1、12023年年2月月8日日 第第8章章 线性二次型指标的最优控制线性二次型指标的最优控制8.3 线性定常系统的状态 调节器问题8.4 输出调节器问题李芳燕李芳燕 罗婧罗婧 李一飞李一飞 李东芳李东芳 安海潮安海潮 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题问题引入问题引入1举例说明举例说明3定理内容及说明定理内容及说明2Beihang University问题引入问题引入 对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时，均为常数矩阵时，其系统总
2、是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。是时变的缘故。Beihang University问题引入问题引入 由例由例8-1的结果，从结果图中受到启发，当终端时间的结果，从结果图中受到启发，当终端时间tf趋于无穷时，趋于无穷时，K(t)将趋于某常数，即将趋于某常数，即K(t)可视为恒值。可视为恒值。01234567891000.511.5k11k12k22tK(t)tf=10时黎卡提矩阵微分方程的解时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)Beihang University问题引入问题引入 K(t)将趋
3、于某常数，即将趋于某常数，即K(t)可视为恒值，从而得到所谓可视为恒值，从而得到所谓无限时间无限时间(tf=)状态调节器状态调节器或或稳态状态调节器稳态状态调节器。0100200300400500600700800900100000.511.5k11k12k22tK(t)tf=1000时黎卡提矩阵微分方程的解时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)Beihang University问题引入问题引入 对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终端指标，取权阵终端指标，取权阵P=0，其原因有：一是希望，其原因有：一是希望tf，x(tf)=0,即要求稳态误
4、差为零，因而在性能指标中不必加入体现终即要求稳态误差为零，因而在性能指标中不必加入体现终端指标的终值项；二是工程上仅参考系统在有限时间内的端指标的终值项；二是工程上仅参考系统在有限时间内的响应，因而响应，因而tf时的终端指标将失去工程意义。时的终端指标将失去工程意义。Beihang University问题引入问题引入性能指标为：性能指标为：式中，式中，Q，R均为常数对称正定阵，均为常数对称正定阵，u无约束。由于无约束。由于P=0，所以所以K(tf)=K()=P=0。从。从t=开始逆时间积分黎卡提矩阵开始逆时间积分黎卡提矩阵微分方程，当微分方程，当K(t)的解存在且唯一时，经过一段时间，的解存
5、在且唯一时，经过一段时间，K(t)将达到稳态值，因此可认为在将达到稳态值，因此可认为在t=0开始很长一段时间内，开始很长一段时间内，K(t)是黎卡提微分方程的稳态解，即有是黎卡提微分方程的稳态解，即有 在稳在稳态时，态时，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提代数方程，解出的代数方程，解出的K阵为常值矩阵。阵为常值矩阵。和二次型性能指标为和二次型性能指标为Beihang University定理内容及说明定理内容及说明可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为式中，式中，u不受限制，不受限制，Q和和R为常数对称正
6、定阵，则使为常数对称正定阵，则使J为极小为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为的最优控制存在，且唯一，并可表示为式中，式中，K为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即解，即所对应的性能指标的最小值为所对应的性能指标的最小值为Beihang University定理内容及说明定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；
7、而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为了保证积分限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为了保证积分值有限，值有限，x(t)和和u(t)要收敛到零，也就是受控系统的状态要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐进稳定的。变量必须是渐进稳定的。如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系统极点，使系统渐进稳定。统极点，使系统渐进稳定。可控的条件可减弱为可稳，即只要不稳定的极点所可控的条件可减弱为可稳，即只要不稳定的极点所对应的模态可控，通过反馈将它变为稳定即可
8、。对应的模态可控，通过反馈将它变为稳定即可。对有限时间调节器来讲，因为积分上限对有限时间调节器来讲，因为积分上限tf为有限值，为有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，积分指标仍可为有即使系统不可控，状态变量不稳定，积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。限值，故仍旧有最优解。Beihang University定理内容及说明定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：2.闭环系统是渐进稳定的，即系统矩阵闭环系统是渐进稳定的，即系统矩阵 的的特征值均具有负实部，而不论原系统特征值均具有负实部，而不论原系统A的特征值如何。的特征值如何。证明：设李雅普诺夫函数为证明：设
