1、 全等的相关模型总结 一、一、角平分线模型应用角平分线模型应用 1.角平分性质模型：角平分性质模型： 辅助线：过点辅助线：过点 G 作作 GE射线射线 AC （1）.例题应用例题应用： 如图如图 1，在，在 中ABC ， ,cm4,6,900BDcmBCCABADC平分， 那么点那么点 D 到直线到直线 AB 的的 距离是距离是 cm. 如图如图 2 2，已知，已知， 21 ， 43 . BACAP平分求证： . 图图 1 图图 2 2 2 （提示：作（提示：作 DEDEAB 交交 AB 于点于点 E） 21 ， PNPM ， 43 ， PQPN ， BACPAPQPM平分, . (2).模型
2、巩固模型巩固： 练习一：如图练习一：如图 3，在四边，在四边形形 ABCD 中，中，BCAB，AD=CD，BD 平分平分 BAC . .求证：180CA 图图 3 练习二：已知如图练习二：已知如图 4，四边形，四边形 ABCD 中，中， ,1800BADACCDBCDB平分求证： 图图 4 练习三： 如图练习三： 如图 5， ,900CABAFDABCDACBABCRt平分，垂足为，中， 交交 CD 于点于点 E， 交交 CB 于点于点 F. (1)求证：求证：CE=CF. (2)将图将图 5 中的中的ADE 沿沿 AB 向右平移到向右平移到 EDA 的位置，使点的位置，使点 E落在 落在 B
3、C 边上，其他条件不变，如边上，其他条件不变，如 图图 6 所示，是猜想：所示，是猜想： BE于 于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图图 5 图图 6 练习四：练习四：如图如图 7 7，90AADBC，P P 是是 ABAB 的中点，的中点，PDPD 平分平分ADCADC 求证：求证：CPCP 平分平分DCBDCB 图图 7 练习五：练习五：如图如图 8 8，ABABACAC，A A 的平分线与的平分线与 BCBC 的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于 D D，自，自 D D 作作 DEDEABAB，DFDFACAC，垂足，垂足 分别为分别为 E E
4、，F F求证：求证：BE=CFBE=CF 图图 8 练习六：如图 9 所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。 练习七：练习七： 如图如图 10，D、E、F 分别是分别是ABC 的三边上的点，的三边上的点，CE=BF，且，且DCE 的面积与的面积与DBF 的面的面 积相等，求证：积相等，求证：AD 平分平分BAC。 BC A D E F A D E C B P 2 1 4 3 F E D CB A 图 9 2.角平分线角平分线+垂线，等腰三角形比呈现垂线，等腰三角形比呈现 辅助线
5、：延长辅助线：延长 ED 交射线交射线 OB 于于 F 辅助线：过点辅助线：过点 E 作作 EF射线射线 OB （1）.例题应用：例题应用： 如图如图 1 所示，在所示，在ABC 中，中，ABC=3C，AD 是是BAC 的平分线，的平分线，BEAD 于于 F。 求证：求证： 1 () 2 BEACAB 证明：延长 BE 交 AC 于点 F。 已知：如图已知：如图 2 2，在，在 中ABC ， ,ADABDBCADBAC且于交的角平分线 )( 2 1 .ACABAMMADADCM求证：的延长线于交作 分析：此题很多同学可能想到延长线段分析：此题很多同学可能想到延长线段 CM，但很快发现与要证明的
6、结论毫无关系。而此题突破口就，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就 在于在于 AB=AD，由此我们可以猜想过，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形点作平行线来构造等腰三角形. 证明：过点证明：过点 C 作作 CEAB 交交 AM 的延长线于点的延长线于点 E. 例题变形例题变形:如图，如图， 21 ， 的中点为ACB ， .,NFBANMFBCM于于 求证： ;2BMEF ).( 2 1 FNFMFB (3).模型巩固模型巩固： 练习一、 如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D， CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于
7、点 E。求证：BD=2CE。 图 3 练习一变形：如图 4，在ODC 中， ， 0 90DCEOEDCOEC的角平分线，且是 ， 过点 E 作 之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF 图 4 练习二、如图 5，已知ABC 中，CE 平分ACB，且 AECE，AEDCAE180 度，求证： DEBC 图 5 练习三、如图 6，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB，BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 中点。 图图 6 A C D E B A B C D E 练习四、如图 7（a） ， AA B CCEBD的外角平分线，过点分别是、作BDAD DEDE
