(NlNlNnnkNlkXlXNlkXlXNWnynyDFSkY证明从略。证明从略。例：求如图所示的两序列的例：求如图所示的两序列的6点周期卷积。点周期卷积。1102011010101)0()()0(5021mmxmxy)(1mx)(2mx)(2mx)0()(22mxmx（1）画出）画出 和和 的图形；的图形；（2）将）将 翻摺，得到翻摺，得到 1120()()()Nmy nx m x nm解：5120()()mx m x nm)(2mxm计算区计算区)(2mx mm)(1mx 0 1 2 3)(2mx)1(2mx1101001010111)1()()1(5021mmxmxy（3）将）将 右
13、移一位、得到右移一位、得到可计算出：可计算出：)1(2mxm计算区)(2mx mm)(1mx 0 1 2 3)1(2mxm（4）将）将 再右移一位、得再右移一位、得 可计算出：可计算出：)2(2mx3100001011121)2()()2(5021mmxmxy)1(2mx（5）以此类推，）以此类推，4000001112111)3()()3(5021mmxmxy,4)4(y同样，可计算出：3)5(y)(nyn134 4计算区31142512()()()(1)()6()()x nR nx nnR nx nx n例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。11
14、20()()()Nmy nx m x nm解：5120()()mx m x nm0 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m1/xn m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m10 8 6 10 1
15、4 12 ()y n3.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）()()rx nx nrN()()()Nx nx n Rn()()NX kXk()()()NX kX k Rk同样：同样：X(k)也是一个也是一个N点的有限长序列点的有限长序列()()Nx nNx n长度为 的有限长序列周期为 的周期序列()Nx n()x n的主值序列()x n 的周期延拓 有限长序列的有限长序列的DFT正变换和反变换：正变换和反变换：x(n)，n=0,1,M-1，长度为长度为M，则其，则其N点点DFT：10()()()01NnkNnX kDFT x nx n WkN101()()()01NnkNkx nID
16、FT X kX k WnNN2jNNWe其中：其中：10()()()()()NnkNNNnX kx n WRkX k Rk或 101()()()()()NnkNNNkx nX k WRnx n RnNDFT具有唯一性一般取NMx(n)的的N点点DFT是是x(n)的的z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔抽样；点等间隔抽样；DFTz与序列的DTFT和 变换的关系：10()()NnnX zx n z10()()NnkNnX kx n W10()()Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)的的DTFT在区间在区间0，2上的上的N点等间隔抽样。点等间隔抽样。2()jkkNNz We
17、X z DFT的隐含周期性的隐含周期性 前面定义的前面定义的DFT变换对中，变换对中，x(n)与与X(k)均为有限长序列，均为有限长序列，但由于但由于WknN的周期的周期性，性，使使X(k)隐含周期性，隐含周期性，且周期均为且周期均为N。对任意整数对任意整数m，(),kk mNNNWWk m N均为整数 所以所以1()010()()()()Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k同理可证明同理可证明 x(n+mN)=x(n)4()(),()816DFTx nR nx n例：已知序列求的 点和点。DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjje
18、eeeee32sin 2sin/2je30j nne411jjee 8 8x nDFTN 求的 点 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28jkkek38sin2sin8jkkek 16 16x nDFTN 求的点 216jkX kX e3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkek3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质1、线性：、线性：,a b为任意常数这里，序列长度及这里，序列长度及DFT点数均为点数均为N若不等，分别为若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度，则需补零使两序列长度相等，均为相等，均为N，且，
19、且12max,NN N11()()X kDFT x n22()()XkDFT x n若若1212()()()()DFT ax nbx naX kbXk则则2、序列的圆周移位、序列的圆周移位()()()mNNxnx nmRn 定义：定义：()()()x nx nx nm()mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm这里包括三层意思：这里包括三层意思：先将先将 x(n)进行周期延拓进行周期延拓再进行移位再进行移位最后取主值序列最后取主值序列 Nnxnx)(Nmnxmnx)(nRmnxnxNNm)(有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。而对频
