1、一、引例二、微分方程的基本概念 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 例例1 1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程，求这曲线的方程 解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y y(x)根据导数的几何根据导数的几何意义可知意义可知此外，未知函数此外，未知函数y y(x)还应满足下列条件：还应满足下列条件：x 1 1时，时，y 2，一.引例xdxdy2 把条件把条件“x 1时，时，y 2”代入上式代入上式，得，得2 12 C，由此定出由此定出C 1把把C 1代入上式，得所求曲线
2、方程：代入上式，得所求曲线方程：y x2 1把把(1)(1)式两端积分，得式两端积分，得其中其中C C是任意常数是任意常数cxxdxy 22 例例2 2 列车在平直线路上以列车在平直线路上以20m/s(20m/s(相当于相当于72km/h)72km/h)的速度的速度行驶；当制动时列车获得加速成度行驶；当制动时列车获得加速成度 0 04m/s4m/s2 2 问开始问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间行制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间行驶了多少路程驶了多少路程?解解 设列车在开始制动后设列车在开始制动后t t秒时行驶了秒时行驶了s米根据题意米根据题意此外，未知函数此外
3、，未知函数s s(t)还应满足下列条件：还应满足下列条件：把把(4)式两端积分一次，得式两端积分一次，得)4.(.4.022 dtsd)5.(.20,0,0 dtdsvst时时这里这里C1，C2都是任意常数都是任意常数再积分一次，得再积分一次，得 把条件把条件“t=0时，时，v 20代入代入(6)得得 20 C1；把条件把条件“t=0时，时，s 0代入代入(7)得得 0 C2)6.(.4.0ctdtdsv )7.(.2.0212ctcts 把把C 1，C 2的值代入的值代入(6)及及(7)式得式得 v04t 20，(8)s02t2 20t (9)在在(8)式中令式中令v 0，得到列车从开始制动
4、到完全停住所需的，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间时间t4.02050(s)再把再把t 50代入代入(9)，得到列车在制动阶段行驶的路程，得到列车在制动阶段行驶的路程s02 502 20 50 500(m)微分方程：微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫微分方程例如系的方程，叫微分方程例如常微分方程与偏微分方程：常微分方程与偏微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程 x3 yx2
5、 y 4xy 3x2，y(4)4y10y 12y 5y sin 2x，y(n)1 0，3阶微分方程4阶微分方程n阶微分方程 例1 例2 二.微分方程的概念 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分叫微分方程的阶方程的阶微分方程的阶：微分方程的阶：一般一般n阶微分方程：阶微分方程：F(x，y，y，y(n)0y(n)f(x，y，y，y(n-1)如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解通解微分方程
6、的通解：微分方程的通解：例1 例2 设函数设函数y j j(x)在区间在区间I上有上有n阶连续导数，如果在区阶连续导数，如果在区间间I上，上，Fx，j j(x)，j j (x)，j j(n)(x)0，那么函数那么函数y j j(x)就叫做微分方程就叫做微分方程F(x，y，y，y(n)0在区间在区间I 上的解上的解微分方程的解：微分方程的解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解即不含任意常数的解称为微分方程的特解特解即不含任意常数的解称为微分方程的特解特解：特解：例1 例2 00yyxx，00yyxxx x0 时，时，y y0，y y 0
7、一般写成一般写成 用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件如用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件如初始条件：初始条件：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题初值问题：初值问题：如求微分方程 y=f(x,y)满足初始条件00yyxx的解的问题，记为记为00),(yyyxfyxx 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线积分曲线积分曲线：积分曲线：22dtxdk2x0的解的解 解解 求所给函数的导数：求所给函数的导数：dtdxk C1sin ktkC2cos kt，22dtxdk2C1
8、cos ktk2C2sin kt k2(C1cos ktC2sin kt)例例3 验证：函数验证：函数x=C1 cos kt+C2 sin kt是微分方程是微分方程 这表明所给函数满足所给方程，因此所给函这表明所给函数满足所给方程，因此所给函数是所给方程的解数是所给方程的解 k2(C1cos kt C2sin kt)k2(C1cos kt C2sin kt)0将22dtxd及 x 的表达式代入所给方程，得 例例4 已知函数已知函数x C1 cos kt C2 sin kt(k 0)是微分方程是微分方程22dtxdk2x=0的通解，求满足初始条件的通解，求满足初始条件x|t=0 A，x|t=0
9、0的特解的特解 解解 由条件由条件x|t=0 A及及x C1 cos kt C2 sin kt，得，得C 1 A再由条件再由条件x|t=0 0，及，及x (t)k C1sin kt kC2cos kt，得，得C 2 0把把C 1、C 2的值代入的值代入x C1 cos kt C2 sin kt中，得中，得x A cos kt小结与思考小结与思考 概括的说，只要含有未知函数的导数或微概括的说，只要含有未知函数的导数或微分的方程就是微分方程。对于微分方程及其基分的方程就是微分方程。对于微分方程及其基本概念我们今后经常用到，大家要理解和熟悉本概念我们今后经常用到，大家要理解和熟悉它们。这些概念是微分