8、EDCEAE:.求证，连接、，垂足分别是 ，BC )( 2 1 ACBCABDE . 图图 7（a） 图图 7（b） 图图 7（c） 、如图 7（b） ， 件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABCCEBD 、如图 7（c） ， 的外角平分线，为的内角平分线，为ABCCEABCBD 其他条件不变. 则在图 7（b） 、图 6（c）两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你 的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行) 练习五、 如图练习五、 如图 8， 在直角三角形在直角三角形ABC中，中，90C，A的平分线交的平分线交BC于于D
9、 自 自C作作CGAB交交AD 于于E，交，交AB于于G自自D作作DFAB于于F，求证：，求证：CFDE G A B C D E F 1 2 图图 8 练习六、练习六、 如图 9 所示， 在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线， 若CFAD 且交AD的延长线于F，求证 1 2 MFACAB M F D C B A 图图 9 练习六变形一：如图练习六变形一：如图 10 所示，所示，AD是是ABC中中BAC的外角平分线，的外角平分线，CDAD于于D，E是是BC的中的中 点，求证点，求证DEAB 且且 1 () 2 DEABAC E D CB A 图图 10 练习六变形二练习六变
10、形二：如图如图 1111 所示，在所示，在ABC中，中，AD平分平分BAC，ADAB，CMAD于于M，求证，求证 2ABACAM M D CB A 图图 11 练习七、 如图练习七、 如图 12， 在， 在ABC中，中，2BC ，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D 则有 则有ABBDAC 那 那 么如图么如图 13，已知在，已知在ABC中，中，3ABCC ，12 ，BEAE求证：求证：2ACABBE DCB A 2 1 E CB A 图图 12 图图 13 练习八、在练习八、在ABC中，中，3ABAC，BAC的平分线交的平分线交BC于于D，过，过B作作BEAD，E为垂足，求证：为垂足，求
11、证： ADDE C E D B A 练习九、练习九、AD是是ABC的角平分线，的角平分线，BEAD交交AD的延长线于的延长线于E，EFAC交交AB于于F 求证：求证：AFFB D E C F B A 3.角分线，分两边，对称全等要记全角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使，从而使 OAC OBC. （1）.例题应用：例题应用： 、在、在ABCABC 中，中，BAC=60BAC=60，C=40C=40，APAP 平分平分BACBAC 交交 B BC C 于于 P P，BQBQ 平分平分ABCABC 交交 ACAC 于于 Q Q，求证：
12、，求证：AB+BP=BQ+AQAB+BP=BQ+AQ。 思路分析思路分析： 1 1）题意分析）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2 2）解题思路）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的 思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得 ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。 如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。 小结：小结： 通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。 而不同的
13、添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。 、如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AD是是BAC的外角平分线，的外角平分线，P是是AD上异于点上异于点A的任意一点，试比较的任意一点，试比较 PBPC与与ABAC的大小，并说明理由的大小，并说明理由 D P CB A E D P CB A 【解析】 PBPCABAC，理由如下 CDB P A E CDB P A 【解析】 在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEPACP，P
14、EPC，AEAC 又BEP中，BEPBPE，BEABAC，ABACPBPC （2） 、模型巩固：） 、模型巩固： 练习一、.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，CDABBD，B 的平分线交 AC 于点 E，求证：点 E 恰好在 BC 的垂直平分线上。 练习二、如图，已知ABC 中，ABAC，A100，B 的平分线交 AC 于 D， 求证：ADBDBC 练习三、如图，已知ABC 中，BCAC，C90，A 的平分线交 BC 于 D， 求证：ACCDAB 练习四、已知：在ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于,D DFBC交AC于 ,EABF交于求证：EFBFCE E A D B C A
