1、利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值赤峰二中：朱明英赤峰二中：朱明英1.3.21.3.2利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值数学选修数学选修2-2 新课标人教新课标人教 版版B 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值是新课标人教是新课标人教B版教材选版教材选修修2-2第一章第三节的第二小节。第三章的内容主要分为两第一章第三节的第二小节。第三章的内容主要分为两个部分：一是导数的概念、运算及其应用；二是定积分的个部分：一是导数的概念、运算及其应用；二是定积分的概念和微积分基本定理。本节属于导数的应用部分概念和微积分基本定理。本节属于导数的应用部分，是本，是本章的重点之一，也是
2、高考题中经常考察的部分。前面有了章的重点之一，也是高考题中经常考察的部分。前面有了导数的概念、运算做基础，而且还研究过了利用导数研究导数的概念、运算做基础，而且还研究过了利用导数研究函数的单调性，后面是函数的单调性，后面是导数的实际应用导数的实际应用，所以本节在所以本节在整个章节中起到了承上启下的作用。整个章节中起到了承上启下的作用。一一 教学内容分析教学内容分析（一）（一）教材的地位和作用教材的地位和作用（二）数学思想方法分析（二）数学思想方法分析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示观察、归纳等数学方法，培养学
3、生严谨的学习态度。注重使学生学会数学思考的一种方式几何直观。通过图形用导数的几何意义去解决问题的过程中（如导函数的正负体现了原函数的增减变化等），学会一种数学思考的数学学习方式。（三）教学目标（三）教学目标 1、基础知识目标：对于可导函数，明确其定义域内一点是极值点的充分必要条件；能够利用导数求极值、闭区间最值。2、能力训练目标：培养学生观察、归纳等方法。学会通过几何直观解决问题。3、情感目标：让学生在学习的过程中体验凡事都要认真对待的态度。本节的重点是利用导数知识求函数的极值；难点在于建立导 函数正负和原函数增减之间的关系；关键是能够利用图像解决以上问题。（三）重点、难点（三）重点、难点 教
4、法教法 分析分析数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生学中，不仅要使学生“知其然知其然”而且要使学生而且要使学生“知其所以知其所以然然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学的严谨，使之获得置来启发学生思考，在思考中体会数学的严谨，
5、使之获得内心感受。内心感受。学法学法 分析分析数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导，进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳学方法，结合师生共同讨论、归纳。1.创设情境创设情境引入概念；引入概念；观察归纳观察归纳形成概念。形成概念。2.讨论研究讨论研究深化概念
6、深化概念。3.总结知识总结知识给出步骤。给出步骤。4.即时训练即时训练巩固新知巩固新知。5.深入探讨深入探讨提高认识。提高认识。6.任务后延任务后延自主探究自主探究。教学过程设计教学过程设计（1）教材由山峰、山谷的实例，引入极大）教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活直观，贴近生活 1.创设情境创设情境引入概念；引入概念；观察归纳观察归纳形成概念形成概念（2）我在这里借助一个函数图像，把生活）我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。方法的习
7、惯。函数函数 y=f(x)在点在点x1、x2、x3、x4处的处的函数值函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像：yxOaby=f(x)x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)例例1（2）讨论研究）讨论研究深化概念深化概念在这里通过两个函数图象使学生更加明确在这里通过两个函数图象使学生更加明确了极值和极值点的区别、极大值和极小值了极值和极值点的区别、极大值和极小值之间没有必然的大小关系、极值和最值间之间没有必然的大小关系、极值和最值间的区别和联系。的
8、区别和联系。cd efoghijxy xfy=aboxy xfy=103.1图图113.1图图探究探究 1、图中有哪些极值点和最值点？图中有哪些极值点和最值点？2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？比极小值大么？3、最值和极值有什么联系和区别、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗？、端点可能是极值点吗？（3 3）总结知识）总结知识给出步骤给出步骤教材中是先通过一个函数图象的观察给出必教材中是先通过一个函数图象的观察给出必要条件，然后讨论求极值的步骤，最后给出充要条件，然后讨论求极值的步骤，最后给出充要条件。这样的好处在于：在探讨求
9、极值步骤要条件。这样的好处在于：在探讨求极值步骤的时候更加深化了对的时候更加深化了对“变号变号”的要求。充要条的要求。充要条件顺理成章。我在讲课的时候调整了教材顺序件顺理成章。我在讲课的时候调整了教材顺序，先通过图象探讨，以及，先通过图象探讨，以及 在在处情况给出充要条件，然后再过渡到求极值处情况给出充要条件，然后再过渡到求极值的步骤问题。这样一个问题在一处得到彻底的步骤问题。这样一个问题在一处得到彻底解决，使学生理解和记忆的更加透彻。解决，使学生理解和记忆的更加透彻。3xy=0=x f (x)0 yxOx1aby=f(x)f (x)0 f (x)0 1、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧
