1、7.2 基、维与坐标基、维与坐标 一、线性空间的基与维数一、线性空间的基与维数 二、元素在给定基下的坐标二、元素在给定基下的坐标 三、小结、思考题三、小结、思考题 本节中，我们将向量的本节中，我们将向量的线性组合，线性线性组合，线性 相关与线性无关相关与线性无关的概念、性质及有关结论推的概念、性质及有关结论推 广到线性空间。广到线性空间。 同时，把向量空间的同时，把向量空间的基、维与坐标基、维与坐标的概的概 念也推广到线性空间。念也推广到线性空间。 一、线性空间的基与维数 12 12 1122 12 1VF(1) V,F = 设 是数域 上的一个线性空间， ， 是 中的 个元素，是数域 中的数
2、，对元素 称元素 可由线性表一组元 义 ， 定 示.素 s s ss s s sk kk kkk 1212 , V( 2 ) II 设元素组(I):元素组(II): 是线性空间 中的两组元素，如果元素组中每个元素都 可由元素组(II)线性表示，则称元素组(I)可由元素组(II) 线性表示，如果元素组(I)与（ ）可互相线性表示，则 称元素 定义 组(等I)与( I.价I ) st I 12 12 1122 12 (1)F , 0 3 线性空间 中的元素 ，如果在数域 上有 个不全为零 线性相关 的数，使得 成立，则称元素组 ，. 定义 s s ss s Vs sk kk kkk 112212
3、12 00如果当且仅当 线则称向量组 ，.性无关 sss s kkkkkk 线性相关与线性无关 12 1 由一个元素 构成的元素组线性相关的充分必要 条件是 =0.两个以上元素，线性相关的充分 必要条件是其中至少有一个元素可以由其他 定理 元素来线性 表示. s V2 对于 中的一组元素，如果其部分元素线性相关，则 其全体也线性相关；如果这个元素组线性无关，则其任何部 分组也线 定理 性无关. 线性相关与线性无关 12 12 ,4, . 如果元素组线性无关，并且可由元素组 ，线性表示，则有 定理 s t st 两个等价的线性无关的元素组，一定含有相同 个 推论： 数的元素. 12 1212 ,
4、 , 如果元素组线性无关，而元素组 ， 线性相关，则元素 可由线性 表示，且表示式 定理 唯 3 一. s ss 线性相关与线性无关 ;, )1( 21 线性无关线性无关 n 12 , , ,. n V nV 那那么么就就称称为为线线性性空空间间的的一一个个 称称为为线线性性空空间间的的维维数数基基 , , 2)( 21 表示表示 线性线性总可由总可由中任一元素中任一元素 n V 定义 4 在线性空间 中，如果存在 个元素 n 12 , n 满足： V ,. n nnV维维数数为为 的的线线性性空空间间称称为为维维线线性性空空间间 记记作作 可表示为可表示为则则的一个基的一个基为为若若 nnn
5、 VV, 21 RxxxxxxV nnnn , 212211 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的 V V 基和维数 , 2211nn xxx 1212 12 , ,. nn T n x xx xxx 有有序序数数组组称称为为元元素素 在在这这个个 基基下下的的并并记记作作坐坐标标 12 12 , , , nn n n V V x xx 设设是是线线性性空空间间的的一一个个基基 对对 于于任任一一元元素素总总有有且且仅仅有有一一组组有有序序数数 使使 定义 5 二、元素在给定基下的坐标 ., , 1, 4 5 3 4 2 3214 就是它的一个基就是它的一个基 中
6、中在线性空间在线性空间 x p x p x pxppxP 例1例1 a x axaxaxa p 01 2 2 3 3 4 4 4 次的多项式次的多项式任一不超过任一不超过 p a p a p a p a p a p 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 可表示为可表示为 01234 ,. T p a a a a a 因因此此在在这这个个基基下下的的坐坐标标为为 线性空间线性空间 的任一元素在不同的基下所对的的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的唯一的 V注意: 则则 若取另一基若取另一基 , ,2,1, 1 4 5 3 4 2 321 x q x q x qxqq q a q a q a q a q aa p 5 4 4 3 3 2 2 1 1 10 2 1 )( ) , , 2 1 , ,( 432110aaaaaa p T 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此 线性空间的基与维数； 线性空间的元素在给定基下的坐标； 坐标：（）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来； 三、小结 （）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来
