1、第四章第四章 数与形的完美结合数与形的完美结合解析几何的产生解析几何的产生v数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数形本是相倚依，焉能分作两边飞。v数缺形时少直觉，形少数时难入微。数缺形时少直觉，形少数时难入微。v数形结合百般好，隔离分家万事休。数形结合百般好，隔离分家万事休。v几何代数统一体，永远联系莫分离。几何代数统一体，永远联系莫分离。v 华罗庚华罗庚1.时代的产物时代的产物v 解析几何解析几何，又叫，又叫坐标几何，坐标几何，它是用代数方它是用代数方法来研究几何图形和变换性质的一门科学，法来研究几何图形和变换性质的一门科学，是是17世纪初期产生出来的一个数学分科，它世纪初期产生出来的一个数学分
2、科，它包括平面解析几何和空间解析几何两部分。包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过通过在几何空间中建立坐标系在几何空间中建立坐标系，就可将空间，就可将空间中的点均用中的点均用坐标坐标表出，从而图形的几何性质表出，从而图形的几何性质可以表为图形上的点的坐标之间的关系，特可以表为图形上的点的坐标之间的关系，特别是代数关系。别是代数关系。我们知道，几何学源远流长，远在我们知道，几何学源远流长，远在5000多多年前，年前，埃及、巴比伦、中国、印度埃及、巴比伦、中国、印度等文明古国等文明古国的人民，在从事农牧业的生产中，测量土地，的人民，在从事农牧业的生产中，测量土地，疏通河道，制造工具及日常生活用
3、品等，积累疏通河道，制造工具及日常生活用品等，积累了大量的有关几何图形的知识，得出了计算面了大量的有关几何图形的知识，得出了计算面积、容积，测量距离的方法等。积、容积，测量距离的方法等。据据史记史记记载，我国古代夏禹治水，就记载，我国古代夏禹治水，就用到用到“准绳准绳”和和“规矩规矩”，在公元前，在公元前1世纪左世纪左右成书的右成书的周髀算经周髀算经中载有中载有“径一而周三径一而周三”意思是说圆周率意思是说圆周率=3，还载有，还载有“故折矩，以为故折矩，以为勾广三勾广三,股修四，径隅五股修四，径隅五”，意思是说，意思是说“如果将如果将一根直尺折成一个直角，较短的一边（称为勾）一根直尺折成一个直
4、角，较短的一边（称为勾）长为长为3，较长的一边（称为股）长为，较长的一边（称为股）长为4，那么厚，那么厚有尺两端的距离（称为径）一定为有尺两端的距离（称为径）一定为5”，因此至，因此至今还有人有今还有人有“勾三股四径五勾三股四径五”来代表勾股定理，来代表勾股定理，尽管中国数学起源早，但中国长期处于封建统尽管中国数学起源早，但中国长期处于封建统治之下，生产力发展缓慢科学得不到重视，对治之下，生产力发展缓慢科学得不到重视，对几何的研究也就停滞不前了。几何的研究也就停滞不前了。公元前公元前7世纪，几何学从埃及传到希腊，许世纪，几何学从埃及传到希腊，许多希腊学者做出了卓越的贡献，他们注意阐明几多希腊学
5、者做出了卓越的贡献，他们注意阐明几何事实之间的相互关系，并逐步演变为几何原理何事实之间的相互关系，并逐步演变为几何原理之间的逻辑推理，之间的逻辑推理，欧几里得欧几里得（公元前（公元前3世纪）系世纪）系统地总结了前人的研究成果，写成统地总结了前人的研究成果，写成几何原本几何原本一书，将几何上升为系统的数学理论，创立了一书，将几何上升为系统的数学理论，创立了古古典公理法典公理法（又称（又称综合法综合法），尽管后来），尽管后来阿基米德阿基米德（公元前（公元前287212年）、年）、阿波罗尼斯阿波罗尼斯（公元前（公元前260-200年）等人在面积、体积和圆锥截线等方年）等人在面积、体积和圆锥截线等方面
6、作了深入的研究，面作了深入的研究，但以后两千多年来的几何教科书与几何原本并但以后两千多年来的几何教科书与几何原本并没有什么本质上的差异，这与欧洲整个中古时没有什么本质上的差异，这与欧洲整个中古时期陷入了动乱和宗教迷信的黑暗年代不无关系。期陷入了动乱和宗教迷信的黑暗年代不无关系。15、16世纪，欧洲由封建社会向资本主义世纪，欧洲由封建社会向资本主义社会过渡，进入文艺复兴时期。特别是从社会过渡，进入文艺复兴时期。特别是从17世世纪起，资本主义生产开始发展起来，纪起，资本主义生产开始发展起来，天文、航天文、航海、机械、造船以及军事工业海、机械、造船以及军事工业等，都有了飞速等，都有了飞速发展。生产实