15、C B D A C B D 练习五、在ABC中，,2ABAC AD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求证：2BDCE 变式：变式：已知：在ABC中，,2BC BD平分ABC，,ADBQD于 求证： 1 2 BDAC 练习六、 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,BC=DC,CF 平分BCD,DFAB,BF 的延长线交 DC 于 点 E. 求证： （1） BF=DF； (2) AD=DE. 练习七、已知如图，在四边形 ABCD 中，AB+BC=CD+DA，ABC 的外角平分线与CDA 的外角平分线 交于点 P.求证：APB=CPD A B C D F E 练习八、如图，在平行四边形
16、ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F 分别是 AD，AB 边上 的点，且 BE、DF 交于 G 点，BE=DF，求证：GC 是BGD 的平分线。 G A D B C E F 练习九、如图，在ABC 中，ACB 为直角，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T， 过 D 作 DEAB 交 BC 于 E，求证：CT=BE. D A C B M TE 练习十、 如图所示， 已知练习十、 如图所示， 已知ABC中，中，AD平分平分BAC，E、F分别在分别在BD、AD上上DECD，EFAC 求求 证：证：EFAB F A CDEB 【补充】如图，在【补充】如图，在
17、ABC中，中，AD交交BC于点于点D，点，点E是是BC中点，中点，EFAD交交CA的延长线于点的延长线于点F， 交交AB 于点于点G，若，若BGCF，求证：，求证：AD为为BAC的角平分线的角平分线 F G ED C B A 4.中考巡礼：中考巡礼： （1）.如图如图 1，OP 是是AOBAOB 的平分线，请你利用图形画一对以的平分线，请你利用图形画一对以 OPOP 为所在直线为对称轴的为所在直线为对称轴的 全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。 、如图、如图 2 2，在，在ABCABC 中，中，ACBACB 是直角，是
18、直角，B=60B=60 0， ，ADAD、CECE 是是BACBAC、BCABCA 的角平分线，的角平分线， 相交于点相交于点 F F，请你判断并写出，请你判断并写出 EFEF 与与 DFDF 之间的数量的关系。之间的数量的关系。 、如图、如图 3 3，在，在ABCABC 中，中，ACBACB 不是不是直角，而（直角，而（1 1）中的其他条件不变，请问， （）中的其他条件不变，请问， （1 1）中的）中的 结论是否任然成立结论是否任然成立? ?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 （2）.如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0）
19、 ，） ，C（1，0）D 为为 y 轴上的一点，点轴上的一点，点 A 为为 第二象限内一动点，且第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过点，过点 D 作作 DMAC 于于 M， 、求证：求证：ABD=ACD； 、若点若点 E 在在 BA 的延长线上，求证：的延长线上，求证：AD 平分平分CAE； 、当点当点 A 运动时， （运动时， （AC-AB）/AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请 说明理由。说明理由。 D O x y E BC A M A O M N E F 图 1 A B C D E F 图 2 A B C D E F 图 3
20、二、二、等腰直角三角形模型等腰直角三角形模型 1.在斜边上任取一点的旋转全等：在斜边上任取一点的旋转全等： 操作过程：操作过程： （1）.将将ABD 逆时针旋转逆时针旋转 0 90 ，使ACMABD，从而推出，从而推出ADM 为等腰直角三角为等腰直角三角 形形.（但是写辅助线时不能这样写）（但是写辅助线时不能这样写） （2）.过点过点 C 作作 BCMC ，连连 AM 导出上述结论导出上述结论. 2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：等： 操作过程：连操作过程：连 AD. （1）. 使使 BF=AE（AF=CE） ，导出） ，导出BDF
21、ADE. （2）.使使EDF+BAC= 0 180 ，导出BDFADE. （1） 、例题应用：） 、例题应用： . . 解析： 方法一： 过点解析： 方法一： 过点 C 作作， 方法二：方法二： . . 证明：方法一：连接证明：方法一：连接 AM，证明，证明MDEMAC.特特别注意证明别注意证明MDE=MAC. 方法二：过点方法二：过点 M 作作 MNEC 交交 EC 于点于点 N，得出，得出 MN 为直角梯形的中位线，从而导为直角梯形的中位线，从而导 出出MEC 为等腰直角三角形为等腰直角三角形. （2）、练习巩固：、练习巩固： 已知：如图所示，已知：如图所示，RtRtABC ABC 中，中
22、，AB=ACAB=AC， 90BAC ，O 为为 BC 中点，若中点，若 M、N 分别分别 在线段在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持上移动，且在移动中保持 AN=CM. 、 是判断是判断OMN 的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论. 、 当当 M、N 分别在线段分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形上移动时，四边形 AMON 的的面积如何变化？面积如何变化？ 思路：两种方法：思路：两种方法： 在正方形在正方形 ABCDABCD 中，中，BE=3 BE=3 ，EF=5 EF=5 ，DF=4 DF=4 ，求，求BAE=DCF 为多少度为多少度. 提示如右图：提示如右图： 3.构造