9、李雅普诺夫函数为 因因K正定，故正定，故V(x)是正定的。是正定的。与黎卡提代数方程与黎卡提代数方程 比较得比较得由于由于Q，R均为正定矩阵，故均为正定矩阵，故 负定，结论得证。负定，结论得证。Beihang University定理内容及说明定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间故当故当tf时，性能指标的最优值时，性能指标的最优值 将趋于无穷大，即将趋于无穷大，即 这与性能指标的最优值这与性能指标的最优值 为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。闭环最
10、优调节系统闭环最优调节系统是渐进稳定的。是渐进稳定的。证明：利用反证法来证明。证明：利用反证法来证明。假设系统上述不是渐进稳定的，则假设系统上述不是渐进稳定的，则 必必具有非负实部的特征根。于是，当具有非负实部的特征根。于是，当tf时，状态变量时，状态变量X(t)不会趋于零，即不会趋于零，即 。Beihang University定理内容及说明定理内容及说明Beihang University定理内容及说明定理内容及说明对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：3.Q为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标性能指标J
11、取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么Q为半为半正定时就可能出现这种情况，所以正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。必须正定。Q为为nn半正定常数矩阵，且半正定常数矩阵，且 为能观测矩阵。为能观测矩阵。Beihang University定理内容及说明定理内容及说明综上，状态调节器的设计步骤如下：综上，状态调节器的设计步骤如下：1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q和和R；2.由由A,B,Q,R按按 求解黎卡提求解黎卡提矩
12、阵代数方程，求得矩阵矩阵代数方程，求得矩阵K；3.由式由式 求最优控制求最优控制u(t);4.解式解式 求相应的最优轨迹求相应的最优轨迹x(t);5.按式按式 计算性能指标最优值。计算性能指标最优值。Beihang University举例说明举例说明例例1 设系统的状态方程为设系统的状态方程为性能指标为性能指标为试确定最优控制，使试确定最优控制，使J最小。设最小。设ab2 0，保证，保证Q为正定。为正定。Beihang University举例说明举例说明例例1解解 各矩阵分别为各矩阵分别为验证系统稳定性：验证系统稳定性：系统状态完全能控，且系统状态完全能控，且Q及及R为正定对称矩阵，为正定
13、对称矩阵，故最优控制存在且唯一。故最优控制存在且唯一。Beihang University举例说明举例说明例例1设设 。由式由式 得最优控制为得最优控制为矩阵矩阵K K满足黎卡提代数方程满足黎卡提代数方程Beihang University举例说明举例说明例例1即即展开整理，可得展开整理，可得3个代数方程为个代数方程为Beihang University举例说明举例说明例例1解之解之在保证在保证Q和和K为正定矩阵条件下，则有为正定矩阵条件下，则有最优控制为最优控制为Beihang University举例说明举例说明例例1最优状态调节器闭环系统结构图如图所示最优状态调节器闭环系统结构图如图所示
14、Beihang University举例说明举例说明例例1闭环系统的传递函数为闭环系统的传递函数为闭环极点为闭环极点为故闭环系统是稳定的。故闭环系统是稳定的。a2时系统响应为衰减振荡；时系统响应为衰减振荡；a2时系统不发生时系统不发生振荡，呈过程阻尼响应。振荡，呈过程阻尼响应。Beihang University举例说明举例说明例例2 调节火箭的滚动姿态时，用液态副翼使滚动姿态角调节火箭的滚动姿态时，用液态副翼使滚动姿态角尽可能小，同时使副翼偏转角尽可能小，同时使副翼偏转角及偏转率及偏转率 保持在物理限保持在物理限度内。系统状态方程为度内。系统状态方程为其中，其中，是滚动时间常数；是滚动时间常
15、数；是滚动角速度；是滚动角速度；是副是副翼执行机构的指令信号；翼执行机构的指令信号；C是副翼效率。使性能指标是副翼效率。使性能指标 取极小，其中取极小，其中 均为它们的最大要求值。求最优反馈控制均为它们的最大要求值。求最优反馈控制u(t)。满足黎卡提方程，且满足黎卡提方程，且K0。由于对称性，独立的。由于对称性，独立的6个个代数方程组经过消元并选取代数方程组经过消元并选取 ，有解，有解Beihang University举例说明举例说明例例2解解 由题知由题知其中其中Beihang University举例说明举例说明例例2其中，其中，满足四次方程满足四次方程Beihang Universit
16、y举例说明举例说明例例2若设若设则四次方程为则四次方程为其两正实根是其两正实根是 及及 ，且后者破坏，且后者破坏K0，故取故取 。从而反馈控制。从而反馈控制Beihang University举例说明举例说明例例2Beihang University举例说明举例说明例例228 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题参考书目：参考书目：巨永锋，李登峰，巨永锋，李登峰，最优控制最优控制，重庆大学出版社，重庆大学出版社，2005.李国勇等，李国勇等，最优控制理论与应用最优控制理论与应用，国防工业出版社，国防工业出版社，2008.李国勇等，李国勇等，最优控制理论及参数优化最优