7、践向自然科学提出了许多新的研发展。生产实践向自然科学提出了许多新的研究课题，迫切需要究课题，迫切需要力学、天文学力学、天文学等基础科学来等基础科学来解决，也就相应地要求数学提出解决，也就相应地要求数学提出新的概念与方新的概念与方法法，于是产生解析几何的条件便成熟了。，于是产生解析几何的条件便成熟了。必须指出：解析几何的产生是与法国哲学必须指出：解析几何的产生是与法国哲学家、数学家家、数学家笛卡儿笛卡儿（Descartes 1596-1650）与）与数学家数学家费马费马（P.de Fermat，16011665）的名）的名字联系在一起的。字联系在一起的。1637年他发表了著名的哲学年他发表了著名
8、的哲学著作著作更好地指导推理和寻求科学真理的方法更好地指导推理和寻求科学真理的方法论论，其中有一个著名的附录：，其中有一个著名的附录：几何学几何学，概括了他的关于概括了他的关于坐标几何坐标几何和代数的思想，主张和代数的思想，主张将代数和几何中一切好的东西互相取长补短。将代数和几何中一切好的东西互相取长补短。他在分析传统、静止的数学后指出：以前认为他在分析传统、静止的数学后指出：以前认为直线是静止的，如今应将它看做是由一个变动直线是静止的，如今应将它看做是由一个变动着的点产生出来的，这就是轨迹的观念。着的点产生出来的，这就是轨迹的观念。过去对圆锥曲线的研究只重视了几何学方过去对圆锥曲线的研究只重
9、视了几何学方面，而忽视了代数学方面；东方高度发展的面，而忽视了代数学方面；东方高度发展的代数学，又有忽视几何学的倾向，他努力代数学，又有忽视几何学的倾向，他努力寻寻求把两者结合起来求把两者结合起来的途径，终于建立了的途径，终于建立了平面平面坐标系坐标系，找到了点与数对之间的对应关系，找到了点与数对之间的对应关系，把曲线用含有两个未知数的方程表示出来，把曲线用含有两个未知数的方程表示出来，又又将几何问题通过坐标系变成了代数问题将几何问题通过坐标系变成了代数问题，用代数方法加以解决，再用几何语言叙述出用代数方法加以解决，再用几何语言叙述出来。他用这种思想研究了二次方程，使二次来。他用这种思想研究了
10、二次方程，使二次方程和圆锥曲线建立了对应关系。方程和圆锥曲线建立了对应关系。为此，马克思和恩格斯都曾高度地评价了为此，马克思和恩格斯都曾高度地评价了笛卡儿的贡献，马克思说：笛卡儿的贡献，马克思说：“由于笛卡儿把由于笛卡儿把代数应用于几何，也就是解析几何与高等几代数应用于几何，也就是解析几何与高等几何，函数概念获得了新的发展和重要意义何，函数概念获得了新的发展和重要意义”。几何学几何学作为笛卡儿哲学著作作为笛卡儿哲学著作方法论方法论的附录，意味着他的几何发现乃至其他方面的的附录，意味着他的几何发现乃至其他方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的，笛卡发现都是在其方法论原理指导下获得的，笛卡儿方法
11、论原理的本旨是寻求发现真理的一般方儿方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他在另一部较早的哲学著作法，他在另一部较早的哲学著作指导思维的指导思维的法则法则中称自己设想的一般方法为中称自己设想的一般方法为“通用数学通用数学”并概述了这种并概述了这种数学的思想数学的思想，在这里，笛卡儿提，在这里，笛卡儿提出了一种大胆的计划，即：出了一种大胆的计划，即：任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解为了实施这一计划，笛卡儿首先通过为了实施这一计划，笛卡儿首先通过“广广延延”（他对有形物广延的一种推广）的比较，（他对有形物广延的一种推广）的比较，将将一切度量问题化为代数方程问题一
12、切度量问题化为代数方程问题，为此需要，为此需要确定比较的基础，即定义确定比较的基础，即定义“广延广延”单位，以及单位，以及建立建立“广延广延”符号系统及其算术运算，特别是符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形的对应，这就是笛要给出算术运算与几何图形的对应，这就是笛卡儿几何学的方法论背景。卡儿几何学的方法论背景。由于笛卡儿在研究几何学方法上做了与由于笛卡儿在研究几何学方法上做了与传统的方法传统的方法大相径庭的创新大相径庭的创新，从而产生了，从而产生了解解析几何学析几何学，这样不仅为研究空间形式开辟了，这样不仅为研究空间形式开辟了新的途径，而且把整个几何学的研究从原来新的途径，而且把
13、整个几何学的研究从原来“定性的层面定性的层面”，推进到能进行计算的，推进到能进行计算的“定定量的层面量的层面”。17世纪出现的解析几何与微积世纪出现的解析几何与微积分的两大创造，使数学面貌为之改观，数学分的两大创造，使数学面貌为之改观，数学从此由常量数学进入到变量数学的新时期。从此由常量数学进入到变量数学的新时期。2.解析几何的建立和意义解析几何的建立和意义 v 一句话，科学的需要和对方法论的兴趣，一句话，科学的需要和对方法论的兴趣，推动了推动了费尔马和笛卡尔费尔马和笛卡尔对坐标几何的研究，对坐标几何的研究，费尔马费尔马，出身于商人家庭，学法律并以律师，出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数