10、方程的定义和微分方程它们。这些概念是微分方程的定义和微分方程的解，微分方程的通解和特解，尤其是搞清楚的解，微分方程的通解和特解，尤其是搞清楚通解的定义，理解什么是通解的定义，理解什么是“独立的任意常数独立的任意常数”。一 可分离变量的微分方程 齐次微分方程2 小结与思考第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 及齐次微分方程及齐次微分方程 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422 yxdxdy 例.2254dxxdyy 解法解法1、分分离离变变量量 dxxfdyyg)()(若若)(yG和和)(xF分
11、分别别为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数，则则 CxFyG )()(为微分方程的（隐式）通解。为微分方程的（隐式）通解。若一阶微分方程可写成变量分离的形式若一阶微分方程可写成变量分离的形式2、两两边边积积分分 分离变量法分离变量法例例1 1 求求.2的通解的通解xydxdy 解解可分离变量为可分离变量为,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy,|ln 2Cxy 得得为为所所求求通通解解。2xCey ,e|y|Cx 2 即即.eeyxC2 即即也也是是解解又又 0 y（零零解解）通解,非全部解通解,全部解的通解。的通解。求求0)()(xdyxygydxxyf（做做因因变变量量换
12、换元元）原原方方程程化化为为可分离变量为可分离变量为.)()()(|lnCduufuguugx 积分，得积分，得例例2 2解解,xyu 令令,0)()()(dxxuugduugdxxuuf,)()()(duufuguugxdx 所求通解所求通解.)()()(|lnCduufuguugxxyu 建立微分方程的方法：建立微分方程的方法：1 1、直接法：、直接法：直接由几何条件或物理定律列出（因变量与自变直接由几何条件或物理定律列出（因变量与自变量）的微分方程。量）的微分方程。2 2、间接法：、间接法：借助中间变量间接地建立因变量与自变量的联系，借助中间变量间接地建立因变量与自变量的联系，列出微分方
13、程。列出微分方程。解解)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM 积积分分，得得00MMt 代代入入,|lnCtM ,tCeeM 即即，得得CM 0teMM 0衰变规律衰变规律可可分分离离变变量量为为.tCeM 直接法直接法衰变速度衰变速度根据题意根据题意,得得二、齐次方程二、齐次方程形如形如)(ddxyxyj j 的方程叫做齐次方程的方程叫做齐次方程 .令令,xyu ,xuy 则则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy )(dduxuxuj j xxuuud)(d j j两边积分两边积分,得得 xxuuud)(dj j积分后再用积分后再用xy代替代替 u u,便得原方程的通解便得原
14、方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:例例1 1 解微分方程解微分方程.tanxyxyy 解解:,xyu 令令,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得uuuxutan 分离变量分离变量xxuuuddsincos 两边积分两边积分 xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxu xCu sin即即故原方程的通解为故原方程的通解为xCxy sin(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C C 为任意常数为任意常数 )例例2 2 解微分方程解微分方程.0dd)2(22 yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy 方方程程变变形形为为,xyu 令令则有则有22uuuxu 分
15、离变量分离变量xxuuudd2 积分得积分得,lnln1lnCxuu xxuuudd111 即即代回原变量得通解代回原变量得通解即即Cuux )1(yCxyx )(说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在求解过程中丢失了但在求解过程中丢失了.(C C 为任意常数为任意常数)oyx可得可得 OMA=OAM=例例3.3.在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时,解解:设光源在坐标原点设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线)(xfy 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上任意点过曲线上任意点 M(x,y)作切线作切线 M T,由光的反射定律由
16、光的反射定律:入射角入射角=反射角反射角xy cotxyy 22yxOM TMAPy取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO=OMOPAP 要求点光源的光线反要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性射出去有良好的方向性 ,试求反射镜面的形状试求反射镜面的形状.而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 :xyy 22yx 利用曲线的对称性利用曲线的对称性,不妨设不妨设 y 0,21dd yxyxyx,vyx 则则,yxv 令令21ddvyvy yvyvyxdddd Cyvvlnln)1(ln2 积分得积分得故有故有1222 CvyCy,xvy 代代入入得得)2(22CxC
