1、1第第 8 章章（The theory of molecular motion of gas)(6)(6)气体动理论气体动理论热热 学学(Thermodynamics)2 分子物理学分子物理学是从物质的微观结构出发是从物质的微观结构出发,应应用统计的方法用统计的方法,研究微观态和宏观态的联系研究微观态和宏观态的联系,揭揭示宏观量的微观本质。示宏观量的微观本质。热力学热力学是从能量守恒和转化的角度来研是从能量守恒和转化的角度来研究热运动规律的究热运动规律的,不涉及物质的微观结构。它不涉及物质的微观结构。它根据由观察和实验所总结出的基本规律根据由观察和实验所总结出的基本规律(主要主要是热力学第一定
2、律、第二定律等是热力学第一定律、第二定律等),用逻辑推理用逻辑推理的方法的方法,研究物体的宏观性质及宏观过程进行研究物体的宏观性质及宏观过程进行的方向和限度等。的方向和限度等。热学热学是研究热现象的规律及其应用的是研究热现象的规律及其应用的学科学科,它包括分子物理学和热力学两个方面。它包括分子物理学和热力学两个方面。38-1 热力学系统热力学系统 平衡态平衡态 一一.热力学系统热力学系统 宏观物体是由大量分子和原子组成的一个系统宏观物体是由大量分子和原子组成的一个系统,这个系统就称为这个系统就称为热力学系统热力学系统。与外界完全隔绝与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量交换即与外界没有质量和能
3、量交换)的系统的系统,称为称为孤立系统孤立系统。与外界没有质量交换和但有能量交换的系统与外界没有质量交换和但有能量交换的系统,称称为为封闭系统封闭系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统与外界既有质量交换又有能量交换的系统,称为称为开放系统开放系统。二二.理想气体理想气体 严格遵守四条定律严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖玻意耳定律、盖-吕萨克定律、吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律查理定律和阿伏伽德罗定律)的气体的气体,称为称为理想气体理想气体。4 在不受外界影响在不受外界影响(孤立系统孤立系统)的条件下，系统的的条件下，系统的宏宏观性质观性质不随时间变化的状态不随时间变化的状态,称为称为
4、平衡态平衡态。平衡态不同于系统受恒定外界平衡态不同于系统受恒定外界影响所达到的定影响所达到的定态。态。平衡态仅指系统的宏观性质不平衡态仅指系统的宏观性质不随时间变化随时间变化,但但微观上分子仍在不停地运动和变化。微观上分子仍在不停地运动和变化。四四.状态参量状态参量 描述描述平衡态下平衡态下系统宏观属性的一组独立宏观量系统宏观属性的一组独立宏观量状态参量状态参量。气体气体处于平衡态的标志是状态参量处于平衡态的标志是状态参量P、V、T处处处相同处相同且且不随时间变化。不随时间变化。三三.平衡态平衡态5vRTRTMMpVmol (8-1)单位单位:SI 压强压强 p:Pa帕斯卡帕斯卡(帕斯卡帕斯卡
5、)。1atm=76cmHg=1.013105Pa (atmosphere)体积体积V：m3;1l=10-3 m3 温度温度T：K (T=273+t C )M:气体质量气体质量(kg);Mmol:摩尔摩尔质量质量(kg)。普适气体恒量普适气体恒量:R=8.31 (J.mol-1.K-1)8-2 热力学第零定律热力学第零定律(自学自学)8-3 理想气体的状态方程理想气体的状态方程6 molMM玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 k=R/No=1.3810-23 (J.K-1)R=8.31 (J.mol-1.K-1)于是理想气体状态方程又可写为于是理想气体状态方程又可写为 pV=NkT式中：式中：n=N/V分
6、子的数密度。分子的数密度。或或 p=nkT (8-2)m分子分子质量质量,N 气体分子数气体分子数mNNmo,NNo 23100226 .NovRTRTMMpVmol (8-1)7 例题例题8-1 估算在标准状态下，每立方厘米的空气估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。中有多少个气体分子。解解 由公式：由公式：p=nkT，标准状态标准状态:p=1atm=1.013105Pa,T=273kTpn =2.71025(个个/m3)=2.71019(个个/cm3)8 例题例题8-2 一氧气瓶的容积一氧气瓶的容积V=32l,瓶中氧气压强瓶中氧气压强p1=130atm。规定瓶内氧气的压强降