14、学只是他的业余爱好。虽然他只为职业，数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。并同积分做出了第一流的贡献。并同巴斯卡巴斯卡一同一同开创了概率论的研究工作，他和开创了概率论的研究工作，他和笛卡尔笛卡尔都是都是坐标几何的发明者。坐标几何的发明者。费尔马关于曲线的工作，是从研究古希腊费尔马关于曲线的工作，是从研究古希腊几何学家，特别是几何学家，特别是阿波罗尼阿波罗尼开始的。阿波罗开始的。阿波罗尼的尼的论平面轨迹论平面轨迹一书久已失传，而费尔一书久已失传，而费尔马是把它重新写出来的人之一。他用代数来马是把它重新写出
15、来的人之一。他用代数来研究曲线。他说，他打算发起一个关于轨迹研究曲线。他说，他打算发起一个关于轨迹的一般研究，在这种研究是古希腊人没做到的一般研究，在这种研究是古希腊人没做到的。的。1629年他写了一本年他写了一本平面和立体的轨迹平面和立体的轨迹引论引论（1679年发表），书中说，年发表），书中说，他找到了他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法一个研究有关曲线问题的普遍方法。费尔马的坐标几何研究怎样产生的，我们费尔马的坐标几何研究怎样产生的，我们不知道，很可能把阿波罗尼的结果，直接翻译不知道，很可能把阿波罗尼的结果，直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一成代数的形式。他考虑任意曲线和
16、它上面的一般点般点J，J的位置用的位置用A、E两个字母定出：两个字母定出：A是从是从原点原点O沿底线到点沿底线到点Z的距离，的距离，E是从是从Z到到J的距的距离。它所用的坐标，就是我们现在的斜坐标。离。它所用的坐标，就是我们现在的斜坐标。但是但是Y轴没有明白出现，而且不用负数，它的轴没有明白出现，而且不用负数，它的A，E就是我们现在的就是我们现在的X,Y.费尔马把他的一般原理，叙述为费尔马把他的一般原理，叙述为“只要只要在最后的方程里出现在最后的方程里出现两个未知量两个未知量，我们就得，我们就得到一个到一个轨迹轨迹，这两个量之一，其末端描绘出，这两个量之一，其末端描绘出一条直线或曲线。一条直线
17、或曲线。”前文中对不同位置的前文中对不同位置的E,其末端其末端J,J,J就把就把“线线”描出，它的未描出，它的未知量知量A和和E，实际是变数。或者可以说，联系，实际是变数。或者可以说，联系A和和E的方程是不定的。他写出联系的方程是不定的。他写出联系A、E的的各种方程，并指明它们所描绘的曲线。各种方程，并指明它们所描绘的曲线。例如，他给出方程（用我们现在的写法就例如，他给出方程（用我们现在的写法就是）是）d x=b y，并指出这代表一条直线。他又，并指出这代表一条直线。他又给出给出d(ax)=b y,并指出它也表示一条直线。并指出它也表示一条直线。方程方程p2x2=y2代表一个圆。代表一个圆。a
18、2+x2=ky2和和xy=a各代表一条双曲线，各代表一条双曲线，x2=ay代表一条抛物线，代表一条抛物线，而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论：他肯定地得到如下结论：一个联系着一个联系着A、E的方程，如果是一次的就代表直线，如果是的方程，如果是一次的就代表直线，如果是二次的就代表圆锥曲线二次的就代表圆锥曲线。笛卡尔笛卡尔，首先是一位杰出的近代哲学家。，首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人
19、、第一流的物理学家，他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家，同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师，有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师，在那里他花了一年的时间，跟两位神甫一起研在那里他花了一年的时间，跟两位神甫一起研究数学。其后九年中，他曾在几个军队中服役，究数学。其后九年中，他曾在几个军队中服役，但他一直研究数学。但他一直研究数学。在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，从而开始用心于数学。回
