1、 一、选择题一、选择题 10 （2019滨州）滨州）满足下列条件时，ABC 不是 直角三角形的为（ ） AAB41，BC4，AC5 BAB：BC：AC3：4：5 CA：B：C3：4：5 D 2 13 cosAtanB 23 骣 + 桫 0 【答案】【答案】C 【解析】【解析】A 中，4541，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（41）2=41，AC2+BC2=AB2， ABC 是直角 三角形；B 中，AB：BC：AC=3：4：5，设 AB=3k，BC=4k，AC=5k，AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2， AC2=（5k） 2=25k2，AB2+BC2=AC2，ABC 是
2、直角三角形；C 中，A：B：C=3：4：5，A=180 3 12 =45， B=180 4 12 =60， C=180 5 12 =75， ABC 不 是 直 角 三 角 形 ； D 中 ， 2 13 cosAtanB 23 骣 + 桫 =0， 又 1 cosA 2 0， 2 3 tanB 3 骣 桫 0， cosA= 1 2 ， tanB= 3 3 ， A=60 ， B=30 ，ABC 是直角三角形故选 C 13(2019广元)如图,ABC 中,ABC90,BABC2,将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 DEC,连接 BD,则 BD2的值是_ 第 13 题图 【答案】8 4 3+ 【解
3、析】连接 AD,过点 D 作 DMBC 于点 M,DNAC 于点 N,易得ACD 是等边三角形,四边形 BNDM 是正方 形,设 CMx,则 DMMBx+2,BC2,CDAC2 2,在 RtMCD 中,由勾股定理可求得,x 3 1-,DMMB3 1+,在 RtBDM 中,BD2MD2+MB28 4 3+ . 2828 9(2019广元)如图,在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E.使得CDE15,连接 BE 并延长 BE 到 F,使 CFCB,BF 与 CD 相交于点 H,若 AB1,有下列结论:BEDE;CE+DEEF;SDEC 13 412 -, 2 3 1 DH HC =-.则
4、其中正确的结论有( ) A. B. C. D. 第 9 题图 【答案】A 【解析】利用正方形的性质,易得BECDEC,BEDE,正确;在 EF 上取一点 G,使 CGCE,CEG CBE+BCE60,CEG 为等边三角形,易得DECFGC,CE+DEEG+GFEF,正确;过点 D 作 DMAC 于点 M,SDECSDMCSDME 13 412 -,正确;tanHBC23,HC23,DH1HC 31,3+1 DH HC =,错误.故选 A. 10 （2019 绍兴绍兴 ）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面
5、恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】【答案】A 【解【解析析】如图所示：设 DMx，则 CM8x， 根据题意得：（8x+8） 3 33 3 5， 解得：x4，DM6， D90 ，由勾股定理得：BM 2222 43BDDM5， 过点 B 作 BHAH，HBA+ABMABM+ABM90 ， HBA+ABM，所以 Rt ABHMBD， BHBD ABBM ，即 3 85 BH ，解得 BH 5 24 ，即水面高度为 5 24 7 （2019益阳）益阳）已知 M、N 是线段 AB
6、 上的两点，AM=MN=2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧； 再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC、BC，则ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】【答案】B 【解析】如图所示， AM=MN=2，NB1， AB=AM=MN+NB2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， 2552 2 AB，1642 2 AC，932 2 BC, 222 ABBCAC， ABC 是直角三角形. 1.（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交
7、点，则这条直线平分该平 行四边形的面积如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形P 是其中 4 个小正方形的公共顶点，小强 在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度 是（） A22 B5 C 3 5 2 D10 【答案答案】D 【解析】【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心 O，作直线 OP，得线段 AB，则沿折痕 AB 裁剪，即可将该图形面 积两等分 过点 A 作 ACBD 于点 C， 则ACB90 由中心对称的性质可知， BDEFAG， 从而 BC1 又 AC3，故在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB 22 3110故选
