1、Slide 1第章第章无限长单位脉冲响应无限长单位脉冲响应(IIR)IIR)数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法Slide 2内容内容3.2 常用模拟低通滤波器（常用模拟低通滤波器（LPF）特性）特性3.1 根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR滤波器滤波器3.3 从模拟从模拟LPF原型到各种滤波器的频率原型到各种滤波器的频率变换变换3.4 从数字从数字LPF原型到各种数字滤波器的原型到各种数字滤波器的频率变换频率变换Slide 3q许多信息处理过程，如q信号的过滤，检测、预测等信号的过滤，检测、预测等q都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数字信
2、号处理的重要基础。q数字滤波器的功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。q数字滤波器线性时不变系统。q实现方法主要有两种：q数字信号处理机数字信号处理机q计算机软件计算机软件Slide 4 设计数字滤波器的步骤：设计数字滤波器的步骤：一般包括以下三步：一般包括以下三步：(1)按照按照任务的要求，确定滤波器的性能任务的要求，确定滤波器的性能指标任务包括：指标任务包括：需要滤除哪些频率分量保留哪些频率分量保留的部分允许有多大的幅度或相位失真(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求统的系统函数去逼近这一性能要求
3、系统函数可以分为系统函数可以分为IIR和和FIR两类系统两类系统 Slide 5DF的分类（补充）的分类（补充）v系统函数v递归系统递归系统v非递归系统非递归系统v系统响应v IIRvFIRv 频率响应v高通、低通高通、低通v带通、带阻带通、带阻Slide 6(3)数字滤波器的实现数字滤波器的实现选择运算结构确定运算和系数存储的字长选用通用计算机及相应的软件通用计算机及相应的软件专用数字滤波器硬件实现这一系统。专用数字滤波器硬件实现这一系统。Slide 7数字滤波器的数学描述数字滤波器的数学描述1)差分方程差分方程NiNiiiinybinxany01)()()(2)系统函数系统函数NMzdzc
4、AzbzaZHNiiMiiNiiiMiii一般111110)1()1(1)(Slide 8系统的组成系统的组成一般，一般，MN,这类系统称为这类系统称为N阶系统阶系统当当MN时，时，H(z)可看成是一个可看成是一个N阶阶IIR子系统与一个子系统与一个(M-N)阶的阶的FIR子系子系统的统的级联级联。IIR(N阶阶)FIR(M-N阶阶)X(n)y(n)Slide 9数字低通滤波器频率响应幅度特性的容限图数字低通滤波器频率响应幅度特性的容限图1111)(ejH通带过渡带 阻带2o1111|)(|1jeH|c 2|)(|jeHr|Slide 10 IIR滤波器的逼近问题滤波器的逼近问题 寻找滤波器的
5、各系数寻找滤波器的各系数ai和和bi，使其逼，使其逼近一个所要求的特性。近一个所要求的特性。通常有以下两种方法：通常有以下两种方法：1.模拟滤波器模拟滤波器=预定指标的预定指标的DF。优点：经典方法，成熟，方便，准确要求：掌握Slide 112.最优化设计方法最优化设计方法(1)确定一种最优准则确定一种最优准则例:设计出的实际频率响应的幅度特性|H(ej)|与所要求的理想频率响应|Hd(ej)|的均方误差最小准则，或最大误差最小准则(2)求此准则下的滤波器系数求此准则下的滤波器系数ai和和bi。特点：(1)直接法:不需要模拟滤波器作为之间环节(2)现代方法，需要大量的迭代运算Slide 123