20、到巴黎后，他为望远从而开始用心于数学。回到巴黎后，他为望远镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论和构造。和构造。1682年他年他32岁时移居荷兰，得到较为岁时移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，写安静自由的学术环境，在那里住了二十年，写出了著名的作品。出了著名的作品。1649年他被邀请去做瑞典女年他被邀请去做瑞典女皇的教师，第二年在那里患肺炎逝世，享年五皇的教师，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四岁。十四岁。1637年笛卡尔写的年笛卡尔写的更好地指导推理和寻更好地指导推理和寻求科学真理的方法论求科学真理的方法论一书出版，这是一本文一
21、书出版，这是一本文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：几何几何、折光折光和和陨星陨星。几何几何是是他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的思想，就包括在它的这本思想，就包括在它的这本几何几何中。笛卡尔中。笛卡尔的其他著作有的其他著作有思想的指导法则思想的指导法则，世界体世界体系系，哲学原理哲学原理，音乐概要音乐概要。笛卡尔是通过三个途径来研究数学的，笛卡尔是通过三个途径来研究数学的，作为一个哲学家，他把数学方法看作是在一作为一个哲学家，他把数学方法看作是在一切领域建立真理的方法来研究。作为自然科切领域建立真理的
22、方法来研究。作为自然科学的研究者，它广泛地研究了力学、水静力学的研究者，它广泛地研究了力学、水静力学、光学和生物学等各个方面，它的学、光学和生物学等各个方面，它的几何几何的一部分和的一部分和折光折光都是讲光学的。作为一都是讲光学的。作为一个关心科学用途的人，他个关心科学用途的人，他强调把科学成果付强调把科学成果付之应用之应用。在这一点上，他同希腊人明白地公开决裂。在这一点上，他同希腊人明白地公开决裂。由于他注意到由于他注意到数学的力量数学的力量，他就是要去寻找，他就是要去寻找数学的用途。他不推崇纯粹数学，他认为数数学的用途。他不推崇纯粹数学，他认为数学不是思维训练，而是一门建设性的有用科学不是
23、思维训练，而是一门建设性的有用科学。他认为把数学方法用到数学本身是没有学。他认为把数学方法用到数学本身是没有价值的，因为这不算是研究自然。那些为数价值的，因为这不算是研究自然。那些为数学而搞数学的人，是白费精力的盲目研究者。学而搞数学的人，是白费精力的盲目研究者。笛卡尔对当时几何和代数的研究方法进行了笛卡尔对当时几何和代数的研究方法进行了分析和比较，他认为没有任何东西比几何图形更分析和比较，他认为没有任何东西比几何图形更容易印入人的脑际了。因此用这种方式表达事物容易印入人的脑际了。因此用这种方式表达事物是非常有益的，但他对是非常有益的，但他对欧几里德欧几里德几何中的每一个几何中的每一个证明都要
24、求某种新的往往是奇巧的想法，这一点证明都要求某种新的往往是奇巧的想法，这一点深感不安。他还批评希腊人的几何过多地依赖于深感不安。他还批评希腊人的几何过多地依赖于图形。他图形。他完全看到了代数的力量完全看到了代数的力量，看到他在提供，看到他在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性，以及它把程序机械化和同时强调代数的一般性，以及它把程序机械化和把解题工作量减小的价值。把解题工作量减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他对当时通行的代数也加以批评，说它潜力。他对当时通行的代数
25、也加以批评，说它完全受公式和法则的控制，不像一门改进思想完全受公式和法则的控制，不像一门改进思想的科学。因此它主张的科学。因此它主张采取代数和几何中一切最采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短好的东西，互相以长补短。它所作的工作就是。它所作的工作就是把把代数用到几何上去代数用到几何上去。在这里，他对方法的普。在这里，他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成了联合遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成了联合力量，于是就产生了它的力量，于是就产生了它的几何几何一书。一书。在在几何几何一书中，他开始仿照一书中，他开始仿照韦达韦达的方的方法，用法，用代数解决几何作图题代数解决几何作图题，后来才