8、D 2. (2019宁波宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图 1,以直角三 角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴 影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】【答案】C 【解题过程】【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则 S阴影c2a2b2+b(a+bc),由勾股定理可知,c2a2 b2,S阴影c2a2b2+S重叠S重叠,即 S阴影S重叠,故选 C. 3.（20
9、19重庆重庆 B 卷）卷）如图，在ABC 中，ABC=45，AB=3，ADBC 于点 D，BEAC 与点 E，AE=1.连接 DE，将AED 沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF，连接 DF.过点 D 作 DGDE 交 BE 于点 G.则四 边形 DFEG 的周长为( ) A.8 B. C. D. 4 22 24+3 22+ G FEDCBAOP P 【答案】【答案】D 【解析】【解析】ABC=45，ADBC， ABC 是等腰直角三角形， AD=BD. BEAC，ADBD， DAC=DBH， DBHDAC（ASA）. DGDE， BDG=ADE， DBGDAE（ASA） ， BG=
10、AE，DG=DE， DGE 是等腰直角三角形， DEC=45. 在 RtABE 中，BE= ， GE= ， DE= . D，F 关于 AE 对称， FEC=DEC=45， EF=DE=DG= ， DF=GE= ， 四边形 DFEG 的周长为 2（+2-）=.故选 D 二、填空题二、填空题 15 （2019苏州）苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图 是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板” ，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图 形该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）. 12题图题图 F C
11、 B A D E G 22 312 2-= 2 2 1- 2 2 2 - 2 2 2 - 2 2 1- 2 2 1- 2 2 3 2+2 （图） （图） （第 15 题） 【答案】 5 2 2 【解析】【解析】 本题考查了正方形性质、 等腰直角三角形性质的综合， 由题意可知， 等腰三角形与等腰三角形全等， 且它们的斜边长都为 1 2 10=5cm，设正方形阴影部分的边长为 xcm，则 5 x =sin45= 2 2 ，解得 x= 5 2 2 ，故答案 为 5 2 2 . 第 15 题答图 17 （2019威海）威海） 如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，ABCD，连接，连接 AC，
12、BD.若若ACB90，ACBC,ABBD,则则ADC 【答案答案】105 【解析】【解析】过点 D 作 DE AB 于点 E， 过点 C 作 CFAB 垂足为 F，由ACB90，ACBC,得得ABC 是等 腰直角三角形，由三线合一得 CF 为中线，从而推出 2CF AB，由 ABCD 得得 DECF，由 ABBD 得 BD 2DE，在 RtDEB 中利用三角函数可得ABD30，再由 ABBD 得得BADADB75，最后由 AB CD 得得BADADC180求出求出ADC105. 18 （2019苏州）苏州）如图，一块舍有 45角的直角三角板，外框的一条直角边长为 8 cm，三角板的外框线和与其
13、 平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为 cm： （结果保留根号） （第 18 题） 【答案】10+12 2 第 18 题答图 解析：解析： 如图， 三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，所以ABC 与DEF 有公共内心 O， 连接 AD、 BE、 FC 并延长相交于点 O， 过 O 作 OGAB 于 G， 交 DE 于 H.则 GH=2， SABC= 1 2 OG （AB+AC+BC） = 1 2 ABAC，OG= 8 8 84 2 888 2 ABAC ABACBC ，OH=85 2， DEAB，ODEOAB， OHDE OGAB 8-5 2 88-4 2
14、 DE ，解得 DE=6-2 2， S阴影= SABC-SDEF= 2 2 11 862 21012 2 22 . 12 （2019江西）江西）在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点 P 在 x 轴上， 点 D 在直线 AB 上，若 DA1，CPDP 于点 P，则点 P 的坐标为 . 【答案】【答案】 （ 4 2322216 ，0）或（）或（ 4 2322216 ，0） 【解析】设点【解析】设点 P 的坐标为（的坐标为（x，0） ，） ， （1）当点）当点 D 在线段在线段 AB 上时，如图所示：上时，如图所示： DA=1，点 D 的坐标为（ 2
