1、Spatial Analytic Geometry1.平面与空间直线平面与空间直线平面的方程：平面的方程：点法式方程点法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程三点式方程三点式方程直线方程：直线方程：点向式方程点向式方程对称式（标准式）方程对称式（标准式）方程参数式方程参数式方程两点式方程两点式方程一般方程一般方程Spatial Analytic Geometry2一、平面的方程一、平面的方程点法式方程点法式方程所谓平面的方程是指平面上任意点所谓平面的方程是指平面上任意点),(zyx满足的满足的等式等式设平面过已知点设平面过已知点),(0000zyxM且与非零向量且与非零向量),(CBAn
2、垂直，求平面的方程垂直，求平面的方程xyzo0MMn设平面上任一点的坐标为设平面上任一点的坐标为),(zyxM则向量则向量,0 nMM用坐标表示用坐标表示0)()()(000zzCyyBxxA这就是平面的这就是平面的点法式方程点法式方程求平面方程求平面方程的基本方法的基本方法Spatial Analytic Geometry3其中其中),(CBAn 叫做平面的叫做平面的法向量法向量，它垂直于，它垂直于平面内的任一向量平面内的任一向量注意：注意：0n阅读教材的例、（阅读教材的例、（p67页）页）一般方程一般方程0)()()(000zzCyyBxxA把点法式方程把点法式方程改写为改写为0DCzBy
3、Ax其中其中000CzByAxD则是平面的则是平面的一般方程一般方程平面方程的平面方程的最常用形式最常用形式),(CBAn Spatial Analytic Geometry4例例 求过点求过点)1,1,1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 解解所求平面方程为所求平面方程为,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyxSpatial Analytic Geometry5例例 设平面过原点及点设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面，且与平面
4、824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面方程为设平面方程为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D解解由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为Spatial Analytic Geometry6平面的一般方程的几种特殊情况：平面的一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似
5、地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0DCzByAx0B可类似地讨可类似地讨论论0C或或Spatial Analytic Geometry7例例 设平面与设平面与zyx,三轴分别交于三轴分别交于)0,0,(aP、)0,0(bQ、),0,0(cR（其中（其中0 a，0 b，0 c），），求此平面方程求此平面方程.设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解平面的截距式方程平面的截距式方程Spatial Analytic Geometry8,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 cz
6、byax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距xyzPQRSpatial Analytic Geometry9例求过已知三点例求过已知三点),(),(),(333322221111zyxMzyxMzyxM的平面方程（三点不共线）的平面方程（三点不共线）1M2M3MM解解设设),(zyxM是平面上任意点是平面上任意点则三向量则三向量MMMMMM13121,共面，故由三向量共面的共面，故由三向量共面的条件，有条件，有0),(13131312121211131211zzyyxxzzyyxxzzyyxxMMMMMM这是平面的这是平面的三点式方三点式方程程
7、（另法参见教材的例）（另法参见教材的例）Spatial Analytic Geometry10例求过三点例求过三点)0,6,0(),4,3,2(),0,3,2(CBA的平面的平面ABCM解解设设),(zyxM是所求平面上任意点，是所求平面上任意点，则三向量则三向量AMACAB,共面，共面，从而从而0),(AMACAB但但),0,3,2(),4,6,4(ACAB),3,2(zyxAM),24,8,12(ACAB故故AMACABAMACAB)(),(024)3(8)2(12zyx即所求平面为即所求平面为012623zyxSpatial Analytic Geometry11定义定义（通常取锐角）（
8、通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 两平面的夹角两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面两平面夹角余夹角余弦公式弦公式Spatial Analytic Geometry12两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 例例 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以
9、下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos Spatial Analytic Geometry13601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.Spatial Analytic Geometry14二、空