10、f(x)0，右侧，右侧f(x)0，则则f(x0)是极大值；是极大值；2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，则则f(x0)是极小值；是极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处是连续连续的，且的，且 f (x0)=0则则x2在在x=0左右两侧，导函数的左右两侧，导函数的正负没有发生变化。正负没有发生变化。X=0不不是极值点。是极值点。（4）即时训练）即时训练巩固新知巩固新知教材中给出的例题给出了求极值、画函数教材中给出的例题给出了求极值、画函数的大致图象以及闭区间最值问题。一个例的大致图象以及闭区间最值问题。一个例题概括了这一节课的所有内容，很全面，题概括了这一节课的所有
11、内容，很全面，而且多项式函数的求导、符号判断问题相而且多项式函数的求导、符号判断问题相对简单，所以教材这里安排这样一个例题对简单，所以教材这里安排这样一个例题是十分恰当的。学生刚刚学过的知识在这是十分恰当的。学生刚刚学过的知识在这里得到了应用，而且操作起来也没有困难，里得到了应用，而且操作起来也没有困难，给学生的学习以很大的信心。给学生的学习以很大的信心。例例2 1、求函数求函数 的极值。的极值。44xx31y3 =x-22 y00y解解：定义域为：定义域为R，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y,y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=
12、-2时，时，y极大值极大值=28/3 当当x=2时，时，y极小值极小值=4/3(-，-2）(-2，2）(2，+）+极大值极大值28/3极小值极小值-4/32、思考与讨论：在区间、思考与讨论：在区间-3，5上，上，44xx31y3 =22oxy 4x4x31xf3=123.1图图最小值分别是多少？最小值分别是多少？-3，3上呢？上呢？?,.3大值、最小值吗上的最在区间你能找出函数探究baxfy=a1x2x3xo4x5x6xbxy xfy=4、求可导函数、求可导函数y=f(x)在在a,b上的最值步骤如何？上的最值步骤如何？的最大值，的最大值，1、求、求y=f(x)在开区间（在开区间（a,b)内所有
13、使内所有使f(x）=0的点；的点；2、计算函数、计算函数y=f(x)在区间内使在区间内使f(x）=0的所有点和端点的函数值的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。1132=xy3xy=11=xx或(5)(5)深入探讨深入探讨提高认识提高认识教材中换掉例题的闭区间，探讨最大值问题教材中换掉例题的闭区间，探讨最大值问题，使学生更加明确了最值可能是极值，也可能，使学生更加明确了最值可能是极值，也可能是区间端点值。强调了求最值问题的关键：极是区间端点值。强调了求最值问题的关键：极值和区间端点值。值和区间端点值。这里，我在讲课时新
14、加入一个例题：这里，我在讲课时新加入一个例题：这个例题对应了前面探讨极值问题时涉及到的这个例题对应了前面探讨极值问题时涉及到的函数的特殊情况函数的特殊情况,即在即在导函数值为零，但是左右不变号的问题得导函数值为零，但是左右不变号的问题得到强调，而且对应了课后练习到强调，而且对应了课后练习A A第二题的第第二题的第二小题。二小题。例例3 求函数求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。的极值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y无极值无极值极小值极小值0无极无极值值解解：定义域为：定义域为R，y=6x(x2-1)2。由由y=0可得可得x1=-1,x2=0，x3=1当
15、当x变化时，变化时，y,y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=0时，时，y极小值极小值=0点评：可导函数点评：可导函数)(xfy=在点在点x0取得极值的充分必要条取得极值的充分必要条件是件是,0)(=oxf且在点且在点x0左侧和右侧，左侧和右侧，f(x)异号。异号。（6 6）任务后延）任务后延自主探究自主探究最后，我给出了一个简单的参数问题。最后，我给出了一个简单的参数问题。学生们在课堂上自己来探讨得出结论，锻炼了学生们在课堂上自己来探讨得出结论，锻炼了他们的逆向思维能力。使学生对本节课所学知他们的逆向思维能力。使学生对本节课所学知识有了更深的理解和更灵活的应用。当然，作识
16、有了更深的理解和更灵活的应用。当然，作为新授课，我注意了例题设计的难易程度，使为新授课，我注意了例题设计的难易程度，使学生既锻炼了思考能力，又不至于学生既锻炼了思考能力，又不至于“跳一跳也跳一跳也够不到够不到”例例4 已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当，当x=-1时时取极大值取极大值7；当；当x=3时取得极小值，时取得极小值，求这个极小值及求这个极小值及a、b、c的值。的值。另外，我在讲授另外，我在讲授利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性一课时，充分讨论了导函数正负和原函数增减一课时，充分讨论了导函数正负和原函数增减间的关系，并且注重探讨了导函数图象和原函间的关系，并且注重探讨了导函数图象和原函数图象间的关系：导函数的正负决定了原函数数图象间的关系：导函数的正负决定了原函数的增减。所以这里我用画导函数的大致图象代的增减。所以这里我用画导函数的大致图象代替了教材中的表格，形式上更简洁。而且，替了教材中的表格，形式上更简洁。而且，只要能做出表格就能画出图象，只要能做出表格就能画出图象，我们只关注我们只关注导函数的正负，所以用数轴标根法（穿针引线，导函数的正负，所以用数轴标根法（穿针引线，奇穿偶回）画出大致图象就可以。奇穿偶回）画出大致图象就可以。