15、 2 4， 2 2 ）. 222 ) 2 2 4() 2 2 4(4CD 22 ) 2 2 (2416) 2 2 (2417， 222 ) 2 2 () 2 2 4( xPD 222 ) 2 2 () 2 2 4() 2 2 4(2xx2417)28( 2 xx， 222 4)4( xPC328 2 xx. CPDP 于点 P， 222 CDPDPC， 2417)28( 2 xx328 2 xx2417， 即032)216(2 2 xx， =3224)216( 2 =23220， 原方程无解，即符合要求的点 P 不存在. （2）当点）当点 D 在线段在线段 BA 的延长线上，如图所示：的延长线
16、上，如图所示： DA=1，点 D 的坐标为（ 2 2 4， 2 2 ）. 222 ) 2 2 (4) 2 2 4(4CD 22 ) 2 2 4() 2 2 (2417， 222 ) 2 2 () 2 2 4( xPD 222 ) 2 2 () 2 2 4() 2 2 4(2xx2417)28( 2 xx， 222 4)4( xPC328 2 xx. CPDP 于点 P， 222 CDPDPC， 2417)28( 2 xx328 2 xx2417， 即032)216(2 2 xx， =3224)216( 2 =23220， 22 2322216 x 4 2322216 ， 点点 P 的坐标为（的
17、坐标为（ 4 2322216 ，0）或（）或（ 4 2322216 ，0）. 13（20192019株洲）株洲）如图所示，在 RtABC 中，ACB90，CM 是斜边 AB 上的中线，E、F 分别为 MB、 BC 的中点，若 EF1，则 AB 【答案答案】4 4 【解析】因为 RtABC 中，ACB90，CM 是斜边 AB 上的中线，所以 AB=2CM,又因为 E、F 分别为 MB、BC 的中 点，所以 EF 为中位线，所以 CM=2EF,从而 AB=4EF=4。 1.(2019 枣庄)把两个同样大小含 45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角 尺的直角顶点重合于
18、点 A,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB2,则 CD_. 【答案】62 【解析】在等腰直角ABC 中,AB2,BC2 2,过点 A 作 AMBD 于点 M,则 AMMC 1 2 BC2,在 RtAMD 中,ADBC2 2,AM2,MD6,CDMDMC62. 2. (2019巴中)如图,等边三角形 ABC 内有一点 P,分别连接 AP,BP,CP,若 AP6,BP8,CP10,则 SABP+SBPC _. 【答案】163+24 【解析】 将ABP 绕点 B 顺时针旋转 60到CBP,连接 PP,所以 BPBP,PBP60,所以BPP是等边三角 形,其边长 BP 为 8,所以
19、 SBPP163,因为 PP8,PCPA6,PC10,所以 PP2+PC2PC2,所以PPC 是直角三 角形,SPPC24,所以 SABP+SBPCSBPP+SPPC163+24. . 1.(2019巴中巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点 C 在直线 m 上,分别过点 A,B 作 AE直线 m 于点 E,BD 直线 m 与点 D. （1）求证:ECBD; （2）若设AEC 三边分别为 a,b,c,利用此图证明勾股定理. 证明：证明： （1）ABC 是等腰直角三角形, ACB90,ACBC, ACE+BCD90, AEEC, EAC+ACE90,BCDCAE, BDCD, AECCDB
20、90, AECCDB(AAS), ECBD. （2）AECCDB,AEC 三边分别为 a，b，c,， BDECa,CDAEb,BCACc, S梯形 1 2 (AE+BD)ED 1 2 (a+b)(a+b), S梯形 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab， 1 2 (a+b)(a+b) 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab, 整理可得 a2+b2c2,故勾股定理得证. 一、选择题一、选择题 12(2019海南海南) 如图,在 RtABC 中,C90,AB5,BC4,点 P 是边 AC 上一动点,过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分A
21、BC 时,AP 的长度为( ) A. 8 13 B. 15 13 C. 25 13 D. 32 13 第 12 题图 【答案】【答案】B 【解题过程】【解题过程】 在 RtABC 中,C90,AB5,BC4,AC3,过点 D 作 DEBC 于点 E,易证ABCDQE, BD平分ABC,PQAB,BQQD,设QDBQ4x,则AP3x,DP4x,PQ8x,CP 24 5 x,AC 39 5 x3, x 5 13 ,AP3x 15 13 ,故选 B. 第 12 题答图 【知识点】【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程 8（2019 毕节） 毕节） 如图， 点 E 在正方形 ABCD 的边 A