17、y (抛物线抛物线)221)(vvCy Cyvv 21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程)顶到底的距离为顶到底的距离为 h,hdC82 说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为 hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,(2CoyxA小结与思考小结与思考 可分离变量的微分方程和齐次微分方程是可分离变量的微分方程和齐次微分方程是较简单的微分方程。可分离变量的微分方程是较简单的微分方程。可分离变量的微分方程是一阶
18、线性微分方程的特殊形式，而齐次方程又一阶线性微分方程的特殊形式，而齐次方程又可以转化为可分离变量的微分方程来解。可以转化为可分离变量的微分方程来解。一 一阶线性微分方程的概念 一阶线性微分方程的解法 第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 )()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当当上述方程称为上述方程称为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程上述方程称为上述方程称为一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程,0)(xQ当当一、一阶线性方程的概念例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的非线
19、性的非线性的.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程二 一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法).(2ln)2()()(120 xfdttfxfxfx，求求满满足足关关系系式式若若连连续续函函数数例例 2)()(xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0(f2ln cxexf22ln)(则则2.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论:设设y=f(x)是解是解,则则,)()()()()(dx
20、xPxfxQxfxdf 变形变形积分积分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()(dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式非齐方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf ,)()()(dxxfxQexc记记 dxxpexcxfy)()()(常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为设解为 dxxPexcy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和将将yy),()()(xQexcdxxP ,)()()(Cdxe
21、xQxcdxxP 积分得积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解非齐方程通解一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。.0)()()(的的解解的的任任意意两两解解之之差差是是证证明明 yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy .sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(x
22、xP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解:例例2 2的的通通解解。求求方方程程例例0)12(2)1(322 dyxyydxy)1(21422yyxyydydx 解解)1(22214214cdyeyyexdyyydyyy )ln2()1(1222cyyy 例例4 4 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yx
23、dxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解:解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 二阶线性微分方程 二阶常系数线性齐次方程解的结构 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 求二阶常系数线性齐次微分方程的 解的步骤 第四节第四节 二阶常系数线性齐次二阶常系数线性齐次 微分方程微分方程 的方程，称为的方程，称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程.当当 时，方程时，方程(1)(1)成为成为)1()()()(xfyxQyxPy 0)
24、(xf)2(0)()(yxQyxPy称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，当，当 时，时，方程方程(1)(1)称为称为二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/形如形如一 二阶线性微分方程)3.(.0 qyypy当系数当系数P(x)、Q(x)分别为常数分别为常数p、q时时，则称方程则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程为二阶常系数线性非齐次微分方程为二阶常系数线性非齐次微分方程.)4.().0)().(xfxfqyypy定理定理1 1 设设y1(x)，y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方是二阶常系数线性齐次微分方程程(3)(