7、到。规定瓶内氧气的压强降到p2=10atm时就时就得充气得充气,以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需用用pd=1atm的氧气的氧气Vd=400 l,问一瓶氧气能用几天问一瓶氧气能用几天?解解 抓住：分子个数的变化，用抓住：分子个数的变化，用 pV=NkT求解求解。kTVpN11 使用后瓶使用后瓶中中氧气的分子个数氧气的分子个数:(设使用中温度保持不变设使用中温度保持不变)kTVpN22 每天用的氧气分子个数每天用的氧气分子个数:kTVpNddd 能用天数：能用天数：)(.VpV)pp(NNNDddd天天692121 未使用前瓶未使用前瓶中中氧气的分子个数
8、氧气的分子个数:9 例题例题8-3 一长金属管下断封闭一长金属管下断封闭,上端开口上端开口,置于压置于压强为强为po的大气中。今在封闭端加热达的大气中。今在封闭端加热达T1=1000K,而另而另一端则达到一端则达到T2=200K，设温度沿管长均匀变化。现封，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算此时管。计算此时管内气体的压强内气体的压强(不计金属管的膨胀不计金属管的膨胀)。解解 初态初态(加热时加热时)是定态是定态,但不是但不是平衡态。末态是平衡态。末态是平衡态。平衡态。关键是求出管内气体的质量。关键是求出管内气体的质量。.图8-1xxL
9、TTTT212 ,L 管长管长 对对x处的气体元处的气体元(dx,dM)可视为平可视为平衡态衡态:RTMdMdVpmolo dxxdM10.图8-1xdxxxLTTTT212 RTMdMdVpmolo SdxdV,S 管横截面积管横截面积RTSdxpMdMomol dx)xLTTT(RSpMomol212 )xLTTT(dxRSpMMLomol2120 521ln)TT(LRSpMMomol 11521ln)TT(LRSpMMomol .图8-1xdxx末态末态:封闭开口端封闭开口端,并使管子冷却到并使管子冷却到TE=100K。EmolRTMMpSL oplnp85=0.2po最后得最后得oE
10、pTTlnTp215 128-4 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 一一.理想气体的微观模型理想气体的微观模型 (1)分子本身的线度与分子之间的平均距离相比可分子本身的线度与分子之间的平均距离相比可忽略不计。忽略不计。(2)分子之间距离很大分子之间距离很大,除碰撞的瞬间外除碰撞的瞬间外,可不计分子可不计分子间的相互作用力间的相互作用力;如无特殊考虑如无特殊考虑,重力也可忽略。重力也可忽略。(3)分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是完全分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是完全弹性的弹性的,即气体分子的动能不因碰撞而损失。即气体分子的动能不因碰撞而损失。(4)分子在做永不停息的热运动。无外
11、力场时，处分子在做永不停息的热运动。无外力场时，处于平衡态的气体分子在空间的分布是均匀的；分子沿于平衡态的气体分子在空间的分布是均匀的；分子沿任一方向运动的概率是相等的，于是可作出如下统计任一方向运动的概率是相等的，于是可作出如下统计假设：假设：222231 zyx13二二.理想气体的压强公式理想气体的压强公式 理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁的的压强压强,是是大量分子对器壁不断碰撞大量分子对器壁不断碰撞的结果。的结果。单位时间内与器壁单位时间内与器壁A上上单位单位面积面积碰撞的分子数碰撞的分子数,显然就是显然就是在此在此斜柱体中的斜柱体中的