6、.1 根据模拟滤波器来设计根据模拟滤波器来设计IIR滤波器滤波器 教材教材p100 从已知的模拟滤波器传递函数从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计设计DF传递函数传递函数H(z)。由由s平面到平面到z平面平面的变换，满足两条基本要求：的变换，满足两条基本要求：(1)H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响gs平面的虚轴映射到z平面的单位圆ej上。(2)因果稳定的Ha(s)能映射成因果稳定的H(z)gS平面的左半平面Res0=z平面的单位圆内|z|1Slide 13模拟滤波器的设计方法模拟滤波器的设计方法 1.巴特沃兹滤波器（了解）巴特沃兹滤波器（了解）2.切比雪夫滤波器（了解）切比雪夫滤波器
7、（了解）3.椭圆滤波器（椭圆滤波器（*）Slide 14两种映射方法两种映射方法由由DF模仿模仿AF的特性，也即从的特性，也即从AF映射映射成成DF的问题。的问题。1.脉冲响应不变法（重点）2.双线性变换法（重点）各有优势各有优势 Slide 153.1.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 教材教材P101 使DF的h(n)模仿模拟滤波器的ha(t)，T为采样周期。即 h(n)=ha(nT)(1)假设 Ha(s)=Lha(t)，H(z)=Zh(n)NiiiassAsH1)(2)Slide 16从从Ha(s)到到H(z)结论结论通过通过N阶模拟滤波器的阶模拟滤波器的Ha(s)的的Ai和和si，可以
8、求出，可以求出DF的的H(z)。NitSiatueAthi1)()(3)NinTSiatueAnThnhi1)()()(4)NiTsizeAzHi111)(5)教材教材P101Slide 17理想采样的拉氏变换与采样序列理想采样的拉氏变换与采样序列h(n)的的z变换变换H(z)之间存在着之间存在着s平面与平面与z平平面的映射关系面的映射关系 nnznhzH)()(STez(3.7)Slide 18 z的模的模r仅仅对应于对应于s的实部的实部 z的幅角的幅角仅仅对应于对应于s的虚部的虚部。(1)=0时，r=1，s平面虚轴映射为z平面的单位圆。(2)0时，r1；当0时，r1。s左半平面映射为z平面
9、的单位圆内部，而s右半平面则映射为z平面单位圆外部jsrezj,令TerT,则Slide 19(3)=T，当自0至变化时，的对应值为0至/T。s平面上每一条宽为平面上每一条宽为2/T的横带部分，都将重叠的横带部分，都将重叠地映射到地映射到z平面的整个平面上。平面的整个平面上。每一横带的左半部分映射在每一横带的左半部分映射在z平面单位圆内；横平面单位圆内；横带的右半部分映射在单位圆以外带的右半部分映射在单位圆以外 j轴映射到单位圆上，但轴映射到单位圆上，但j轴上的每一段轴上的每一段2/T都对应于绕单位圆一周。都对应于绕单位圆一周。Slide 20图图3.1 脉冲响应不变法的映射关系脉冲响应不变法
10、的映射关系Slide 21混叠失真不可避免混叠失真不可避免 任何一个实际的模拟滤波器的频响任何一个实际的模拟滤波器的频响都不可能真正是带限的，这就不可都不可能真正是带限的，这就不可避免地会产生混叠失真避免地会产生混叠失真 因而因而AF的频响在折叠频率以上处衰的频响在折叠频率以上处衰减越大，这个失真就越小。减越大，这个失真就越小。Slide 22(1)稳定性稳定性(1)如果如果Ha(s)是稳定的，即其极点全是稳定的，即其极点全部都在部都在s左半平面内左半平面内 由映射关系可知，对应的由映射关系可知，对应的H(z)的极点的极点也全部都在也全部都在z平面的单位圆内平面的单位圆内 所以所以H(z)也是
11、稳定的。也是稳定的。Slide 23(2)相位线性相位线性 H(s)的虚轴均映射到的虚轴均映射到H(z)的单位圆上，逼的单位圆上，逼近程度在近程度在-(/T)(/T)的范围内是好的的范围内是好的 在此范围内在此范围内与与之间呈线性的对应关系之间呈线性的对应关系，即，即=T。一个线性相位的模拟滤波器一个线性相位的模拟滤波器Bessel滤波器 可以映射成一个线性相位的可以映射成一个线性相位的DF。Slide 24(3)局限性局限性-频率混叠效应频率混叠效应 P103-104 该方法只适用于带限的该方法只适用于带限的AF。高通和带阻滤波器高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响不宜采用脉冲响应不变法应不变法g