23、等腰直角三角形构造等腰直角三角形 （1）、利用以上的、利用以上的 1 和和 2 都可以构造等腰直角三角（略） ；都可以构造等腰直角三角（略） ； （2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角. 如下图：如下图： 图图 3-1 图图 3-2 操作过程：在操作过程：在图图 3-2 中，先将中，先将ABD 以以 BD 所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿 水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使 A 与与 M，D 与与 E 重合重合. 例题应用：已
24、知：平面直角坐标系中的三个点，例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点， 3 , 01201CBA， ，求求OCA+OCB 的的 度数度数. 4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：将等腰直角三角形补全为正方形，如下图： 图图 4-1 图图 4-2 例题应用：例题应用： 思路：构造正方形思路：构造正方形 ACBM，可以构造出等边，可以构造出等边APM，从而造出，从而造出，又根据又根据 ， 可得， 可得， 再由于， 再由于， 故而得到故而得到从而得从而得 证证. 例题拓展：若例题拓展：若ABC 不是等腰直角三角形，即不是等腰直角三角形，即，而是，而是， 其他条件不变，求证：其他条件不变，求证：
25、2=21. 练习巩固：在练习巩固：在平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，A（0 , 3） ，点） ，点 B 的纵坐标为的纵坐标为 2，点，点 C 的纵坐标为的纵坐标为 0，当，当 A、B、C 三点围成等腰直角三角形时，求点三点围成等腰直角三角形时，求点 B、C 的坐标的坐标. （1） 、当点） 、当点 B 为直角顶点：为直角顶点： 图图 1 图图 2 （2）、当点、当点 A为直角顶点：为直角顶点： 图图 3 图图 4 （3）、当点当点 C为直角顶点：为直角顶点： 图图 5 图图 6 三、三、三垂直模型（弦图模型）三垂直模型（弦图模型） . . . . . . 由由ABEBCD 导出导出 由由A
26、BEBCD 导导 由由ABEBCD 导出导出 ED=AE-CD 出出 EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD 1.例题应用：例题应用： 例例 1.已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABC 中，中，AB=ACAB=AC， 90BAC ，D 为为 AC 中点，中点，AFBD 于于 E，交，交 BC 于于 F，连接，连接 DF. 求证：求证：ADB=CDF. 思路：思路： 方法一方法一: 过点过点 C 作作 MCAC 交交 AF 的延长线于点的延长线于点 M.先证先证ABDCAM， 再证再证 CDF CMF 即可即可. 方法二：过点方法二：过点 A 作作 AMBC 分别交分别交 BD、BC
27、 于于 H、M.先证先证ABHCAF， 再证再证 CDF ADH 即可即可. 方法三：过点方法三：过点 A 作作 AMBC 分别交分别交 BD、BC 于于 H、M.先证先证 RtAMF RtBMH，得出，得出 HFAC. 由由 M、D 分别为线段分别为线段 AC、BC 的中点，可得的中点，可得 MD 为为ABC 的中位线的中位线 从而推出从而推出 MDAB，又由于，又由于 90BAC ，故而故而MDAC，MDHF，所以，所以MD 为为 线段线段 HF 的中垂线的中垂线. 所以所以1=2.再由再由ADB+1=CDF+2 ，则，则 ADB=CDF . 例例 1 拓展（拓展（1） ：） ：已知：如图
28、所示，在已知：如图所示，在ABC 中，中，AB=ACAB=AC，AM= =CNCN，AFBM于于 E，交，交 BC 于于 F，连接，连接 NF. 求证：求证：ADB=CDF. BM=AF+FN 思路：同上题的方法一和方法二一样思路：同上题的方法一和方法二一样. 拓展（拓展（2） ：其他条件不变，只是将） ：其他条件不变，只是将BM和和FN分别延长交于点分别延长交于点P，求证：，求证：PM=PN, PBPF+AF. 思路：同上题思路：同上题的方法一和方法二一样的方法一和方法二一样. 例例 2.如图如图 2-1，已知，已知ADBC，ABE 和和CDF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EAB=C
29、DF= 90 ， AD=2，BC=5，求四边形求四边形 AEDF 的面积的面积. 图图 2-1 解析：如图解析：如图 2-2，过点，过点 E、B 分别作分别作 ENDA，BMDA 交交 DA 延长线于点延长线于点 N、M. 过点过点 F、C 分别作分别作 FPAD，CQAD 交交 AD 及及 AD 延长线于点延长线于点 P、Q. FPADENADSSS ADFAEDEAFD 2 1 2 1 四边形 FPENAD 2 1 ABE 和和CDF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EAB=CDF= 90 ，AE=AB， DF=CD. ENDA，BMDA，FPAD，CQAD ，NMB=ENA=FPD=