26、逐渐出现，后来才逐渐出现了用了用方程表示曲线方程表示曲线的思想。的思想。在在几何几何第一卷的前一半中，笛卡尔用第一卷的前一半中，笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图题，这只不过代数解决的只是古典的几何作图题，这只不过是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义下的解析几何。下的解析几何。下一步，笛卡尔考虑了不确定的问题，下一步，笛卡尔考虑了不确定的问题，其结果可以有很多长度作为答案。这些长度其结果可以有很多长度作为答案。这些长度的端点充满一条曲线。他说：的端点充满一条曲线。他说：“也要求发现也要求发现并描出这条包括所有端点的曲线并描出这条包括所有端点的曲线”
27、。曲线的。曲线的描出，根据于最后得到的不定方程，笛卡尔描出，根据于最后得到的不定方程，笛卡尔指出：对于每一个，长度满足一个确定指出：对于每一个，长度满足一个确定的方程，因而可以画出。的方程，因而可以画出。笛卡尔的做法，是选定一条直线作为基笛卡尔的做法，是选定一条直线作为基线，以点为原点，值是基线上从量起线，以点为原点，值是基线上从量起一个线段的长度。是由基线出发与基线作一个线段的长度。是由基线出发与基线作成一个固定角度的一个线段的长度。这个坐成一个固定角度的一个线段的长度。这个坐标系我们现在叫作标系我们现在叫作斜角坐标系斜角坐标系。笛卡尔的、。笛卡尔的、只取正值，即图形在第一象限内。只取正值，
28、即图形在第一象限内。有了曲线方程的思想之后，笛卡尔进一步有了曲线方程的思想之后，笛卡尔进一步发展了它的思想。发展了它的思想。1、曲线的次数与坐标轴的选择无关曲线的次数与坐标轴的选择无关。2、同一坐标系中两个曲线的方程联立，可解同一坐标系中两个曲线的方程联立，可解出交点出交点。3、曲线概念的推广曲线概念的推广，古希腊人说平面曲线是，古希腊人说平面曲线是可以用直尺和圆规画出的曲线，而笛卡尔则排可以用直尺和圆规画出的曲线，而笛卡尔则排斥了这种认为只有用直尺和圆规画出的曲线才斥了这种认为只有用直尺和圆规画出的曲线才是合法的思想，是合法的思想，他提出，那些可用一个唯一的含他提出，那些可用一个唯一的含x和
29、和y的有的有限次代数方程表示出的曲线，都是几何曲线。限次代数方程表示出的曲线，都是几何曲线。这样，例如蔓叶线（这样，例如蔓叶线（x3+y33axy=0）和蚌线都）和蚌线都被承认是几何曲线，其他如螺线等，笛卡尔称被承认是几何曲线，其他如螺线等，笛卡尔称之为机械曲线之为机械曲线 莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)后来把它们后来把它们分别称之为分别称之为代数曲线和超越曲线代数曲线和超越曲线。笛卡尔对曲线概念的这一推广，取消了曲笛卡尔对曲线概念的这一推广，取消了曲线是否存在看它是否可以用圆规和直尺画出这线是否存在看它是否可以用圆规和直尺画出这个判别标准，不但接纳了以前被排斥的曲线，个判别标准，不但接纳
30、了以前被排斥的曲线，而且开辟了整个曲线领域，而且开辟了整个曲线领域，牛顿牛顿(Newton)1707年称这是年称这是“把所有可以用方程表示的线都接收把所有可以用方程表示的线都接收到几何里到几何里”从上面的叙述我们可以看出，从上面的叙述我们可以看出，费尔马和费尔马和笛卡尔笛卡尔两人各自都研究了坐标几何，但他们两人各自都研究了坐标几何，但他们研究的目的和方法却有明显不同。费尔马着研究的目的和方法却有明显不同。费尔马着眼于眼于继承古希腊的思想继承古希腊的思想，认为自己的工作是，认为自己的工作是重新表述了重新表述了阿波罗尼阿波罗尼的工作。而笛卡尔批评的工作。而笛卡尔批评了希腊人的传统，了希腊人的传统，
31、主张和这个传统决裂主张和这个传统决裂。虽。虽然用方程表示曲线的思想，在费尔马的工作然用方程表示曲线的思想，在费尔马的工作中更为明显，但应该说真正发现代数方法的中更为明显，但应该说真正发现代数方法的威力的是笛卡尔。威力的是笛卡尔。有种种原因，使坐标几何的思想有种种原因，使坐标几何的思想用代用代数方程表示并研究曲线的思想，在当时没有很数方程表示并研究曲线的思想，在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利用。快地被数学家们热情地接受并利用。一个原因是因为费尔马的书一个原因是因为费尔马的书轨迹引论轨迹引论到到1679年才出版，而笛卡尔的年才出版，而笛卡尔的几何几何中对几中对几何作图题的强调，遮蔽了方程和