12、否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的分量。带通和低通滤波器带通和低通滤波器，需充分地带限，需充分地带限g阻带衰减越大，则混叠效应越小Slide 25例例1 将已知传递函数将已知传递函数的模拟滤波器数字化的模拟滤波器数字化图图3.3 脉冲响应不变法的幅频特性脉冲响应不变法的幅频特性 Slide 263.1.2 双线性变换法双线性变换法 P105频谱交叠产生的混淆:从S平面到Z平面的变换zesT的多值对应关系建立S平面与Z平面一一对应的单值关系设想变换分为两步1.将整个将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一条横平面的一条横带里带里2.通过变换关系将此横带变换到整个通过变换关系将此横带变换到
13、整个Z平面平面Slide 27图图3.3 3.3 双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的一段上，可通过正切变换实现：21TtgcSlide 28通过标准变换将横带变换到整个Z平面将将S S1 1平面通过标准变换关系映射到平面通过标准变换关系映射到Z Z平面平面代入，有将jezjs,)2/(tgc通常取c=2/T1111zzcSTsez1Slide 29S平面与平面与Z平面单值映射关系平面单值映射关系双线性变换双线性变换v优点不存在混叠效应：vS平面虚轴对应于平面虚轴对应于Z平面单位圆的一周平面单位圆的一周vS平面的平面的=0处对应于处对应于Z平面的平面的
14、=0处处v对应于对应于DF的频率响应终止于折迭频率处的频率响应终止于折迭频率处)2/(1)2/(111211TsTszzzTsSlide 30讨论：变换的性质讨论：变换的性质1.s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到z平面单位圆上平面单位圆上 z=ej,代入，得代入，得 s平面上的正虚轴和负虚轴分别被映射到平面上的正虚轴和负虚轴分别被映射到z平面上单位圆的上半部和下半部。平面上单位圆的上半部和下半部。(3.20)图图3.5jjtgTeeTsjj22112Slide 31图图3.5双线性变换的频率特性双线性变换的频率特性2.s平面的左半部映射到单位圆的内部 s平面的右半部映射到单位圆的外部。证明证明
15、Slide 323.稳定性稳定性 s 的实部为负时，因子的幅度小于的实部为负时，因子的幅度小于1，相，相当于单位圆的内部。当于单位圆的内部。反之，反之，s 的实部为正时，该比值的幅度大的实部为正时，该比值的幅度大于于1，相当于单位圆的外部。，相当于单位圆的外部。结论：结论：使用双线性变换法能从稳定的使用双线性变换法能从稳定的AF获得稳定的获得稳定的DF)2/(1)2/(1TsTs考察比值考察比值因子因子Slide 334.避免了混叠问题避免了混叠问题代价代价：在频率轴上引进了失真：在频率轴上引进了失真在零频率附近与之间的频率变换关系接近于线性关系当增加时，变换关系是非线性注意注意：只有当容忍或
16、能补偿这种失真只有当容忍或能补偿这种失真时，这种设计法才是实用的时，这种设计法才是实用的Slide 345.DF幅频响应相对于原幅频响应相对于原AF会有畸变会有畸变频率之间的非线性变换关系频率之间的非线性变换关系例例 一个模拟微分器，它的幅度与频一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系率是直线关系 通过双线性变换后，不可能得到通过双线性变换后，不可能得到数字微分器。数字微分器。Slide 356.对于分段频响为常数的滤波器（对于分段频响为常数的滤波器（*）变换后仍得到幅频特性为分段常数变换后仍得到幅频特性为分段常数的滤波器的滤波器 但是各个分段边缘的临界频率点产但是各个分段边缘的临界频率点产生