25、3)的两个解，则的两个解，则 也是方程也是方程(3)(3)的解，其中的解，其中C C1 1,C C2 2是任意常数是任意常数.)()(2211xyCxyCy二 二阶常系数线性齐次方程解的结构 证证，的的解解，所所以以都都是是方方程程因因为为0)()()(0)()()()3()(),(22211121 xqyxpyxyxqyxpyxyxyxy的的左左端端，得得代代入入方方程程将将)3()()(2211xyCxyCy ，0 )()()()()()()()()()()()(22221111221122112211 xqyxpyxyCxqyxpyxyCxyCxyCqxyCxyCpxyCxyC.)3()
26、3()()(2211的解的解所以它是方程所以它是方程，满足方程满足方程即即xyCxyCy 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解个解y1(x)，y2(x)的线性组合的线性组合仍是方程的解仍是方程的解.那么，那么，是不是方程是不是方程(3)(3)的通解呢？的通解呢？)()(2211xyCxyC)()(2211xyCxyCy 例例1 1 对于二阶常系数对于二阶常系数线性齐次微分方程线性齐次微分方程,02yyy)()(2211xyCxyCy 也是它的解也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数但这个解中只含有一个任意常数C C，显，显然它不是所给方程的通解
27、然它不是所给方程的通解.xxxxCCCCCee)2(e2e2121 xxexyexy2)(,)(21 容易验证：容易验证：都是它的解都是它的解.由定理由定理1 1 知知问题：问题：方程方程(3)(3)的两个特解的两个特解y1(x)，y2(x)满足什么条满足什么条 件时，件时，)()()(212211为任意常数为任意常数，CCxyCxyCy 才是方程才是方程(3)(3)的通解？的通解？由例由例1 1分析可知，如果方程分析可知，如果方程(3)(3)的两个特解的两个特解y1(x)，y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解组合得到的解就必定是方程就必定
28、是方程(3)(3)的通解的通解.)()()(212211为为任任意意常常数数，CCxyCxyCy 定义定义 设设y1(x)与与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数或存在不全为零的常数k1,k2)，使得对于该区间内的一切，使得对于该区间内的一切x，有有)0)()()()(221112 xykxykkxyxy或或成立，则称函数成立，则称函数y1(x)与与y2(x)在该区间内在该区间内线性相关线性相关，否，否则称则称y1(x)与与y2(x)线性无关线性无关.例如，例例如，例1 1中中 是线性相关的，是线性相
29、关的，是线性无关的是线性无关的.xxxyxye2)(e)(21 与与xxxyxxye)(e)(13 与与定理定理2 2 如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是二阶常系数线性齐是二阶常系数线性齐次微分方程次微分方程(3)的两个线性无关的的两个线性无关的特解，则特解，则),()()(212211为为任任意意常常数数CCxyCxyCy 就是方程就是方程(3)(3)的通解的通解.02 e)(e)(221的解，并写出它的通解的解，并写出它的通解都是微分方程都是微分方程与与验证验证 yyyxyxyxx，及及分分别别求求导导，得得及及对对xxxxxxxyxyxyxyxyxy222211221e4)(,e
30、2)(e)(,e)(e)(e)(，程程左左端端，得得把把它它们们分分别别代代入入所所给给方方0e2e2e4 ,0e2ee 222 xxxxxx例例2 2所给方程为二阶常系数所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程线性齐次微分方程解解常数，常数，xxxxyxy3212eee)()(，是是线线性性无无关关的的两两个个特特解解与与xxxyxy221e)(e)(.,ee 2.1121221是是任任意意常常数数其其中中，得得原原方方程程的的通通解解为为由由定定理理CCCCyxx .e)(e)(221都是原方程的解都是原方程的解与与故故xxxyxy 三 求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.1.写
31、出特征方程，并求出特征方程的两个根；写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2.2.根据两个特征根的不同情况，按照公式根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)(6)、(7)(7)或或(8)(8)写出微分方程的通解写出微分方程的通解.可使用下表可使用下表:0qypyy02qprr两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 特征方程特征方程:微分方程微分方程:两个相等的实根两个相等的实根21rr 一对共轭复根一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21)sin cos(e21xCxCyx的两个根的两个根r1,r2的通解的通解例例3 3 求微分方程求微分方程.032的通
32、解yyy，有不相等的实根有不相等的实根3 ,1 21 rr.ee 321xxCCy 通通解解为为，0322 rr 解解:其特征方程为其特征方程为即即 (r+1)(r3)=0,，有两个相同实根有两个相同实根21 21 rr.2dd 1|0dd4dd4 0022的的特特解解，满满足足初初值值条条件件求求微微分分方方程程 tttssststs例例4 4.e)(221ttCCs 故故通通解解为为041 sss原原方方程程化化为为0412 rr特特征征方方程程为为解解:，求求导导，得得将将上上式式对对2222ee)1(21dd ttCCtst ，故故，代代入入通通解解，得得将将2210e)1(11ttt
33、CsCs .e321 2tts 故所求特解为故所求特解为，代入上式得代入上式得再将再将232dd20 Ctst.032 的通解的通解求微分方程求微分方程 yyy，有一对共轭复根有一对共轭复根i 21 2,1 r).2sin2cos(e 21xCxCyx 通通解解为为例例5 5，特特征征方方程程为为032 2 rr解解:小结与思考小结与思考 通过这节课的学习，我们认识了二阶常通过这节课的学习，我们认识了二阶常系数线性齐次微分方程，并且会求这类方程系数线性齐次微分方程，并且会求这类方程的通解和特解了。我们看到，求解二阶常系的通解和特解了。我们看到，求解二阶常系数线性齐次方程不必积分，只要用代数方程