12、分子数：分子数：ni ix 一个分子碰撞一次给器壁一个分子碰撞一次给器壁A的冲量：的冲量：ix ix图8-2A.iy ix izm2m ix 设容器内气体分子质量为设容器内气体分子质量为m,分子数密度为分子数密度为n,而单位而单位体积中速度为体积中速度为 i的分子数为的分子数为ni。现沿速度。现沿速度 i方向取一底方向取一底面为单位面积、高为面为单位面积、高为 ix的斜柱体。的斜柱体。14 单位时间内与器壁单位时间内与器壁A上上单位面积单位面积碰撞的分子数：碰撞的分子数：ni ix 一个分子碰撞一次给一个分子碰撞一次给A面的冲量：面的冲量：2m ix x图8-3A.ix i 这些分子单位时间内
13、给予器壁这些分子单位时间内给予器壁A单位面积上的单位面积上的冲冲量就为：量就为：2mni ix2 对所有可能的速度求和，对所有可能的速度求和，就得单位时间内给予器壁就得单位时间内给予器壁A单单位面积上的总位面积上的总冲量：冲量：202ixi)(inmix 152221ixiinmp 2 iiximn 考虑到，平均来说，考虑到，平均来说，ix 0和和 ix 0的分子各占一的分子各占一半。故半。故单位时间内给予器壁单位时间内给予器壁A单位面积上的总单位面积上的总冲量冲量,x图8-3A.ix i 单位时间内给予器壁单位时间内给予器壁A单位面积上的总单位面积上的总冲量：冲量：202ixi)(inmix
14、 即即单位面积上的单位面积上的平均冲力平均冲力压强压强为为:(Fix t=m x,t=1)162 iiximnp x图8-3A.ix i2 iixinm,nniixix 22 222231 zyx)m(n22132 所以压强：所以压强：2231 nmnmpx nnmniixi 2 17理想气体的压强公式理想气体的压强公式：tEnp32(8-3)气体分子的气体分子的平均平动动能平均平动动能)m(np22132 221 mEt 令令压强：压强：18三三.温度的统计意义温度的统计意义tEnp32 从以上两式消去从以上两式消去p可得分子的可得分子的平均平动动能平均平动动能为为221 mEt kT23(
15、8-4)可见，可见，温度是分子平均平动动能的量度温度是分子平均平动动能的量度。这就。这就是温度的统计意义。是温度的统计意义。应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现,只具有统计意义；对于单个分子只具有统计意义；对于单个分子,说它有温度是没有说它有温度是没有意义的。意义的。因因 p=nkT，19四四.混合气体内的压强混合气体内的压强 道尔顿分压定律道尔顿分压定律 设容器内有多种气体，设容器内有多种气体，n=n1+n2+ni+nn,其其中中ni是第是第i种气体的分子数密度种气体的分子数密度,由压强公式有由压强公式有tEnp32 tnttEn.EnEn3232
16、3221 于是有于是有 p=p1+p2+pn 这就是说，这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。就是道尔顿分压定律。kTEt23 20 例题例题8-4 一容器体积一容器体积V=1m3,有有N1=11025个个氧分氧分子，子，N2=41025氮分子，混合气体的压强氮分子，混合气体的压强p=2.76 105pa,求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。解解 由压强公式由压强公式tEnp32 tEVNN2132 所以所以)NN(pVEt2123 =8.26 10-21JkTEt23 又又混合气体的的温度：混合气
17、体的的温度：kETt32=400K21 例题例题8-5 两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但体积不同，则但体积不同，则 (1)它们单位体积中的分子数它们单位体积中的分子数 相同相同。(2)它们单位体积中的气体质量它们单位体积中的气体质量不相同不相同。(3)它们单位体积中的分子平均平动动能的总和它们单位体积中的分子平均平动动能的总和(p=nkT)(=mn)(Ek=nEt)相同相同。228-5 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 一一.气体分子的自由度气体分子的自由度 自由度自由度确定一个物体在空间的位置所需的独确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目