30、DQC= 90 . ENA=MBA ，FDP=QCD. ENAABM，FPDDQC. NE=AM， PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD . ADBC，CQBM，BMN= 90 ， 四边形四边形 BMQC 是矩形是矩形. BC=MQ AD=2，BC=5 NE+PF=5-2=3 . 332 2 1 EAFD S四边形 图图 2-2 2.练习巩固：练习巩固： （1） 、如图（） 、如图（1）-1，直角梯形，直角梯形 ABCD 中，中，ADBC，ADC= 90 ，l是是 AD 的垂直平分线，的垂直平分线， 交交 AD 于点于点 M，以腰，以腰 AB 为边做正方形为边做正方形ABFE，E
31、Pl于点于点 P. 求证：求证：2EP+AD=2CD. （1）-1 （1）-2 （2） 、） 、如图，在直角梯形如图，在直角梯形 ABCD 中，中，ABC= 90 ，ADBC，AB=ACAB=AC，E E 是是 ABAB 的中点，的中点， CEBD. 求证：求证：BE=AD ； 求证：求证：AC 是线段是线段 ED 的的垂直平分线；垂直平分线； BCD 是等腰三角形吗？请说明理由是等腰三角形吗？请说明理由. 四、四、手拉手模型手拉手模型 1.ABE 和和ACF 均为等边三角形均为等边三角形 结论： （1）. ABFAEC （2）.BOE=BAE= 0 60 （ “八字模型证明” ） （3）.O
32、A 平分平分EOF 拓展：拓展： 条件：条件：ABC 和和CDE 均为等边三角形均为等边三角形 结论： （结论： （1） 、） 、AD=BE （2）、ACB=AOB （3） 、） 、PCQ 为等边三角形为等边三角形 （4） 、） 、PQAE （5） 、） 、AP=BQ （6） 、） 、CO 平分平分AOE （7） 、） 、OA=OB+OC （8） 、） 、OE=OC+OD （ （ （7） ， （） ， （8）需构造等边三角形证明）需构造等边三角形证明） 2.ABD 和和ACE 均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形 结论： （结论： （1） 、） 、BE=CD （2）BECD 3.ABEF 和和
33、 ACHD 均为正方形均为正方形 结论： （结论： （1） 、） 、BDCF （2） 、） 、BD=CF 变形一：变形一：ABEF 和和 ACHD 均为正方形，均为正方形，ASBC 交交 FD 于于 T， 求证：求证：M 为为 FD 的中点的中点. . ADFABC SS 方法一：方法一： 方法二：方法二： 方法三：方法三： 变形二：变形二：ABEF 和和 ACHD 均为正方形，均为正方形，T 为为 FD 的中点，的中点， 求证：求证：ASBC 4当以当以 AB、AC 为边构造正多边形时，总有：为边构造正多边形时，总有：1=2= n 360 180 . P F E D I H G B C A
34、2 1 P G F E D K J I H A C B 五、五、双垂直双垂直+角平分线模型角平分线模型 结论：结论：AE=AF 拓展：若拓展：若 AP 平分平分BAD，其他条件不变，求证：，其他条件不变，求证：APCF 六、六、半角模型半角模型 条件：条件： .180 2 1 0 且 思路：思路： （1 1） 、延长其中一个补角的线段） 、延长其中一个补角的线段 （延长（延长CDCD到到E E，使使ED=BM ED=BM ，连连AEAE或延长或延长CBCB到到F F，使，使FB=DN FB=DN ，连连AF AF ） 结论：结论：MN=BM+DN ABC CMN 2 AMAM、ANAN分别平分
35、分别平分BMN 和和DNM （2）、对称（翻折）、对称（翻折） 思路思路:分别将分别将ABM 和和ADN 以以 AM 和和 AN 为对称轴翻折， 但一定要证明为对称轴翻折， 但一定要证明 M、P、N 三点共线三点共线.（B+D= 0 180 且且 AB=AD） 例题应用：例例题应用：例 1、在正方形在正方形ABCDABCD中，若中，若M M、N N分别在边分别在边BCBC、CDCD上移动，且满上移动，且满 足足MN=BM MN=BM + +DNDN，求证：，求证：. .MAN= 45 . . ABC CMN 2 . .AMAM、ANAN分别平分分别平分BMN 和和DNM. 思路同上略思路同上略
36、. . 例例 1 拓展：拓展：在正方形在正方形ABCDABCD中，已知中，已知MAN= 45 ，若若M M、N N分别在边分别在边CBCB、DCDC 的延长线上移动，的延长线上移动， . .试探究线段试探究线段MNMN、BM BM 、DNDN之间的数量关系之间的数量关系. . . .求证：求证：AB=AH. 提示如图：提示如图： 例例 2.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，B+D= 180 ，AB=AD， 若若E E、F F分别在边分别在边BCBC、CDCD 且且 上，满足上，满足EF=BE EF=BE + +DF.DF.求证：求证： . 2 1 BA DE A F 提示：提示： 练习巩固：如图，练习巩固：如图，在四边形在四边形ABCDABCD中，中，B=D= 90 ，AB=AD，若若E E、F F分别分别 在边在边BCBC、CDCD 上的点，且上的点，且 . 2 1 BADEAF . 求证：求证：EF=BE EF=BE + +DF.DF. 提示：提示：