20、谱幅度无影响。()()()()mmNNXkDFT xnDFT x nmRn()mkNWX k()()()()NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证：()()NDFS x nm Rk()()mkNNWX k Rk()mkNWX k调制特性：调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位时域序列的调制等效于频域的圆周移位2()()()()jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()()()()NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()()NIDFS X kl Rn()()()nlnlNNNW x n RnW x n21()cos()()()2NNNnlDF
21、T x nXklXklRkN21()sin()()()2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()()2NNNIDFTXklXklRkj证：1()()2nlnlNNWx nW x nj22()2jnljnlNNeex nj2()sinnlx nN设设x*(n)是是x(n)的复共轭序列，的复共轭序列，长度为长度为N X(k)=DFTx(n)则则 DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1且且 X(N)=X(0)3 复共轭序列的复共轭序列的DFT 证明：证明：根据根据DFT的唯一性，的唯一性，只要证明只要证明上式右边等于左边即可。上式右边等于左边即可。1()01()010()()()
22、()()NN k nNnNN k nNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x n 又由又由X(k)的隐含周期性有的隐含周期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k)4 DFT的共轭对称性的共轭对称性 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1 xop(n)=-x*op(N-n)，0nN-1 ()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn 4 圆周共轭对称性 将有限长序列x(n)以N为周期进行周期延拓得到 的共
23、轭对称序列 与共轭反对称序列 的主值序列分别称为为序列x(n)的圆周共轭对称序列 和 圆周共轭反对称序列 ()x n()ex n()ox n()epxn()opxn*1()()()()()()21()()()()()()2epeNNNNopoNNNNxnxn RnxnxNnRnxnxn RnxnxNnRn任何有限长序列任何有限长序列x(n)x(n)=xep(n)+xop(n),0nN-1 则则:xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)当x(n)为实序列时 xep(n)=1/2x(n)+x(N-n)圆周偶对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x(
24、N-n)圆周奇对称分量 同理同理X(k)也可以表示成其圆周共轭对称分也可以表示成其圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量之和，量和圆周共轭反对称分量之和，即即 X(k)=Xep(k)+Xop(k),0 k N-1 将上式中的将上式中的k换成换成N-k，并取复共轭，并取复共轭，得到得到 X*(N-k)=X*ep(N-k)+X*op(N-k)=Xep(k)-Xop(k)Xep(k)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(k)=1/2X(k)-X*(N-k)设DFTx(n)=DFTRex(n)+jImx(n)则有（1）DFTx*(n)=X*(-k)NRN(k)=X*(N-k)NRN(k)=X*(N-k
25、)(2)DFTx*(-n)N RN(n)=DFTx*(N-n)=X*(k)(3)DFTRex(n)=Xep(k)复序列实部的DFT相当于序列DFT的圆周共轭对称分量 4 DFTjImx(n)=Xop(k)复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量5若x(n)为实序列，则X(k)只有圆周共轭对称分量 X(k)=X*(N-k)6若x(n)为纯虚序列 则X(k)只有圆周共轭反对称分量 X(k)=-*X(N-k)7DFTxep(n)=ReX(k)8 DFTxop(n)=jImX(k)序列序列 DFT共轭对称性共轭对称性()()x nX kRe()()epx nXkIm()()opjx n
26、Xk()Re()epxnX k()Im()opxnjX k 序列序列 DFT实数序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性Re()()()epx nXkX kIm()0()0opjx nXk()Re()epxnX k()Im()opxnjX k纯虚序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性 序列序列 DFTRe()0()0epx nXkIm()()()opjx nXkX k()Re()epxnX k()Im()opxnjX k 例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试点的实数序列，试用一次用一次N点点DFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DFT:11()()DFT x nX
27、k22()()DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12()()()w nx njx n12()()()()W kDFT w nDFT x njx n则12()()DFT x njDFT x n12()()X kjXk1()Re()x nw n由得11()()Re()()epX kDFT x nDFTw nWk2()Im()x nw n由得221()()Im()()opXkDFT x nDFTw nWkj)()(21kNWkW)()(21kNWkW5、圆周卷积和、圆周卷积和1210()()()NNNmx m xnmRn12()()()Y kX kXk若若1120()()()()()NN