18、。立坐标数目。单原子气体分子单原子气体分子 可视为质点可视为质点,确定它在空间的位置需确定它在空间的位置需3个独立坐标，个独立坐标，故有故有3个平动自由度。个平动自由度。刚性双原子气体分子刚性双原子气体分子 两原子之间成哑铃似的结构两原子之间成哑铃似的结构,确定它的质心确定它的质心,要要3个平动自由度，个平动自由度，确定连线，确定连线，要要2个转动自由度；个转动自由度；所以共有所以共有5个自由度。个自由度。C图8-423 确定它的质心确定它的质心,要要3个平动自由度，个平动自由度，确定连线，确定连线，要要2个转动自由度；个转动自由度；确定沿连线的振动确定沿连线的振动,要要1个振动自由度，个振动
19、自由度，所以共有所以共有6个自由度。个自由度。图8-5C非刚性双原子气体分子非刚性双原子气体分子相似为弹簧哑铃似的结构相似为弹簧哑铃似的结构,多原子气体分子多原子气体分子(原子原子数数n 3)刚性刚性:6个自由度个自由度(3个平动自由度个平动自由度,3个转动自由度个转动自由度);非刚性：有非刚性：有3n个自由度个自由度,其中其中3个是平动的个是平动的,3个是转动个是转动的的,其余其余3n-6是振动的。是振动的。在常温下在常温下,不少气体可视为刚性分子不少气体可视为刚性分子,所以只考虑平动所以只考虑平动自由度和转动自由度自由度和转动自由度,但在高温时但在高温时,则要视为非刚性分子则要视为非刚性分
20、子,还要考虑振动自由度。还要考虑振动自由度。24气体分子自由度小结气体分子自由度小结i=3 (单原子单原子)5 (刚性双原子刚性双原子)6 (非刚性双原子非刚性双原子)6 (刚性多原子刚性多原子(n 3)3n (非非刚性多原子刚性多原子(n 3)特别是对刚性气体分子，自由度为特别是对刚性气体分子，自由度为i=3 (单原子单原子)5 (刚性双原子刚性双原子)6 (刚性多原子刚性多原子(n 3)气体分子的气体分子的自由度：自由度：25在上节中我们已得到分子的平均平动动能在上节中我们已得到分子的平均平动动能二二.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理221 mEt kT23 222231 zyxk
21、Tmmmzyx21212121222 可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个个自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能都相等，都为都相等，都为 。kT2126能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：理想气体处于平衡态时理想气体处于平衡态时,其分子在每个自由度上其分子在每个自由度上的平均动能都相等，都为的平均动能都相等，都为 。kT21 设某分子有设某分子有t个平动自由度，个平动自由度，r个转动自由度，个转动自由度，s个个振动自由度，则该振动自由度，则该 分子的总自由度：分子的总自由度：i=t+r+s;
22、分子的平均总动能：分子的平均总动能：kTik2 kTs2分子的平均振动动能：分子的平均振动动能：kTr2分子的平均转动动能：分子的平均转动动能：kTt2分子的平均平动动能：分子的平均平动动能：27分子的平均总能量：分子的平均总能量：对每个振动自由度，由于平均势能和平均动能对每个振动自由度，由于平均势能和平均动能相等相等,故分子不仅有故分子不仅有 的平均动能的平均动能,还应有还应有 的的平均振动势能。因此，平均振动势能。因此，kT21kT21kTsikTsrt222 (8-5)这里：这里：i=t+r+s，是分子的总自由度。，是分子的总自由度。对对刚性气体分子刚性气体分子(无振动自由度无振动自由度
23、),平均总能量平均总能量:kTi2 (8-6)28三三.理想气体的内能理想气体的内能 对于实际气体来讲对于实际气体来讲,除了分子的各种形式的热运动除了分子的各种形式的热运动动能和分子内部原子间的振动势能外动能和分子内部原子间的振动势能外,由于分子间存由于分子间存在着相互作用的保守力在着相互作用的保守力,所以分子还具有与这种力相所以分子还具有与这种力相关的势能。所有分子的这些形式的关的势能。所有分子的这些形式的热运动能量和分子热运动能量和分子间势能间势能的总和的总和,叫做叫做气体的内能气体的内能。理想气体分子间无相互作用理想气体分子间无相互作用,所以所以理想气体的内能理想气体的内能是所有分子的是