17、了频率畸变生了频率畸变 可以通过频率的预畸变加以校正可以通过频率的预畸变加以校正Slide 363.2 3.2 常用模拟低通滤波器特性常用模拟低通滤波器特性q目的：方便学习数字滤波器q任务：讨论常用的模拟LPF设计方法q高通、带通、带阻等模拟滤波器可利高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由用变量变换方法，由LPF变换得到变换得到。q模拟LPF的种类Butterworth 滤波器滤波器Chebyshev 滤波器滤波器椭圆（椭圆（Elliptic、Cauer型）滤波器型）滤波器Slide 37模拟滤波器的设计（逼近）q根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近理想滤波器特性。
18、在逼近中常使用“振幅平方函数”来表示:A(2)=|Ha(j)|2=Ha(j)H*a(j)(3.21)由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而 H*a(j)=Ha(-j)(3.22)A(2)=Ha(j)Ha(-j)=Ha(s)Ha(-s)|s=j (3.23)Slide 38问题问题:由已知的由已知的A(2)求得求得Ha(s)。在稳态条件下在稳态条件下,s=j2=-s2，所以A(2)=A(-s2)|s=j。先在先在s复平面上标出复平面上标出A(-s2)的极点和零点的极点和零点 由由(3.23)式，式，A(-s2)的极点、零点总是的极点、零点总是“成成对地对地”对称于对称于s平面的实轴与虚轴平面
19、的实轴与虚轴 选用选用A(-s2)的对称极点、零点的任一半作的对称极点、零点的任一半作为为Ha(s)的极点和零点的极点和零点 从而可得到系统函数从而可得到系统函数Ha(s)Slide 39极点、零点在左半平面、右半平面？极点、零点在左半平面、右半平面？选用极点时为了保证选用极点时为了保证Ha(s)的稳定的稳定选用A(-s2)在s左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点则可用A(-s2)的对称零点的任一半 在要求设计的在要求设计的Ha(s)具有最小相位性具有最小相位性质时质时选用A(2)在s左半平面的零点作为Ha(s)的零点。Slide 40例例2 设已知设已知A(2)，求对应的，求对应的Ha(
20、s)。四个极点和两个零点在四个极点和两个零点在s平面上的分平面上的分布如图布如图3.5。2121212122)s(1)s-(2)(422jsjsjsjsssSA42212)(ASlide 41图图3.5 从从A(2)求求Ha(s)Slide 42构成构成Ha(s)的的极点、零点极点、零点 按稳定条件按稳定条件取左半平面的两个极点 按最小相位条件来选取按最小相位条件来选取取左半平面上的一个零点21212)(jsjsssHa三种最常用模拟滤波器的设计方法三种最常用模拟滤波器的设计方法Slide 433.2.1 巴特沃兹巴特沃兹(Butterworth)滤波器滤波器 特点特点(1)具有通带内最大平坦
21、的振幅特性(2)随着频率的升高而单调地下降。幅度平方函数幅度平方函数:NcajjHA222j11)()(3.24)Slide 44A(2)的特性的特性N为滤波器的阶数为滤波器的阶数,N越大越大通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡(1)在在通带通带内内/c1则则(/c)2N非常小而非常小而使函数使函数A(2)接近于接近于1(2)在在过渡带和阻带过渡带和阻带内内/c1,(/c)2N 则则远大于远大于1，使函数值骤然下降，使函数值骤然下降(3)在在c处，响应等于直流时的处，响应等于直流时的0.5。这相。这相当于幅度响应的当于幅度响应的0.707或或3dB衰减点衰减点Slide 45图图3.6 But