28、Nmy nIDFT Y kx m xnmRn则则12()()x nx nN设和都是点数为 的有限长序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11()()DFT x nX k22()()DFT x nXk12()()()()()Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若，则 1120()()Nmx m x nm1120()()()()()()NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120()()NNNmxmxnm1120()()NNmx m xnm圆周卷积过程：圆周卷积过程：1）补零）补零2）周期延拓）周期延拓3）翻褶，取主值
29、序列）翻褶，取主值序列4）圆周移位）圆周移位5）相乘相加）相乘相加12()()x nx nN1120()()()()NNNmy nx m xnmRn1210()()()NNNmx m xnmRn21()()x nx nNN用 表示圆周卷积和1524()(5)()()()x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。-3-2-10 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1
30、1 1 1 00 0 1 1 1 1n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm8 10 12 14 10 6 ()y n同样，利用对称性同样，利用对称性11201()()()NNNlX l XklRkN12101()()()NNNlXl XklRkN12()()()y nx nx n若若10()()()NnkNnY kDFT y ny n W则则6、有限长序列的线性卷积与圆周卷积、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1122()01 ()01x nnNx nnN设：12max,NN N令
31、1112120()()*()()()Nlmy nx nx nx m x nm2121210()()()*()Nmx m x nmx nx n线性卷积：线性卷积：112120()()()()()()NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210()()()()()NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：点圆周卷积：NN讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：1120()()()NNmrx mx nrNm Rn1120()()()NNrmx m x nrNm Rn()()lNry nrN Rn对对x1(n)和和x2(n)补零，使其长度均为补零，使
32、其长度均为N点；点；222()()()Nrx nxnx nrN对对x2(n)周期延拓：周期延拓：1120()()()()NcNNmy nx m xnmRn圆周卷积：圆周卷积：121NNNN即 当圆周卷积长度时，点圆周卷积能代表线性卷积12()1ly nNN而的长度为()()NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1()lNNNy nN只有当时，以 为周期进行周期延拓才无混叠现象N1212()()()*()x nx nx nx n1212102NNNnNN.小结：线性卷积求解方法小结：线性卷积求解方法 时域直接求解时域直接求解 ()()*()()()my
33、 nx nh nx m h nm补补N-N1个零个零x(n)N点点DFT补补N-N2个零个零h(n)N点点DFTN点点IDFTy(n)=x(n)*h(n)()()()()y nIZT Y zIZT X zH zz z()()()()X zZT x nH zZT h n z变换法：变换法：利用时域卷积和定理利用时域卷积和定理 DFT法：法：利用圆周卷积定理利用圆周卷积定理N1N2NN1+N2-17、DFT形式下的形式下的Parseval定理定理11*001()()()()NNnkx n y nX k YkN*111*0001()()()()NNNnkNnnkx n y nx nY k WN证：1
34、1*001()()NNnkNknYkx n WN1*01()()NkX k YkN11*001()()()()NNnkx n x nX k XkN1122001()()NNnkx nX kN即：()()y nx n令，则8、线性相关与圆周相关、线性相关与圆周相关*()()()xynrmx n y nm*()()nx nm y n线性相关：线性相关：*()()()xxnrmx n x nm*()()()xxnx nm x nrm自相关函数：自相关函数：*()()()xyyxxyrmrmrm相关函数不满足交换律相关函数不满足交换律：*()()()yxnrmy n x nm*()()kx k y k
35、m*()()kx k y km*()()kx k y km*()xyrm*()()()xynrmx n y nm相关函数的相关函数的z变换：变换：*1()()()xyRzX z Yz()()mxyxymRzrm z*()()mmnx n y nm z*()()mnmx ny nm z*()()()k nnkx ny k z*()()nknkx n zy k z*1()()X z Yz*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e相关函数的频谱：相关函数的频谱：圆周相关定理圆周相关定理 ()()xyxyrmIDFT Rk则1*0()()()NNNnx n ynmRn*()()