24、所有分子的热运动能量热运动能量的总和。的总和。由于一个由于一个(刚性刚性)分子的平均总能量为分子的平均总能量为kTi2 所以一摩尔理想气体的内能为所以一摩尔理想气体的内能为kTiNEomol2 RTi2(Nok=R)29M千克千克理想气体的内能理想气体的内能为为RTiMMEmol2 pVi2(8-7)例例8-6 容器内盛有单原子理想气体，容器内盛有单原子理想气体，测得压强测得压强为为p，那么单位体积中的内能为多少？，那么单位体积中的内能为多少？解解 由由(8-14)的内能公式：的内能公式：piVE2 pViE2 所以所以p23 30 例例8-7 容器内有容器内有co2和和o2 两种混合气体，混
25、合气两种混合气体，混合气体的热力学温度体的热力学温度T=290K,总的内能总的内能E=9.64105J,总总质量质量M=5.4kg，求两种气体的质量。，求两种气体的质量。解解 设设co2的质量为的质量为M1，o2的质量为的质量为M2，则，则 M1+M2=M总的内能：总的内能：RTMMRTMMEoco25262221 解得：解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。RTiMMEmol2 视为刚性分子。视为刚性分子。31 例例8-8 如图如图8-6，容器两边是同种气体，左边的，容器两边是同种气体，左边的压强、温度、体积分别是压强、温度、体积分别是p1、T1、V，右边的压强、，右边的压强、温度、体积
26、分别是温度、体积分别是p2、T2、V；抽去中间的隔板，让；抽去中间的隔板，让两边的气体混合两边的气体混合(设混合过程中气体与外界无能量交设混合过程中气体与外界无能量交换换)，求平衡时的压强和温度。，求平衡时的压强和温度。解解 因混合过程中气体与外界无能量交换，所以因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：混合前后气体的内能不变：)V(pi22)pp(p2121 又又 p1V=v1RT1,p2V=v2RT2 p(2V)=(v1+v2)RT解得解得221121TpTpppT 图8-6P1 T1 VP2 T2 V.VpiVpi2122 328-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯
27、韦气体分子速率分布律 气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在频繁的碰撞频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约上百亿次！每秒钟要碰撞约上百亿次！)。由于频繁。由于频繁的碰撞，分子的速率在不断地改变着。因此，在某的碰撞，分子的速率在不断地改变着。因此，在某一个特定的时刻去观察某个特定的分子，它的速度一个特定的时刻去观察某个特定的分子，它的速度具有怎样的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫具有怎样的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫无意义的。无意义的。然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速率分布却遵循一个确定的统计规律。这是率分布
28、却遵循一个确定的统计规律。这是1859年麦年麦克斯韦首先应用统计概念导出的，称为麦克斯韦速克斯韦首先应用统计概念导出的，称为麦克斯韦速率分布定律。率分布定律。学习重点：统计意义学习重点：统计意义33一一.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 理想气体处于温度理想气体处于温度T的平衡态时的平衡态时,在速率区间在速率区间 +d 内的分子数为内的分子数为 dN=Nf()d (8-8)这就是这就是麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律。式中式中N为分子总数，为分子总数，f()称为称为麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布函数，它为函数，它为式中：式中：m是气体分子的质量是气体分子的质量,k是玻耳兹曼常