22、B 上， 若 EB1， EC2， 那么正方形 ABCD 的面积为 （ ） A B3 C D5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】四边形 ABCD 是正方形，B90，BC2EC2EB222123， 正方形 ABCD 的面积BC23故选：B 【知识点】【知识点】勾股定理 10.（2019黔三州黔三州）如右图,在一斜边长 30cm 的直角三角形木板(即 RtACB)中截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF:AC=1:3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分 的面积为（ ） A. 200cm2 B. 170cm2 C. 1
23、50cm2 D.100 cm2 E 【答案】【答案】D. 【解答过程】【解答过程】AF:AC=1:3， 设 AF=x，则 AC=3x，CF=2x. 四边形 CDEF 是正方形， DEAC，DE=2x， BDEBCA， 22 33 BDBEDEx BCBAACx ， BD=4x，BC=6x， 在 RtABC 中，BC2+AC2=AB2， 9x2+36x2=900， x2=20， S剩余=SABC-S正方形CDEF= 2 36 225100 2 xx xxx， 故选 D. 【知识点】【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理. 10. （2019绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在
24、注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 如果大正方形的面积是 125， 小正方形面 积是 25，则（sincos）2（ ） A1 5 B 5 5 C35 5 D9 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， 大正方形的边长为 55，小正方形的边长为 5， 55cos55sin5， cossin= 5 5 ， （sincos）2= 1 5 故选 A 【知识点】【知识点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用 二、填空题二、填空题 12. （2019宜宾）如图，已知直角ABC中，C
25、D是斜边AB上的高，4AC ，3BC ，则AD 【答案】【答案】16 5 【解析】【解析】在Rt ABC中， 22 5ABACBC， 由射影定理得， 2 ACAD AB， 2 16 5 AC AD AB ， 故答案为：16 5 【知识点】【知识点】勾股定理；射影定理 15. （2019 南京）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若 AD2， BD3，则 AC 的长 【答案】10 【解析】解：作 AMBC 于 E，如图所示： CD 平分ACB， = = 2 3， 设 AC2x，则 BC3x， MN 是 BC 的垂直平分线， MNBC，BNCN= 3
26、2x， MNAE， = = 2 3， NEx， BEBN+EN= 5 2x，CECNEN= 1 2x， 由勾股定理得：AE2AB2BE2AC2CE2， 即 52（5 2x）2（2x）2（ 1 2x）2， 解得：x= 10 2 ， AC2x= 10； 故答案为：10 （2019 宿迁）如图，MAN60，若ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB2，点 C 在射线 AN 上运动， 当ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 【答案】3BC23 【解析】解：如图，过点 B 作 BC1AN，垂足为 C1，BC2AM，交 AN 于点 C2 在 RtABC1 中，AB2，A60 ABC130 AC
27、1= 1 2AB1，由勾股定理得：BC1= 3， 在 RtABC2 中，AB2，A60 AC2B30 AC24，由勾股定理得：BC223， 当ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C1C2 上移动，此时3BC23 故答案为：3BC23 【知识点】勾股定理；解直角三角形 12. （2019 南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在 杯子外面的部分至少有 cm 【答案】5 【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：122+ 92=15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm） 故答案为 5 【知识点】勾股定理的应用 19 （2019毕节
28、）毕节） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度是 【答案】【答案】155 【解析】【解析】过点 B 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 ， ABCF，BMBCsin305，CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45，EDF45，MDBM5 ， CDCMMD155 故答案是：155 【知识点】【知识点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理 15 （2019 浙江舟山，浙江舟山，15