36、()xyRkX kYk若1*0()()()NNNny n x nmRn*()()()xyRkX kYk证：先延拓成周期序列 ()()xyxyrmIDFS Rk则 1*01()()NmkNkYk X k WN11*001()()NNnkmkNNknYkx n W WN11*()001()()NNn m kNnkx nYk WN1*0()()Nnx n y nm1*0()()Nny n x nm 则取主值序列1*0()()()NNNnx n ynmRn1*0()()()()NxyNNnrmy n x nmRn当当 时，时，圆周相关可完全代表线性相关圆周相关可完全代表线性相关121NNN类似于线性卷
37、积与圆周卷积之间的关系类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系3.7 抽样抽样z变换变换频域抽样理论频域抽样理论如何从频域抽样恢复原序列如何从频域抽样恢复原序列1、两种抽样、两种抽样时域抽样时域抽样:对一个频带有限的信号，根据抽样定理对一个频带有限的信号，根据抽样定理对其进行抽样，所得抽样信号的频谱是原带对其进行抽样，所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓，因此，完全可以由限信号频谱的周期延拓，因此，完全可以由抽样信号恢复原信号。抽样信号恢复原信号。频域抽样频域抽样:对一有限长序列对一有限长序列(时间有限序列时间有限序列)进行进行DFT所得所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。所就是序列傅氏变换
38、的采样。所以以DFT就是频域抽样。就是频域抽样。时域抽样定理：时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？频域抽样呢？抽样条件？抽样条件？内插公式？内插公式？()()()kNnkNz WnX kNWznXX zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：()()?X kx n分析：()z()()nnx nX zx n z任意绝对可和的非周期序列，其 变换：()()NxnX kIDFS令为的：101()()()NnkNNkxnIDFS X kX k WN101()NmknkNNkmx
39、m WWN 1()01()Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r为任意整数 x(n)为无限长序列为无限长序列混叠失真混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为M()X k由频域抽样序列由频域抽样序列 还原得到的周期序列还原得到的周期序列是原非周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数周期为频域抽样点数N。()x n所以：时域抽样造成频域周期延拓所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓1 NM），不失真2NM），混叠失真频率采样定理频率采样
40、定理若序列长度为若序列长度为M，则只有当频域采样点数，则只有当频域采样点数:时，才有时，才有即可由频域采样即可由频域采样 不失真地恢复原信号不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。，否则产生时域混叠现象。NM()()()()()NNNxn RnIDFS X k Rnx n()X k()x n1101()1N NkkNzX kNWz()Mx nNNM点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100()()()MNnnnnX zx n zx n z11001()NNnknNnkX k WzN11001()NNnknNknX kWzN11011()1NkNNNkkNWzX kNWz用频域采样用频域
41、采样 表示表示 的内插公式的内插公式()X k()X z1101()()1N NkkNzX kX zNWz内插公式：111()1NkkNzzNWz内插函数：10()()()NkkX zX kz则内插公式简化为：20(-1)jkNzeN极点：，阶20,1,.,1jrNzerN零点：，()()jjkkz eez()jX e用频域采样用频域采样 表示表示 的内插公式的内插公式()X k1(1)2sin21sin2kNjNjNNkNeeNkN10()()()()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ()sin2NjNeN内插函数：102 ()()()NjkX eX kkN内插公式：21
42、2 ()20kikNkNiikN1,1,0),(2NkkXeXNkj在每个抽在每个抽 样点上其值精确等于样点上其值精确等于X(k)。而在抽样点之间而在抽样点之间,等于等于加权加权的内插函数值的内插函数值jeX kNkX2)1,1,0(Nk叠加而得。叠加而得。七、用DFT对模拟信号作频谱分析信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换00shTfTFNf时域采样间隔时域采样频率信号记录长度（频率分辨率）频域采样间隔采样点数信号最高频率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF0TNT对连续时间非周期信号的DFT逼近()()j tX jx t edt 1()2j tx tXjed()()(
43、)j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）将 在 轴上等间隔（T）分段()x tt2）将 截短成有限长序列()x n00 tTN，个时域抽样点N-10()()j nTnX jTx nT e 002 F 0k 210()NjnkNnTx n e3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓，周期为0F001/TF0N-100()()jknTnX jkTx nT e002/2/sTFfN()T DFT x n01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd 21000()NjnkNkFX jke21001