32、曲线的主要思何作图题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思想。事实上，许多和他同时代的人，都认为坐想。事实上，许多和他同时代的人，都认为坐标几何主要是解决作图问题的工具，甚至莱布标几何主要是解决作图问题的工具，甚至莱布尼兹说笛卡尔的工作是退回到古代。尼兹说笛卡尔的工作是退回到古代。虽然笛卡尔本人确实知道，虽然笛卡尔本人确实知道，它的贡献远远它的贡献远远不限于提供一个解决作图问题的工具不限于提供一个解决作图问题的工具，他在，他在几何几何的引言中说：的引言中说：“我在第二卷中所作的我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考察在这些性质的关于曲线性质的讨论，以及考察在这些性质的方法，根据我看方法，根据我
33、看远远超出了普通几何的论述远远超出了普通几何的论述。”但他利用曲线方程之处，确实被他的作图问题但他利用曲线方程之处，确实被他的作图问题所掩盖。所掩盖。坐标几何传播速度缓慢的另一个原因，坐标几何传播速度缓慢的另一个原因，是笛卡尔的书是笛卡尔的书几何几何写得使人难懂。书中写得使人难懂。书中许多模糊不清之处，是他故意搞的。它说欧许多模糊不清之处，是他故意搞的。它说欧洲几乎没有一个数学家能读懂他的著作，他洲几乎没有一个数学家能读懂他的著作，他只约略指出作图法和证法，而留给别人去填只约略指出作图法和证法，而留给别人去填写入细节。他在一封信中把他的工作比作建写入细节。他在一封信中把他的工作比作建筑师的工作
34、，只是定出计划，指明什么是应筑师的工作，只是定出计划，指明什么是应该做的，而把手工操作留给木工和瓦工。该做的，而把手工操作留给木工和瓦工。他还说：他还说：“我没有做过任何不经心的删节，我没有做过任何不经心的删节，但我预见到，对于那些自命无所不知的人，我但我预见到，对于那些自命无所不知的人，我如果写的使他们能充分理解，他们将不失机会如果写的使他们能充分理解，他们将不失机会地说我写的都是他们已经知道的东西。地说我写的都是他们已经知道的东西。”还还有另一理由，在有另一理由，在几何几何中他说，中他说，他不愿意夺他不愿意夺去读者们自己进行加工的乐趣去读者们自己进行加工的乐趣。的确，它的思。的确，它的思想
35、必须从它的书中许多解出的例题里去推测，想必须从它的书中许多解出的例题里去推测，他说，他之所以删去绝大多数定理的证明，是他说，他之所以删去绝大多数定理的证明，是因为如果有人不嫌麻烦而去系统地考察这些例因为如果有人不嫌麻烦而去系统地考察这些例题，一般定理的证明就成为显然的了，而且照题，一般定理的证明就成为显然的了，而且照这样去学习是更为有益的。这样去学习是更为有益的。影响坐标几何被迅速接收的原因，还有影响坐标几何被迅速接收的原因，还有一个是许多数学家反对把代数和几何结合起一个是许多数学家反对把代数和几何结合起来，认为数量运算和几何量的运算要加以区来，认为数量运算和几何量的运算要加以区别，不能混淆。
36、再一个原因是当时代数被认别，不能混淆。再一个原因是当时代数被认为是缺乏严密性的。为是缺乏严密性的。上述种种原因，虽然阻碍了对费尔马和笛上述种种原因，虽然阻碍了对费尔马和笛卡尔的贡献的了解，但也有很多人逐渐采用卡尔的贡献的了解，但也有很多人逐渐采用并扩展了坐标几何并扩展了坐标几何3.解析几何的重要性解析几何的重要性 v解析几何出现以前，代数已有了相当大解析几何出现以前，代数已有了相当大的进展，因此解析几何不是一个巨大的成就，的进展，因此解析几何不是一个巨大的成就，但在方法论上却是一个了不起的创建但在方法论上却是一个了不起的创建v1、笛卡尔希望、笛卡尔希望通过解析几何引进一个新的方通过解析几何引进
37、一个新的方法法，他的成就远远超过他的希望。在代数的，他的成就远远超过他的希望。在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些事实，而且这个探索问题的方式，几乎成为事实，而且这个探索问题的方式，几乎成为自动的了。自动的了。这套研究方法甚至是更为有利的。用字母这套研究方法甚至是更为有利的。用字母表示正数、负数，甚至以后代表复数时，就表示正数、负数，甚至以后代表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，用代数统一处理了。例如，综合几何中证明用代数统一处理了。例如，综合几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点