29、，3 分）在分）在ABC 中，若中，若A=45，AC2-BC2= AB2，则 tanC= . 【答案】【答案】5 【解析】【解析】 【知识点】【知识点】勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质. 20.（2019黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上， 点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度是 【答案】【答案】1553 【解析】【解析】解：过点 B 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC10， ABC30，B
30、C10tan6010 3， ABCF， BMBCsin30= 103 1 2 =53， CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45， EDF45， MDBM5 3， CDCMMD155 3 故答案是：1553 【知识点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理 15.（2019鄂州）如图，已知线段 AB4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，160，P 点是直线 l 上一点， 当APB 为直角三角形时，则 BP 【答案】【答案】2或23或27 【解析】【解析】AOOB2， 当 BP2 时，APB90， 当PAB90时，AOP60， APOAtanAOP23， BP= 2+ 2=
31、27， 当PBA90时，AOP60， BPOBtan123， 故答案为：2 或 23或 27 【知识点】【知识点】勾股定理 一、选择题一、选择题 8 （2019郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对 全等的 三角形，如图所示，已知A90 ，BD4，CF6，则正方形 ADOF 的边长是 A2 B2 C3 D4 答案：B 解析： 本题考查了勾股定理和解一元二次方程， 设正方形 ADOF 的边长为 x， 则 AB4x， AC6x， BC10， 由于A90 ，所以 BC2AB2AC2，即 100168xx23612xx2，解得 x2 或 x12（不合题意，舍
32、 去） ，因此本题选 B 二、填空题二、填空题 12 （2019 北京）北京）如图所示的网格是正方形网格，则 PABPBA_（点 A，B，P 是网格线 交点）. 【答案】【答案】45 【解析】【解析】如图 12-1，延长 AP 至 C，连结 BC. 设图中小正方形的边长为 1，由勾股定理得 222 125PC ， 222 125BC ， 222 1310PB ； 222 ,PCBCPBPCBC且.即PBC 为等腰直角三角形，BPC=45. 由三角形外角的性质得45PABPBAMPC . 【知识点】【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质. 16 （2019襄阳）如图，两个火小不同的三角板放
33、在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在 AB 上，BAC DEC30 ，AC 与 DE 交于点 F，连接 AE，若 BD1，AD5，则CF EF_. 第第12题图题图 P BA （第 8 题图） 答案：3 16.（2019泸州）如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC15，点 E 在边 CB 上，CE2EB，点 D 在边 AB 上，CDAE，垂足为 F，则 AD 的长为 【答案】【答案】92 【解析】【解析】过 D 作 DHAC 于 H， 在等腰 RtABC 中，C90，AC15， ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH， CFAE，DHADFA90，HAFHDF， ACE
34、DHC， = ， CE2EB，CE10， 15 = 15 10 ，DH9，AD92， 故答案为：92 【知识点】【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质 17 （2019安顺）安顺）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 为斜边 BC 上的一个动点，过 D 分别作 DMAB 于点 M，作 DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 . 【答案】【答案】 5 12 【解析】【解析】连接 AD，如图所示： B D M N C A 第 17 题答图 DMAB，DNAC，AMDAND90， 又BAC90， 四边形 AMDN 是矩形； MNAD. B
35、AC90，AB3，AC4， BC5， 当 ADBC 时，AD 最短， 此时ABC 的面积 2 1 BCAD 2 1 ABAC， AD 的最小值 5 12 BC ACAB ， 线段 MN 的最小值为 5 12 ； 【知识点】【知识点】垂线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法 16(2019大庆大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图“是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的 一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b, 那么(ab)2的值是_. 第 16 题图 【答案】【答案】1 【解析】【解析】(a