44、()NjnkNskfX jkeN1NN01/()T IDFT X jk对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样0()()X jkT DFT x n01()()x nIDFT X jkT近似逼近：对连续时间周期信号的DFS逼近000001()()TjktX jkx t edtT00()jktkx tXjke010001()()NjknTnX jkx nT eTT0100 NTntnTdtTdtT1）将 在 轴上等间隔（T）分段()x tt1()DFS x nN02/TN0TNT2101()NjnkNnx n eN2）频域截断：长度正好等于一个周期0100()()N
45、jknTkx nTX jke2100()NjnkNkX jke21001()NjnkNkNX jkeN0()N IDFS X jk01()()X jkDFS x nN0()()x nN IDFS X jk近似逼近：频率响应的混叠失真及参数的选择00sTfNTF2shff时域抽样：001/FT频域抽样：同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。00sTfNTFhsff要增加信号最高频率则0NF当 给定必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠，必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾hf信号最高频率 的确定0/2htT0112hhfTt例：例：有一
46、频谱分析用的有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点处理器，其抽样点数必须是数必须是2的整数幂。的整数幂。假定没有采用任何特殊的假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为数据处理措施，已知条件为 (1)频率分辨率为频率分辨率为 ;(2)信号的最高频率信号的最高频率 ，试确定以下参量：试确定以下参量：(1)最小记录长度最小记录长度 ;(2)抽样点间的最大时间间隔抽样点间的最大时间间隔T;(3)在一个记录中的最小点数在一个记录中的最小点数N。ZH10ZkH4PT解：解：（1）最小记录长度最小记录长度sFTP1.01011sTP1.0（2）最大的抽样时间间隔）最大的抽样时间间隔TsffThs331
47、0125.01042/12/1/1msT125.0(3)最小记录点数最小记录点数N1024280010/1042/2103NFfNh取 例例:对实信号进行谱分析，对实信号进行谱分析，要求谱分辨率要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定试确定最小记录时间最小记录时间TPmin，最大的采样间隔最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数最少的采样点数Nmin。如果如果fc不变，不变，要求谱要求谱分辨率增加一倍，分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的最少的采样点数和最小的记录时间是多少记录时间是多少?110.110PTsF3maxmin110.2 102225002
48、2250050010ccTsffNF解：解：因此因此TPmin=0.1 s，因为要求因为要求fs2fc，所以，所以为使频率分辨率提高一倍，为使频率分辨率提高一倍，F=5 Hz，要求要求minmin225001000510.25pNTsFFT例：有一频谱分析用的处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：11024HzkHz）频率分辨率）信号最高频率0 1 2T NT试确定以下参量：）最小记录长度）抽样点间的最大时间间隔（即最小抽样频率）3）在一个记录中最少点数1解：）最小记录长度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽样间隔 （）311012
49、5224 10hTmsf.3）最小记录点数30224 1080010hfNF 10221024800mN 取 1-14 有一调幅信号用DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问(1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）?(2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）?(3)抽样点数应为多少点？(4)若用 频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求 ，512点，并粗略画出 的幅频特性 ，标出主要点的坐标值。1cos 2100cos 2600axttt axt3kHzsf()()X kDFT x n()X k()X k（1）抽样频率应为 2 7001400sfHz解：（2）抽样时间间隔应为110.0007
50、20.721400sTSecmsf 1cos 2100cos 2600axtttcos 260011 cos 2700cos 250022ttt61715cos 2cos 2cos 214214214nnn3()()at nTx nx t（）()14x nN 为周期序列，周期14抽样点数至少为点500 600 700Hz或者因为频率分量分别为、0100HzF 得 0/1400/10014sNfF14N最小记录点数2/sTff 2/k N*/sffk N频谱泄漏改善方法：对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加x(n)长度2）缓慢截短栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更