22、terworth滤波器的幅度平方函数滤波器的幅度平方函数Slide 46振幅平方函数的极点振幅平方函数的极点 sp有有2N个，等角度分布在个，等角度分布在|s|=c的圆周上的圆周上 NcaajssHsH2)/(11)()(3.25)()1(21cNpjs(3.26)Slide 47分析：分析：N=3阶的振幅平方函数的极点分布阶的振幅平方函数的极点分布 系统函数是由系统函数是由s平面左半部的极点平面左半部的极点(sp3,sp4,sp5)组成。其系统函数为：组成。其系统函数为：)()()(5433pppcasssssssH(3.27)分子的3c使得s=0时，Ha(s)=1。令c=1，便得到归一化的
23、三阶LPF：1221)(231SSSsHa(3.28)Slide 48图图3.7 N=3阶的振幅平方函数的极点分布阶的振幅平方函数的极点分布Slide 493.2.2 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器 显著特点显著特点:逼近误差峰值在一个规定的频段上为最小。误差值在规定的频段上是等波纹的误差值等幅地在极大值和极小值之间摆动。切比雪夫滤波器的振幅平方函数为切比雪夫滤波器的振幅平方函数为)(11)(j)A(22222a2cNxVH(3.29)Slide 50N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式 c为有效通带截止频率为有效通带截止频率 为小于为小于1的正数，与通带波纹有关的正数，与通
24、带波纹有关值愈大通带波动愈大 VN(x)是是N阶切比雪夫多项式：阶切比雪夫多项式：1)coshcosh(10)coscos()(11xxNxxNxVN(3.30)Slide 51N阶切比雪夫多项式的变化规律阶切比雪夫多项式的变化规律当当|x|1时，时，|VN(x)|1；在在|x|1的区间内的区间内VN(x)随随x而单调地增加而单调地增加在在|x|1间隔内，间隔内，1+(x)的值将在的值将在1与与1+2之间变化。之间变化。|x|1即为即为|/c|1(通带通带),此时的此时的|Ha(j)|2在在1与与1/(1+2)之间波动。之间波动。在在|x|1时，即时，即c时，随着时，随着/c的增大的增大|Ha
25、(j)|2迅速趋于零。迅速趋于零。Slide 52图图3.6 Chebyshev滤波器的振幅平方特性滤波器的振幅平方特性 N=even，|Ha(j)|2在在=0处为最小值；处为最小值；N=odd，|Ha(j)|2在在=0处为处为1，最大值，最大值 Slide 53有关参数的确定方法有关参数的确定方法(c、N)1.c一般是预先给定的一般是预先给定的2.求求是与通带波纹有关的参数，波纹是与通带波纹有关的参数，波纹：minmax2min2max)()(lg20)()(lg10jHjHjHjHaaaa|Ha(j)|max=1而 Ha(j)|min=1/(1+2)2=10/10-1 Slide 54(3
26、)求阶数求阶数N N对滤波特性有极大的影响，对滤波特性有极大的影响，N越大越大逼近特性越好相应的滤波器结构也越复杂。N的值根据阻带的边界条件来确定的的值根据阻带的边界条件来确定的当当=s时，时，|Ha(js)|21/A2)()1(1121CSchAchNSlide 55 N、c、给定后，就可以求得滤波给定后，就可以求得滤波器系统函数器系统函数Ha(s)查阅有关模拟滤波器手册。Slide 563.2.3 椭圆滤波器椭圆滤波器 特点特点:其幅值响应在通带和阻带内都是等其幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的波纹的 对于给定的阶数和给定的纹波要求，除对于给定的阶数和给定的纹波要求，除椭圆滤波器外，其他滤
27、波器均不能获得椭圆滤波器外，其他滤波器均不能获得较窄的过渡带宽较窄的过渡带宽 就这一点，椭圆滤波器是最优的。就这一点，椭圆滤波器是最优的。Slide 57椭圆函数椭圆函数(Jacobi Elliptic Function)振幅特性由雅可比椭圆函数决定振幅特性由雅可比椭圆函数决定这种滤波器的振幅平方函数为这种滤波器的振幅平方函数为),(11|)(|)(2222LRjHANaRN(，L)-雅可比椭圆函数L是一个表示纹波性质的参量 Slide 58图图3.10 椭圆滤波器的振幅平方函数椭圆滤波器的振幅平方函数Slide 59三种最常用三种最常用模拟滤波器的选型模拟滤波器的选型按照技术指标选用哪种型式