38、三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点在三角形内和三角形外，而解析几何证明时，在三角形内和三角形外，而解析几何证明时，则不须加区别。则不须加区别。2、解析几何把代数和几何结合起来，把数学解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具造成一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到。反过来，另一方面，给代的通过代数来达到。反过来，另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。又可以得到启发去提出新的结论（例的意义。又可以得到启发去提出新的结论（例如，笛卡尔就提出了用
39、如，笛卡尔就提出了用抛物线和圆的交点来求抛物线和圆的交点来求三次和四次方程的实根三次和四次方程的实根的著名方法），的著名方法），拉格朗日拉格朗日曾把这些优点写进他的曾把这些优点写进他的数学概要数学概要中：中：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。以快速走向完善。”的确，十七世纪以来数学的确，十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，
40、可以说可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的先发展是难以想象的。3、解析几何的显著优点在于它是数量工具解析几何的显著优点在于它是数量工具。这个数量工具是科学的发展久已迫切需要的。这个数量工具是科学的发展久已迫切需要的。十七世纪一直公开要求着的，例如当十七世纪一直公开要求着的，例如当开普勒开普勒发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动，发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动，伽利略伽利略发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去时就必须计算这些椭圆和炮弹飞时所画的抛时就必须计算这些椭圆和炮弹飞时所画的抛物线了。这些都需要提供数
41、量的工具，研究物线了。这些都需要提供数量的工具，研究物理世界，似乎首先需求几何。物理世界，似乎首先需求几何。物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是曲线，研究它们都需要数量知识。而曲线，研究它们都需要数量知识。而解析几何解析几何能使人把形象和路线表示为代数形式，从而导能使人把形象和路线表示为代数形式，从而导出数量知识出数量知识。一点启示一点启示 解析几何的重要性在于他的方法解析几何的重要性在于他的方法建立建立坐标系坐标系，用方程来表示曲线，通过研究方程来，用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线。研究曲线。苏联著名几何学家苏联著名几何学家格列诺夫格列诺夫
42、在他所编的在他所编的解析几何解析几何前言中说：前言中说：“解析几何没有严解析几何没有严格确定的内容，格确定的内容，对它来说，决定性的因素，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法不是研究对象，而是方法。”“”“这个方法的这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（即图形）相对应组）同几何对象（即图形）相对应，使得图，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它已成为几何研究中的一个基本方法。不仅如此，已成为几何研
43、究中的一个基本方法。不仅如此，它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域，它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域，如如力学和物理学力学和物理学之中。之中。因此我们学习解析几何，主要是掌握它的因此我们学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不仅仅在于记住它的基本思想、基本方法，而不仅仅在于记住它的某些具体结论。某些具体结论。解析几何的基本方法，包括两个方面：解析几何的基本方法，包括两个方面：一一是由图形到方程，二是从方程到图形是由图形到方程，二是从方程到图形，也就是，也就是选择坐标系，建立图形方程。通过对方程的研选择坐标系，建立图形方程。通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状。究得