34、数线性齐次方程不必积分，只要用代数方程求出特征方程的根就可以写出微分方程的通求出特征方程的根就可以写出微分方程的通解了。而只需要将初值条件代入方程，就可解了。而只需要将初值条件代入方程，就可得到特解。得到特解。一、二阶常系数线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构 二、二阶常系数线性非齐次 微分方程的解 第五节第五节 二阶常系数线性二阶常系数线性 非齐次微分方程非齐次微分方程 )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm ,sin)(xe
35、xPxm 难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.自由项为自由项为一、二阶常系数线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程代入原方程)()()()()2()().(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可可设设;)(xmexxQy ()()xnf xpx e1.型是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(,02 qp
36、 ,02 p),()(2xQxxQm 可设.)(2xmexQxy 综上讨论综上讨论,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意:上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例1 1.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解:特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr对应齐次方程通解对应齐
37、次方程通解,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(于于是是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 求通解求通解xxeyyy3596 解解:特征方程特征方程0962 rr特征根特征根321 rr齐次通解齐次通解xexccY321)(是是重重根根3 xeBAxxy32)(可可设设即即23)(BxAxxQ BxAxxQ23)(2 BAxxQ26)(代入（代入（*）式）式xBAx526 0,65 BAxexy3365 非齐通解为非齐通解为xexxccy3321)65(例
38、例2 型型、xexPxfxm cos)()(2 型型型型及及其其组组合合xexPxfxm sin)()(xexPxfxm cos)()(xexPxfxm sin)()(分别是分别是 xjmexP)()(的实部和虚部的实部和虚部,)()(xjmexPqyypy 考考虑虑方方程程可设可设xjmkexQxy)()(次次复复系系数数多多项项式式是是mxQm)()()()(21xjQxQxQm 记记次次实实系系数数多多项项式式均均是是 mxQxQ)(),(21辅助方程辅助方程)sin(cos)()(21xjxexjQxQxyxk )cos)(sin)()sin)(cos)(2121xxQxxQjxxQx
39、xQexxk 是是特特征征方方程程的的单单根根不不是是特特征征方方程程的的根根 jjk,1,0由分解定理由分解定理sin)(cos)(Re21xxQxxQexyxk cos)(sin)(Im21xxQxxQexyxk 分别是以分别是以 xexPxfxm cos)()(xexPxfxm sin)()(为自由项的非齐次线为自由项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意:上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程例例3 3.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解:对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4
40、jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式,42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy （取虚部）（取虚部）原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 这种方法称为这种方法称为复数法复数法例例4 4.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解:对应次齐方程通解对应次齐方程通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAj,94
41、31jBA ，,)9431(2*jxejxy )2sin2)(cos9431(xjxjx ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy （取实部）（取实部）原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 注意注意:xAexAexx sin,cos.)(的的实实部部和和虚虚部部分分别别是是xjAe 例例5 5.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解:对应齐方程通解对应齐方程通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,s
