1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 椭圆 1 已知方程 x22 ky22k 1 1表示焦点在 y轴上的椭圆 ， 则实数 k的取值范围是 _ 解析 因为方程 x22 ky22k 1 1表示焦点在 y轴上的椭圆 ， 则由?2 k0，2k 10，2k 12 k得?k12，k1，故 k 的取值范围为 (1， 2) 答案 (1， 2) 2 中心在坐标原点的椭圆 ， 焦点在 x 轴上 ， 焦距为 4， 离心率为 22 ， 则该椭圆的方程为 _ 解析 依题意 ， 2c 4， c 2， 又 e ca 22 ， 则 a 2 2， b 2， 所以椭圆的标准方程为 x28y24 1. 答案 x28y24
2、1 3 已知点 M( 3， 0)， 椭圆 x24 y2 1 与直线 y k(x 3)交于点 A， B， 则 ABM 的周长为 _ 解析 M( 3， 0)与 F( 3， 0)是椭圆的焦点 ， 则直线 AB 过椭圆左焦点 F( 3， 0)，且 AB AF BF， ABM 的周长等于 AB AM BM (AF AM) (BF BM) 4a 8. 答案 8 4“ m n 0” 是 “ 方程 mx2 ny2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ” 的 _条件 解析 把椭圆方程化成 x21m y21n 1.若 m n 0， 则 1n 1m 0.所以椭圆的焦点在 y 轴上反之 ， 若椭圆的焦点在 y 轴上 ，
3、则 1n 1m 0 即有 m n 0.故为充要条件 答案 充要 5 如图 ， 椭圆 x2a2y22 1 的左、右焦点分别为 F1， F2， P 点在椭圆上 ， 若 PF1 4， F1PF2 120， 则 a 的值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 b2 2， c a2 2， 故 F1F2 2 a2 2， 又 PF1 4， PF1 PF2 2a， PF2 2a 4，由余弦定理得 cos 120 42（ 2a 4） 2（ 2 a2 2） 22 4 （ 2a 4） 12， 化简得 8a 24， 即 a 3. 答案 3 6 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列 ， 则该椭圆
4、的离心率为_ 解析 由题意知 2a 2c 2(2b)， 即 a c 2b， 又 c2 a2 b2， 消去 b 整理得 5c2 3a2 2ac， 即 5e2 2e 3 0， 所以 e 35或 e 1(舍去 ) 答案 35 7 已知 P 是以 F1， F2为焦点的椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)上的一点 ， 若 PF1 PF2 0， tan PF1F2 12， 则此椭圆的离心率为 _ 解析 因为 PF1 PF2 0， 所以 PF1 PF2 ， 所以 PF1 PF2 6 55 c 2a， 所以 e ca 53 . 答案 53 8 已知圆 C1： x2 2cx y2 0， 圆 C2： x2 2cx
5、 y2 0， 椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)， 若圆 C1， C2都在椭圆内 ， 则椭圆离心率的取值范围是 _ 解析 圆 C1， C2都在椭圆内等价于圆 C2的右顶点 (2c， 0)， 上顶点 (c， c)在椭圆内部 ， 所以只需?2cb0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 焦距为 2c， 若直线 y 3(x c)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F2 2 MF2F1， 则该椭圆的离心率等于 _ 解析 直线 y 3(x c)过点 F1， 且倾斜角为 60 ， 所以 MF1F2 60 ， 从而 MF2F1 30 ， 所以 MF1 MF2.在 Rt MF1F2 中 ， MF1 c，
6、 MF2 3c， 所以该椭圆的离心率 e 2c2a2cc 3c 3 1. 答案 3 1 11.如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b0)的离心率为 32 ， 以原点为圆心 ， 椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x y 2 0 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(0， 1)， Q(0， 2)设 M、 N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点 ， 直线 PM与 QN 相交于点 T， 求证：点 T 在椭圆 C 上 解 (1)由题意知 b 22 2. 因为离心率 e ca 32 ， 所以 ba 1 ? ?ca2 12. 所以 a 2