44、到图形的性质，了解图形的形状。解析几何离不开代数，但又要随时把各种解析几何离不开代数，但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在心中。学习中要特别代数表示的几何涵义放在心中。学习中要特别注意，注意，培养自己的几何直观能力培养自己的几何直观能力。这种能力对这种能力对于数学的学习是极为重要的于数学的学习是极为重要的。应用解析几何的方法，可以研究很多具体应用解析几何的方法，可以研究很多具体对象。因为我们应把目的放在掌握基本方法上，对象。因为我们应把目的放在掌握基本方法上，采取采取“研究对象简单一些，突出基本方法研究对象简单一些，突出基本方法”的的方针，避免发生因为研究对象复杂，引起很多方针，避免发生因为
45、研究对象复杂，引起很多枝节，从而淹没了基本方法的现象。这也是笛枝节，从而淹没了基本方法的现象。这也是笛卡尔留给我们的一个教训。它就是因为讲了很卡尔留给我们的一个教训。它就是因为讲了很多很多的作图题，把它的关于解析几何的基本多很多的作图题，把它的关于解析几何的基本思想淹没了。思想淹没了。4.业余数学家之王业余数学家之王费马费马 费马费马是法国数学家，是法国数学家，1601年年8月月17日出生于日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙法国南部图卢兹附近的博蒙德德洛马涅。他洛马涅。他的父亲多米尼克的父亲多米尼克费马在当地开了一家大皮革费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小商店，拥有相
46、当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。生活在富裕舒适的环境中。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙岁时，费马才进入博蒙德德洛马涅公学，毕业洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。对费马来说，对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数真正的事业是学术，尤其是数学学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉。费马通晓法语、意大
47、利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以以站在数学天地之外鸟瞰数学站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对。这也不能绝对归于他的数学天赋，
48、与他的博学多才多少也是归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。有关系的。费马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，费马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。一些文章，也总是隐姓埋名。数学论集数学论集还还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在性对于科学的重要，即使在l
49、7世纪，这个问题世纪，这个问题也是突出的。也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表，费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐失，而是影响了那个时代数学前进的步伐。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是究也不过是业余之爱好业余之爱好。然而，在。然而，在17世纪的法世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于仅次于牛顿
50、、莱布尼茨牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，概率论的主要创始人，以及独承以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学大才费马堪称物理学也有重要贡献。一代数学大才费马堪称是是17世纪法国最伟大的数学家。世纪法国最伟大的数学家。17世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠，由于几何学的新方法入注目的引玉之明珠，由于几何学的新方法代数方