42、in)(cos)(21xxcxxcy 设设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例6 求通解求通解xeyyxcos 解解:相应齐次方程相应齐次方程0 yy特征方程特征方程jrr 2,1201齐次方程通解齐次方程通解xcxcYsincos21 先求先求 xeyy 的特解的特解设设xAey *1代入方程代入方程21 Axey21*1 再求再求 xyycos 的特解的特解考虑辅助方程考虑辅助方程jxeyy 是单根是单根j 可设可设jxAxey jxjxAjxeAey jxjx
43、AxeAjey 2代入方程得代入方程得jA21 xxjxxxejyjxcos21sin2121 取实部得取实部得xxysin21*2 原方程的特解原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx 所求通解为所求通解为)sin(21sincos21xxexcxcyx 例例7 7 设设)(22yxfu 具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数且满足且满足2222221yxuxuxyuxu 求求 u 的表达式的表达式解解:记记 22yxr 则则)(rfu rxdrduxudrduxu drdurydrudrxxu 3222222)(同理同理drdurxdrudryyu 3222222)(udrud
44、uxuxyuxu 22222212222yxudrud 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得解得2sincos221 rrcrcu222221sincosyxcyxcu 222rudrud 即即 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子钉子8米，另一端离钉子米，另一端离钉子12米，若不计摩米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为下段重为解解:设时刻设时刻 t 链条下落了链条下落了 x 米米另设链条单位长重为另设链条单位长重为)(mkgw则上段重为则上段重为)12(xw)8(xw
45、由由Newton第二定律第二定律2220)8()12(dtxdwgxwxw 例例8 0,000 ttdtdxx特征方程特征方程0102 gr特征根特征根102,1gr 齐次通解齐次通解tgtgececX102101 特解特解2*x故故2)(102101 tgtgecectx代入初始条件代入初始条件解得解得121 cc2)(1010 tgtgeetx时当8 x)(3.2)625ln(10sgt 小结小结(待定系数法待定系数法)可以是复数）可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(
46、xxRxxRexymmxk 只含上式一项解法：只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部,得原非齐次方程特解得原非齐次方程特解.小结与思考 这节课我们认识了二阶常系数线性非齐次微分方程，学习了这类方程的解的性质和通解的结构，并且讨论了当自由项为多项式、多项式乘以指数函数或为三角函数时特解的解法。主要解题方法还是结合了特征方程和特征根的情形。大家要把握住方程的特解与自由项具有相同的结构这一原则。一、用微分方程解决实际问题 的一般步骤 二、应用实例 第六节第六节 微分方程的应用微分方程的应用 (1)(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方分析问题，
47、设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；程，确定初始条件；(2)(2)求出微分方程的通解；求出微分方程的通解；(3)(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解出微分方程相应的特解 本节将通过一些实例说明微分方程的应用本节将通过一些实例说明微分方程的应用 一、用微分方程解决实际问题的一般步骤一、用微分方程解决实际问题的一般步骤例例1 1 设曲线上任一点的切线在第一象限内的线段恰设曲线上任一点的切线在第一象限内的线段恰好被切点所平分，已知该曲线通过点好被切点所平分，已知该曲线通过点(2,3)(2,3)，求，求该曲线的方程该曲线的方程 解解
48、:由题意，它是切线在第一象限内部分的中点，由题意，它是切线在第一象限内部分的中点，设设 M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，则切线与则切线与 y 轴的交点轴的交点坐标是坐标是(0,2y)，与与x轴的交点是轴的交点是(2x,0)，若设曲线方程为若设曲线方程为()yf x则得微分方程则得微分方程2002yykyxx 6,C 得分离变量，解得分离变量，解得lnlnlnyxC xyC分离变量，解得分离变量，解得曲线过点（曲线过点（2 2，3 3）因此，所求曲线的方程为因此，所求曲线的方程为xyC例例2 2 一质量为一质量为m m的物体，在倾斜角为的斜面上由静止开始的物体，在倾斜角为的斜面上
49、由静止开始下滑。摩擦力为，其中为运动速度下滑。摩擦力为，其中为运动速度,物体对斜面的正压力物体对斜面的正压力,为常数，求速度随时间的变化规律。为常数，求速度随时间的变化规律。解：解：利用牛顿第二定律：利用牛顿第二定律：Fma设设()vv t则则 dvadt沿斜面向下的力为：沿斜面向下的力为：sinmgsincosdvmmgKvLmgdt(sincos)dvKvgLdtm(sincos)KKdtdtmmvegLedtC(sincos)KKttmmmegLeCK(sincos)KtmmgLCeK0t0v(sincos)mCgLK()(sincos)(1)Ktmmgv tLeK例例3 3在商品销售预
50、测中，在商品销售预测中，时刻的销售量为时刻的销售量为 ，若商，若商品销售的增长速度品销售的增长速度 与销售量与销售量 和销售接近饱和程度和销售接近饱和程度 之积成正比，求销售函数之积成正比，求销售函数 。t()xx tdxdt()x tx()x t解：解：由题意，由题意，()dxkx xdt()dxkdtxx()dxdxkdtxx1lnln()lnxxktC1ktxC ex11ktktxC exC e1111ktktktC exC eCe11CC小结与思考小结与思考建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对于问题有关的自然规律有一个清晰的