17、控制理论及参数优化，国防工业出，国防工业出 版社，版社，2006.王朝珠，秦化淑，王朝珠，秦化淑，最优控制理论最优控制理论，科学出版社，科学出版社，2003.程兆林，马树萍，程兆林，马树萍，线性系统理论线性系统理论，科学出版社，科学出版社，2006.史忠科，史忠科，线性系统理论线性系统理论，科学出版社，科学出版社，2008.29 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题谢谢！谢谢！30 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题王朝珠，秦化淑，王朝珠，秦化淑，最优最优控制理论控制理论，科学出版社，科学出版社，2003.31 8.4 输出调节器问题输
18、出调节器问题线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题1举例举例3线性时不变系统输出调节器问题线性时不变系统输出调节器问题2Beihang University线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题 设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下 以及性能指标以及性能指标 要求确其中，要求确其中，P P 和和Q(t)是半正定矩阵，是半正定矩阵，R(t)R(t)是正定矩阵，是正定矩阵，tf是有限的终端时刻，控制函数是有限的终端时刻，控制函数u(t)不受约束。确定最优调不受约束。确定最优调节作用节作用u*(t),使性能指
19、标达到最小值。这类最优控制问题，使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量出变量y(t)保持在零值附近。保持在零值附近。y(t)=C(t)x(t)Beihang University线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题将输出方程将输出方程代入代入性能指标性能指标得到得到状态调节器的状态调节器的性能指标函数性能指标函数Beihang University线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题 在状态调节器的性能指标中，要求在状态调节器的性能指标中，要求P和和Q(t
20、)为半正为半正定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中能指标中 和和 也也是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器问题来阐述。即：对于系统问题来阐述。即：对于系统和性能指标和性能指标 )()()(tCtQtCT)()(ffTtPCtCBeihang University线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题最优控制存在且唯一最优控制存在且唯一 K(t)为下列为下列Riccati矩阵微分方程的解矩阵微分方程的解满足边界条件满足边界条件最优轨线是下列线性微分方程的解最优轨线
21、是下列线性微分方程的解Beihang University线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题结论：结论：最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量y(t)的的线性函数，而仍然是状态向量线性函数，而仍然是状态向量x(t)的线性函数，表明构成的线性函数，表明构成最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统可观测，即可观测，即有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的最优解，具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，的最优解，具有相同的最优
22、控制与最优性能指标表达式，仅在仅在Riccati方程及其边界条件的形式上有微小的差别。方程及其边界条件的形式上有微小的差别。Beihang University线性时不变系统输出调节器问题线性时不变系统输出调节器问题前面所讨论的是终端时刻前面所讨论的是终端时刻tf为有限值的情况。如果系统是为有限值的情况。如果系统是线性时不变系统，即线性时不变系统，即当当tf =时其输出调节器问题可以参照时其输出调节器问题可以参照tf =的状态调节器的状态调节器问题，得到相应的控制规律。但是，问题，得到相应的控制规律。但是，完全完全可观可观完全完全可控可控 其性能指标为其性能指标为 u(t)不受约束，不受约束，
23、Q和和R是正定常数矩阵，则最优控制存在是正定常数矩阵，则最优控制存在且唯一，并且由下式确定且唯一，并且由下式确定 K满足满足Ricatti矩阵代数方程矩阵代数方程Beihang University线性时不变系统输出调节器问题线性时不变系统输出调节器问题K()=P=0最优状态满足最优状态满足特征值具有特征值具有负的实部负的实部Beihang University举例举例例例设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为：性能指标为性能指标为试构造输出调节器，使性能指标最小试构造输出调节器，使性能指标最小。Beihang University举例举例解解：因为因为系统完全能控和能观。故最优控制系统完全能控和能观。故最优控制 存在。存在。)(*tuBeihang University 令令 ，由由Riccati方程方程得得P是正定的。是正定的。Beihang University 最优控制为最优控制为闭环系统的状态方程为闭环系统的状态方程为 得到闭环系统的特征值得到闭环系统的特征值闭环系统线性稳定。闭环系统线性稳定。Beihang University 原系统的脉冲响应曲线原系统的脉冲响应曲线Beihang University 输出反馈后系统的脉冲响应曲线输出反馈后系统的脉冲响应曲线