29、数。是玻耳兹曼常数。23)2(4)(kTmf (8-9)kTme22 2 341.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义的物理意义由由 dN=Nf()d NddN)(f f()表示：在速率表示：在速率 附近附近的单位速率区间内的分的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。子数占总分子数的百分比。(或叫做：分子速率出现或叫做：分子速率出现在在 附近附近的单位速率区间内的概率的单位速率区间内的概率概率密度概率密度。)在速率区间在速率区间 +d 内的分子内的分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。d)(fNdN 352.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线 (a)速率
30、分布特征：速率可取速率分布特征：速率可取0 内内的一切值；的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速率的分子最多。率的分子最多。(b)曲线有一个最大值，对应的速率为曲线有一个最大值，对应的速率为mkTp2 最可几最可几(概然概然)速率速率f()o图8-736 最可几最可几(概然概然)速率的物理意义是：在温度速率的物理意义是：在温度T的平的平衡态下，速率在衡态下，速率在 p附近单位速率区间内的的分子数附近单位速率区间内的的分子数最多最多。(c)曲线下面积的物理意义曲线下面积的物理意义 在速率区间在速率区间 1 2 内的分子数内的分子数占
31、总分子数的百分比。占总分子数的百分比。1 2f()o图8-8d 21 d)(f37of()图8-9d 整个曲线下的面积整个曲线下的面积,即即 0 d)(f 这一关系式称为分布函数这一关系式称为分布函数f()的的归一化条件归一化条件。归一化条件的物理意义是：分子速率在归一化条件的物理意义是：分子速率在0 间的概间的概率是率是1。138二二.三种统计速率三种统计速率 1.最可几最可几(概然概然)速率速率 p与分布函数与分布函数f()的极大值的极大值对应的速率。对应的速率。molpMRTmkT22 由极值条件由极值条件df()/d =0可以得到可以得到of()图8-92324)kTm()(f (8-
32、10)kTme22 2 39 解解 速率区间速率区间 +d 内的分子数内的分子数:dN=Nf()d 速率区间速率区间 +d 内的分子速率之和内的分子速率之和:dN=N f()d 速率区间速率区间 1 2内分子速率之和内分子速率之和:21 d)(fN速率区间速率区间 1 2内的分子数内的分子数:2121 d)(fNdN于是速率区间于是速率区间 1 2 内分子的平均速率为内分子的平均速率为 212121 d)(fd)(f例例8-9 求速率区间求速率区间 1 2 内分子的平均速率。内分子的平均速率。40 212121 d)(fd)(f速率区间速率区间0 内分子内分子(全体分子全体分子)的平均速率为的
33、平均速率为 00 d)(fd)(f 0 d)(f完成积分，求得平均速率为完成积分，求得平均速率为molMRT 8 01 d)(f 2.平均速率平均速率 413.方均根速率方均根速率 与求平均速率类似：与求平均速率类似：0 d)(f 02 d)(f 2=molMRT3 于是方均根速率为于是方均根速率为 2 molMRT3 molMRT 8 molpMRT2 2 molMRT3 42 例例8-10 (1)n f()d 的物理意义是什么？的物理意义是什么？(n是分是分子的数密度子的数密度)Vd)(Nfd)(nf VdN n f()d 表示单位体积中，速率在表示单位体积中，速率在 +d 内的分子数。内