36、b)2a2+b22ab,其中,由勾股定理可得,a2+b213,直角三角形面积(131)43,即 1 3 2 ab ,所以 ab6 所以(ab)2a2+b22ab13121. 【知识点】【知识点】勾股定理,完全平方公式 9 （2019龙东地区）龙东地区） 一张直角三角形纸片 ABC，ACB90 ，AB10，AC6，点 D 为 BC 边上的任一点， 沿过点D的直线折叠， 使直角顶点C落在斜边AB上的点E处， 当BDE是直角三角形时， 则CD的长为_ 【答案答案】3 或 24 7 . 【解析】 如图【解析】 如图 1， DEB 是直角时是直角时， ， ACB90 ， AB10， AC6， BC= 2
37、2 106=8,设设 CD=x， 则， 则 BD=8-x， 由折叠知由折叠知 CD=ED=x，ACBDEB=90 ，BEDBCABEDBCA， ACDE ABDB ，即，即 6 108 x x ，解得解得 x=3; 如图如图 2，EDB 是直角时是直角时，EDAC，BEDBACBEDBAC， ACED CBDB ,即即 6 88 x x ，解得解得 x= 24 7 ，综上，综上，CD 的的长长 为为 3 或或 24 7 . 图 1 图 2 【知识点】轴对称【知识点】轴对称；勾股定理勾股定理；相似三角形；相似三角形 三、解答题三、解答题 18. （2019呼和浩特）如图，在ABC 中，内角 A、
38、B、C 所对应的边分别为 a、b、c. （1）若 a=6，b=8，c=12，请直接写出A 与B 的和与C 的大小关系； （2）求证：ABC 的内角和等于 180； （3）若 c cba cba a )( 2 1 ，求证：ABC 是直角三角形. 解： （1）CA+B； （2）证明：过点 B 作直线 DEAC， A=ABD，C=CBE， 又 ABD+ABC+CBE=180， ABC 的内角和等于 180 （3）证明：原式可变形为 c cba bca a 2 )( (a+c)2-b2=2ac，即 a2+2ac+c2-b2=2ac， a2+c2=b2， ABC 是以B 为直角的直角三角形. 22 （2
39、019包头）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB=BC，BAD=90 ，AC 交 BD 于点 E，ABD=30 ， AD=3，求线段 AC 和 DE 的长 （注： ba ba baba ba ba )( 1 ） E D A B C D E F A C B 解：在 Rt ABD 中，BAD=90 ，ABD=30 ，AD= 3， tanABD= AB AD ， AB 3 3 3 ，AB=3 ADBC， BAD+ABC=180 ABC=90 在 Rt ABC 中，AB=BC=3，AC= 23 22 BCAB ADBC ，ADECBE CB AD BE DE ， 3 3 BE DE 设 DE=
40、 3x，则 BE3x，BD=DE+BE=(3+3)x， 33 3 BE DE 在 Rt ABD 中，ABD=30 ，BD=2AD=2 3， DE=2 3 33 3 ，DE=33 25. （2019本溪本溪）在 Rt ABC 中，BCA=90 ，AABC，D 是 AC 边上一点，且 DA=DB，O 是 AB 的 中点，CE 是 BCD 的中线. （1）如图 a，连接 OC 请直接写出OCE 和OAC 的数量关系 ； （2）点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转的射线 ON，使MON=ADB，ON 与射 线 CA 交于点 N. 如图 b，猜想并证明线段 OM 和线段
41、 ON 之间的数量关系； 若BAC=30 ，BC=m，当AON=15 时，请直接写出线段 ME 的长度（用含 m 的代数式表示） 解：（1）结论：ECO=OAC 理由：如图 1 中，连接 OE BCD=90 ，BE=ED，BO=OA， CE=ED=EB= 1 2 BD，CO=OA=OB，OCA=A， BE=ED，BO=OA，OEAD，OE= 1 2 AD，CE=EO EOC=OCA=ECO，ECO=OAC 故答案为：OCE=OAC （2）如图 2 中， OC=OA，DA=DB，A=OCA=ABD，COA=ADB， MON=ADB，AOC=MON，COM=AON， ECO=OAC，MCO=NAO
42、， OC=OA，COMAON（ASA），OM=ON 如图 3-1 中，当点 N 在 CA 的延长线上时， CAB=30 =OAN+ANO，AON=15 ，AON=ANO=15 ，OA=AN=m， OCMOAN，CM=AN=m， 在 Rt BCD 中，BC=m，CDB=60 ，BD= 2 3 3 m， BE=ED，CE= 1 2 BD= 3 3 m，EM=CM+CE=m+ 3 3 m 如图 3-2 中，当点 N 在线段 AC 上时，作 OHAC 于 H AON=15 ，CAB=30 ，ONH=15 +30 =45 ，OH=HN= 1 2 m， AH= 3 2 m，CM=AN= 3 2 m- 1 2 m， EC= 3 3 m，EM=EC-CM= 3 3 m-( 3 2 m- 1 2 m)= 1 2 m- 3 6 m， 综上所述，满足条件的 EM 的值为 m+ 3 3 m 或 1 2 m- 3 6 m. 【知识点】【知识点】直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；解直角三角形.