28、由设计者决定按照技术指标选用哪种型式由设计者决定关于阶数：关于阶数：椭圆滤波器的阶次可最低切比雪夫滤波器次之巴特沃兹滤波器最高关于参数的灵敏度关于参数的灵敏度恰恰相反。从设计指标设计从设计指标设计A(2)设计出设计出Ha(s)讨论从讨论从Ha(s)至至H(z)的变换设计法。的变换设计法。Slide 603.3 从模拟原型从模拟原型LPF到各种到各种DF的频率变换的频率变换 两种设计方法：两种设计方法：1.两步法两步法(1)把一个归一化的原型模拟LPF经模拟频带变换成所需类型的模拟滤波器。(AAC)(2)通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为所需类型的DF。(ADC)Slide 61图图3.11
29、 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 2.一步法一步法 直接从模拟低通归一化原型通过一定的直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，一步完成各类型数字滤频率变换关系，一步完成各类型数字滤波器的设计波器的设计模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻Slide 623.3.1 低通变换低通变换 1.确定数字滤波器的指标确定数字滤波器的指标确定各临界频率k 2.指标转换指标转换将DF的性能要求转换为与之相对应的AF的性能要求由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k。Slide 63 3.设计模拟滤波器设计模拟滤波器根据k设计模拟滤波器的Ha(s)
30、用查表的方法用解析的方法 4.滤波器数字化滤波器数字化将AF的Ha(s)数字化为所需的DF的H(z)通过脉冲响应不变法/双线性变换法Slide 64 1)脉冲响应不变法脉冲响应不变法 例例3 T=250s(fs=4kHz)，设计一个三，设计一个三阶阶Butterworth滤波器，其滤波器，其3dB截止截止频率为频率为fc=1kHz。322211)(ssssHa解：解：脉冲响应不变法的频率关系是线性脉冲响应不变法的频率关系是线性的，所以可直接按的，所以可直接按c=2fc设计设计Ha(s)。以。以截止频率截止频率c 归一化传递函数为：归一化传递函数为：Slide 65 然后以s/c代替其归一化频率
31、，得 32)/()/(2)/(211)(cccassssHo将c=2fc代入，就完成了三阶模拟滤波器的计算。o具体数值应该放在完成了DF的变换后一次代入，以简化运算。Slide 66将Ha(S)上式写成部分分式结构：2/)31(3/2/)31(3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jccecAsA2/)31(,3/;2/)31(36/32jsecAjscjcNiTSiZeAZHi111)(Slide 67 把把Tcc/代入，得：12/)31(6/12/)31(6/11)3/(1)3/(1/)(ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc合并上式后两项，并将 5
32、.02Tfcc代入21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(ZZZZTZHSlide 68H(z)与采样周期与采样周期T有关有关 越小，越小，H(z)的相对增益越大。的相对增益越大。在实际应用脉冲响应不变法时稍微作一点修正在实际应用脉冲响应不变法时稍微作一点修正 在求得了在求得了H(z)以后，再乘以一因子以后，再乘以一因子T 使得使得H(z)只与只与fc/fs有关，而与有关，而与fs没有直接的关系没有直接的关系fs=4kHz，fc=1kHz与fs=40kHz，fc=10kHz的数字滤波器将具有同一个传递函数。21112079.01905.015541