10、间直线的方程二、空间直线的方程直观上我们知道，两点确定一直线、两平面相交于直观上我们知道，两点确定一直线、两平面相交于一直线、过已知一点沿已知方向有且只有一直一直线、过已知一点沿已知方向有且只有一直线我们建立直线的方程就依据这些事实线我们建立直线的方程就依据这些事实直线的点向式方程直线的点向式方程设一直线过已知点设一直线过已知点),(0000zyxM而平行于已知向量而平行于已知向量),(nmls 求出该直线方程求出该直线方程xyzosL0M M 设直线上任一点的坐标为设直线上任一点的坐标为),(zyxM易知易知,/0sMM用坐标表示用坐标表示nzzmyylxx000Spatial Analyt
11、ic Geometry15这就是直线的方程，叫做空间直线的这就是直线的方程，叫做空间直线的对称式方程对称式方程或或标准方程标准方程（最常用的形式！）（最常用的形式！）),(nmls 其中的非零向量其中的非零向量叫直线的叫直线的方向向量方向向量如果令如果令,000tnzzmyylxx方程可化为方程可化为ntzzmtyyltxx000叫做直线的叫做直线的参数方程参数方程，t 是参数是参数例如例如x轴的标准方程是轴的标准方程是,001zyx参数式方程是参数式方程是.00zytx那么那么,你知道你知道0023zyx表示哪条表示哪条直线吗直线吗?Spatial Analytic Geometry16从上
12、例可知，直线的方向向量是不唯一的（但必须平从上例可知，直线的方向向量是不唯一的（但必须平行）；而且直线的方程也是不唯一的，请大家切记！行）；而且直线的方程也是不唯一的，请大家切记！直线的标准方程、参数方程都是点向式方程下例如何？直线的标准方程、参数方程都是点向式方程下例如何？例求过两个已知点例求过两个已知点),(),(22221111zyxMzyxM的直线的直线1M2MM用点向式方程的方法，用点向式方程的方法，所求直线过已知点所求直线过已知点),(1111zyxM方向与向量方向与向量21MM平行，故直线的方程为平行，故直线的方程为121121121zzzzyyyyxxxx参数方程为何？参数方程
13、为何？这叫做直线的这叫做直线的两点式方程两点式方程Spatial Analytic Geometry17解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ),4,0,2(所求直线方程所求直线方程.440322 zyx例例 一一直直线线过过点点)4,3,2(A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程.Spatial Analytic Geometry18例例 求过点求过点)5,2,3(且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms
14、根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程Spatial Analytic Geometry19直线的一般方程直线的一般方程我们知道若两个平面不平行，则交于一直线我们知道若两个平面不平行，则交于一直线如果这两个平面的方程分别为如果这两个平面的方程分别为,01111DzCyBxA,02222DzCyBxA则直线的方程可表为则直线的方程可表为0022221111DzCyBxADzCyBxA这就是直线的这就是直线的一般方程一般方程例化直线例化直线为一般方程表示为一般方程表示440322zyx442203zxy即即0203zx
15、ySpatial Analytic Geometry20例化直线例化直线0825042zyxzyx为标准方程为标准方程解解),2,1,5(),1,2,1(21nn两个平面的法向量分别为两个平面的法向量分别为故直线的方向为故直线的方向为)11,3,5(21nns再求出直线上一点坐标，为此令再求出直线上一点坐标，为此令z，则由，则由085042yxyx可解出，可解出，.1112,1120yx即即)0,1112,1120(为直线上一点，所以标准方程为为直线上一点，所以标准方程为113111251120zyx即即zyx3121152011Spatial Analytic Geometry21直线间夹角
16、、直线与平面的夹角直线间夹角、直线与平面的夹角两直线两直线,111111nzzmyylxx222222nzzmyylxx间的夹角就是直线的方向向量的夹角，故间的夹角就是直线的方向向量的夹角，故2121|cosssss222222212121212121|nmlnmlnnmml l注意：一般指锐角！注意：一般指锐角！如：直线如：直线10211zyx与与0321131zyx的夹角的余弦为的夹角的余弦为21011)1(010)1(1011222222教教材材例例10Spatial Analytic Geometry22你可以得到二直线垂直或平行的充要条件吗你可以得到二直线垂直或平行的充要条件吗?答案
17、答案021212121nnmmllLL21212121:/nnmmllLL下面看一下直线与平面的夹角问题下面看一下直线与平面的夹角问题.所谓直线与平面的夹角就是直线与所谓直线与平面的夹角就是直线与它在平面上的投影间的夹角它在平面上的投影间的夹角(锐角锐角)即直线的方向向量与平面的法向量即直线的方向向量与平面的法向量间的夹角的余角间的夹角的余角.(如图如图),:000nzzmyylxxL),(nmls,0:DCzByAx,CBAn Spatial Analytic Geometry23则利用两向量间的夹角公式则利用两向量间的夹角公式,知知222222|)2cos(sinCBAnmlnCmBlA例如例如:直线直线2432zyx与平面与平面062zyx间的夹角满足间的夹角满足211)1(221112)1(121sin2222226教材例教材例11思考：直线与平面垂直或平行的条件是什么思考：直线与平面垂直或平行的条件是什么?Spatial Analytic Geometry24答案：答案：,:000nzzmyylxxL,0:DCzByAxCnBmAlL:0/nCmBlAL则则