7、 2. 所以椭圆 C 的方程为 x28y22 1. (2)证明：由题意可设 M， N 的坐标分别为 (x0， y0)， ( x0， y0)， 则直线 PM 的方程为 y y0 1x0x 1， 直线 QN 的方程为 y y0 2 x0x 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 T(x， y)联立 解得 x0 x2y 3， y0 3y 42y 3. 因为 x208y202 1， 所以18?x2y 32 12? ?3y 42y 32 1. 整理得 x28（ 3y 4） 22 (2y 3)2， 所以 x289y22 12y 8 4y2 12y 9， 即 x28y22 1. 所以点 T 坐标满足椭圆
8、 C 的方程 ， 即点 T 在椭圆 C 上 12 (2018 江苏省重点中学领航高考冲刺卷 (二 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知椭圆C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为 e22 ， 右顶点到右准线的距离为 2 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图 ， 若直线 y k1x(k10)与椭圆 C 在第一象限的交点为 A， y k2x(k20， k2b0)， B1PA2 为钝角可转化为B2A2 ， F2B1 所夹的角为钝角 ， 则 (a， b)( c， b)0 即 e2 e 10， e 5 12 或 eb0)的离心率 e22 ， 一条准线方程为 x 2.过椭圆的上顶点 A
9、作一条与 x 轴、 y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点 P， P 关于 x 轴的对称点为 Q. (1)求椭圆的方程； (2)若直线 AP， AQ 与 x 轴 交点的横坐标分别为 m， n， 求证： mn 为常数 ， 并求出此常数 解 (1)因为 ca 22 ， a2c 2， 所以 a 2， c 1， 所以 b a2 c2 1. 故椭圆的方程为 x22 y2 1. (2)法一：设 P 点坐标为 (x1， y1)， 则 Q 点坐标为 (x1， y1) 因为 kAP y1 1x1 0 y1 1x1， 所以直线 AP 的方程为 y y1 1x1x 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 y 0，
10、解得 m x1y1 1. 因为 kAQ y1 1x1 0 y1 1x1， 所以直线 AQ 的方程为 y y1 1x1x 1. 令 y 0， 解得 n x1y1 1. 所以 mn x1y1 1 x1y1 1 x211 y21. 又因为 (x1， y1)在椭圆 x22 y2 1 上 ， 所以 x212 y21 1， 即 1 y21x212， 所以 x211 y21 2， 即 mn 2. 所以 mn 为常数 ， 且常数为 2. 法二：设直线 AP 的斜率为 k(k0) ， 则 AP 的方程为 y kx 1， 令 y 0， 得 m 1k. 联立方程组?y kx 1，x22 y2 1， 消去 y， 得
11、(1 2k2)x2 4kx 0， 解得 xA 0， xP 4k1 2k2， 所以 yP k xP 1 1 2k21 2k2， 则 Q 点的坐标为 ? ? 4k1 2k2， 1 2k21 2k2 . 所以 kAQ 1 2k21 2k2 1 4k1 2k2 12k， 故直线 AQ 的方程为 y 12kx 1. 令 y 0， 得 n 2k， 所以 mn ? ? 1k ( 2k) 2. 所以 mn 为常数 ， 常数为 2. 6 (2018 常州市高三教育学会学业水平监测 )已知圆 C： (x t)2 y2 20(t 0)与椭圆E： x2a2y2b2 1(a b 0)的一个公共点为 B(0， 2)， F
12、(c， 0)为椭圆 E 的右焦点 ， 直线 BF 与圆 C 相切于点 B. (1)求 t 的值以及椭圆 E 的方 程； (2)过点 F 任作与坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交 于 M， N 两点 ， 在 x 轴上是否存在一=【 ;精品教育资源文库 】 = 定点 P， 使 PF 恰为 MPN 的平分线？ 解： (1)由题意知 ， b 2， 因为 C(t， 0)， B(0， 2)， 所以 BC t2 4 20， 所以 t 4 ， 因为 t 0， 所以 t 4. 因为 BC BF， 所以 c 1， 所以 a2 b2 c2 5， 所以椭圆 E 的方程为 x25y24 1. (2)设 M(x1， y1
13、)， N(x2， y2)， l： y k(x 1)(k0) ， 代入 x25y24 1， 化简得 (4 5k2)x2 10k2x 5k2 20 0， 所以?x1 x2 10k24 5k2，x1x2 5k2 204 5k2 .若点 P 存在 ， 设 P(m， 0)， 由题意得 kPM kPN 0， 所以 y1x1 m y2x2 m k（ x1 1）x1 m k（ x2 1）x2 m 0. 所以 (x1 1)(x2 m) (x2 1)(x1 m) 0， 即 2x1x2 (1 m)(x1 x2) 2m 2 5k2 204 5k2 (1 m)10k24 5k2 2m 0. 所以 8m 40 0， 所以 m 5， 即在 x 轴上存在一定点 P(5， 0)， 使 PF 恰为 MPN 的平分线