33、.0571.12079.01571.1)(zzzzZHSlide 69 2)双线性变换法双线性变换法例4 设计指标与上题相同，fs=4kHz，fc=1kHz，试设计一三阶巴特沃兹低通滤波器。解 1.确定数字截止频率c=2fcT=0.5 2.用c=(2/T)tg(c/2)确定预畸变的滤波器 临界频率 c=(2/T)tg(0.25)=2/T 3.归一化的三阶巴特沃模拟滤波器传递函数32)/()/(2)/(211)(cccassssH 4.代入c=2/T,得 Slide 70 5.将双线性变换关系代入，得将双线性变换关系代入，得DF的传递函数的传递函数311211111121111211211)()
34、(11zzzzzzsHZHzzTsaSlide 71 231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzSlide 72 注意注意:模拟滤波器模拟滤波器Ha(s)的通带截止频率已的通带截止频率已不是不是DF所要模仿的截止频率所要模仿的截止频率fc=1kHz。两种设计方法所得到的频响的比较：两种设计方法所得到的频响的比较：双线性变换法:z=-1即=处有一个三阶传输零点,正是模拟滤波器在=处的三阶传输零
35、点通过映射形成的。脉冲响应不变法:混叠效应使得过渡带和阻带的衰减特性变差，并且不存在传输零点。Slide 73图图3.12 两种设计方法所得到的频响的比较两种设计方法所得到的频响的比较脉冲响应不变法双线性变换法Slide 743.3.2 高通变换高通变换 由模拟低通滤波器至高通滤波器的变换就由模拟低通滤波器至高通滤波器的变换就是是s变量的变量的倒量变换倒量变换。将双线性变换中的将双线性变换中的s用其倒数用其倒数1/s代替，就代替，就可以得到数字高通滤波器，即可以得到数字高通滤波器，即11112zzTsSlide 75倒量变换没有改变模拟滤波器的稳定条件倒量变换没有改变模拟滤波器的稳定条件也不会
36、影响双线性变换后的稳定条件。也不会影响双线性变换后的稳定条件。令令s=j,z=ej，则，则 =(-T/2)ctg(/2)或或|=(T/2)ctg(/2)例例5 设计一数字高通滤波器，它的设计一数字高通滤波器，它的通带为400500Hz，容许有0.5dB的波动阻带内衰减在317Hz的频带内至少为19dB采样频率为1000Hz。Slide 76|=(T/2)ctg(/2)Slide 77 解解 利用切比雪夫滤波器，预畸变的模拟利用切比雪夫滤波器，预畸变的模拟截止频率等于截止频率等于c=(T/2)ctg(2400)/(21000)=(T/2)0.32492 s为模拟低通滤波器的阻带边界频率。为模拟低
37、通滤波器的阻带边界频率。s=(T/2)ctg(2317)/(21000)=(T/2)0.6498 将将c与与s以及以及s均对均对(T/2)归一化，得归一化，得Slide 78 =c/(T/2)=0.32492 =s/(T/2)=0.64982 确定模拟确定模拟Chebyshev滤波器的另两个参数：滤波器的另两个参数：对应于0.5dB的波动，即=1/2,2=0.1220184。求得最小的滤波器阶数N=3。根据这些参数，可以查表根据这些参数，可以查表/计算获得传递函数为计算获得传递函数为 0255842155.0166563075.04127346.00255842155.0)(23ssssHac
38、scSlide 79三阶切比雪夫高通频响321311145376786.052427784.197486024.11)1(01594149.0)()(11zzzzsHZHzzsaq模拟滤波器在=处的三阶传输零 点 通 过 高 通 变 换 后 出 现 在=0(z=1)处q高通滤波器所希望得到的。Slide 80数字低通数字低通数字低通数字低通 Hp(ej)和和H(ej)都是低通函数都是低通函数 截止频率不相同截止频率不相同当由变到时，相应也应由变到全通函数的阶数应为=1 zzzGu式中以满足G(1)=1,G(-1)=-1的变换关系，且需。Slide 81 代入u=ej，z=ej，则得频率间关系为jjjeeecos12sin1arctg22
