1、7.61圆的方程圆的方程(一一)高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学2问题问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心圆心C是定点，圆周上的点是定点，圆周上的点M是是动点，它们到圆心距离等于定长动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆，圆心和半径分别确定了圆的位置
2、和大小的位置和大小问题问题3：求曲线的方程的一般步骤求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可是什么？其中哪几个步骤必不可少？少？高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学3（1）建立适当的坐标系，用有序实数对）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表表示曲线上任意一点示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件 p(M)；（3）用坐标翻译条件）用坐标翻译条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0；（4）化简方程）化简方程f(x,y)=0；（5）证明化简后的方程为所求曲线的方程）证明化简后的方程为所求曲线的方程 其中步骤其中步骤(1)(3)
3、(4)必不可少必不可少高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学4用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：(,)C a br求圆心是，半径是 的圆的方程。解：设解：设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，xyOrM据圆的定义有据圆的定义有|MC|=rC由距离公式，得由距离公式，得22xaybr两边平方，得两边平方，得222x ay br说明：说明：1.特点：明确给出了特点：明确给出了圆心圆心和和半径半径；2.确定圆的方程必须具备确定圆的方程必须具备三个三个独立的条件。独立的条件。高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵
4、实验中学5练习练习 1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程：（1）圆心在圆点，半径是）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点）经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3)229xy22345xy（2）圆心在点）圆心在点C(3,4)，半径是，半径是 ；5228325xy高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学6练习练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）2216xy；（2）22129xy；（3）222.xaya1,06（-1，2）3,0|aa高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学7例例1.求以求以C(1,3)为圆心，并且
5、和直线为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。相切的圆的方程。解：因圆解：因圆C和直线和直线3x-4y-7=0相切，相切，所以圆心到直线的距离等于半径所以圆心到直线的距离等于半径r，CxyOr223 14371653(4)r 因此，所求的圆的方程是因此，所求的圆的方程是222561325xy高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学8练习练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。相切，求圆的方程。22196xy高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学9例例2.已知圆的方程是已知圆的
6、方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。的切线的方程。分析分析(一一)：设切线斜率为：设切线斜率为k，OM斜率为斜率为k1，则：，则：0101xkkky 即所以切线方程为：所以切线方程为：x0 x+y0y=r2xOMyP分析分析(二二)：设：设P为为切线上任意一切线上任意一点，点，则则OMMP，所以：，所以：0OM MP (x0，y0)(x-x0，y-y0)=0所以切线方程为：所以切线方程为：x0 x+y0y=r2.当当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。在坐标轴上时，上面方程仍适用。高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学10P(x,
7、y),(00yxM 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析分析(三三)：在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x+y0 y=r2例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。的切线的方程。高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学11总结：过一点求圆的切线的方程总结：过一点求圆的切线的方程 1、求经过圆上一点、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程：（1）圆）圆C的方程为：的方程为：222ryx200ryyxx切线方程为：222)()(rbyax（2）圆）圆C的
8、方程为：的方程为：200)()(rbybyaxax切线方程为：高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学122、求经过圆外一点求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程。常用求法简介：常用求法简介：001(),().yyk xxk法：设直线为化为一般式，由圆心到该直线的距离等于半径,求注意k不存在的情况002(),0().yyk xxk法：设直线为代入圆的方程，消元为一元二次方程，由,求出注意k不存在的情况高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学13练习练习4.写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M 的切线的方程的切线的方程 2,6练习练
9、习5.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=1，求求（1）斜率等于）斜率等于1的切线的方程；的切线的方程；（2）在）在y轴上截距是轴上截距是 的切线的方程。的切线的方程。2高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学14例例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度该圆拱跨度AB=20m，拱高，拱高OP=4m，在建造，在建造时每隔时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx解：如图建立坐标系，设圆的方程是解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r0)。
10、高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学15yx把P(0,4)、B(10,0)代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5 r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学16小结小结 (1)圆心为圆心为C(a,b)，半径为，
11、半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2 =r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2+y2 =r2 (2)由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a,b,r 三个参数，三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。高2008级数学教学课件2023-2-9重庆市涪陵实验中学172.求圆心求圆心C在直线在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点上，且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。的圆的方程。3.从圆从圆x2+y2=10外一点外一点P(4,2)向该圆引切线，求向该圆引切线，求切线方程。切线方程。x+3y=10 或 3x-y=10(x+)2+(y+)2=3 43 4950作业：1.书书P81习题习题7.7-1.2.3