34、的分子数。(2)写出速率不大于最可几速率写出速率不大于最可几速率 p的分子数占总的分子数占总分子数的百分比：分子数的百分比：pd)(f 0 (f()d 速率区间速率区间 +d 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的百分比。此题区间子数的百分比。此题区间:0 p)=42.9%43 例例8-11 (1)图图8-10中是同温度下，中是同温度下，H2和和O2 的的麦克麦克斯韦速率分布曲线，由图可知，斯韦速率分布曲线，由图可知，H2的最可几速率为的最可几速率为 m/s;O2的最可几速率为的最可几速率为 m/s。图8-10(m/s)f()o1000molpMRT2 40001000MpV3 p3 1.03
35、kg/m3 2 molMRT3 (2)某气体的方均根速率某气体的方均根速率 =450m/s,压强压强p=7104pa,则该气体的质量密度为则该气体的质量密度为 。2 p3 2 244 例例8-12 图图8-11中是某种气体在不同温度下的麦中是某种气体在不同温度下的麦克斯韦速率分布曲线，已知克斯韦速率分布曲线，已知T2T1。由图可知，随着。由图可知，随着温度的升高，曲线高度降低了，这是为什么？温度的升高，曲线高度降低了，这是为什么？图8-11 f()oT2T1 答：当温度升高时答：当温度升高时,气体分子的速率普遍增大气体分子的速率普遍增大,速速率分布曲线上的最大值也向量值增大的方向迁移率分布曲线
36、上的最大值也向量值增大的方向迁移,即即最可几最可几(概然概然)速率增大了速率增大了;但因曲线下总面积但因曲线下总面积,即分子即分子数的百分率的总和是不变的数的百分率的总和是不变的,因此分布曲线在宽度增因此分布曲线在宽度增大的同时大的同时,高度降低高度降低,整个曲线显得较为平坦些。整个曲线显得较为平坦些。45 例例8-13 假定假定N个粒子的速率分布函数为个粒子的速率分布函数为)(f),(;Cooo为常数为常数 0sin.0)(o 求求(1)归一化常数归一化常数C;(2)处在处在f()的粒子数。的粒子数。C2o图8-12 of()1sin0 odCo 解解 (1)由归一化条件由归一化条件:01
37、d)(foC 2 46(2)处在处在f()的粒子数的粒子数:C2oC,2 )(f),(;Cooo为常数为常数 0sin.0)(oo图8-12 of()dC2 oCsin由由656oo 656oo oCsinN所以所以f()的粒子数的粒子数:C2N865.021sin o478-7 玻耳兹曼分布定律玻耳兹曼分布定律 玻耳兹曼从理论上导出玻耳兹曼从理论上导出:在温度为在温度为T的平衡态下的平衡态下,气气体分子处在体分子处在坐标坐标区间区间(x x+dx,y y+dy,z z+dz)和和速度速度区间区间(x x+d x,y y+d y,z z+d z)内的分子数内的分子数为为1.玻耳兹曼分布律玻耳兹
38、曼分布律式中式中:no表示势能表示势能EP为零处单位体积中的分子数，为零处单位体积中的分子数，E=Ek+Ep是分子的总能。是分子的总能。特点：几率因子特点：几率因子 决定着分子的分布。决定着分子的分布。kTEe 232/o)kTm(ndN kTEe dxdydzdddzyx 48 设处于能态设处于能态E1,E2(E1 E1,所以所以N2N1。即：通常温度下即：通常温度下,处于低能态的分子数总是多处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说于处于高能态的分子数。也就是说,按统计分布来按统计分布来看看,分子总是优先占据能量较低的状态。这叫分子总是优先占据能量较低的状态。这叫正常正常分布分
39、布。491223 zyxkTE/ddde)kTm(k +dxdydzeddde)kTm(ndNkTEzyxkTE/opk 232+将上式对所有可能的速度积分将上式对所有可能的速度积分,可得可得坐标坐标区间区间(x x+dx,y y+dy,z z+dz)内的分子数内的分子数:2.重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布dxdydzendNkTEop 232/o)kTm(ndN kTEe dxdydzdddzyx 50两边除以两边除以dxdydz,并将并将Ep=mgz代入得代入得RTgzMokTmgzomolenenn 压强：压强：RTgzMomolepnkTp (8-11)上式称为上式称
40、为等温气压公式等温气压公式。Po=nokT为为z=0处的压处的压强。将上式取对数强。将上式取对数,可得可得pplngMRTzomol 在坐标区间在坐标区间(x+dx,y+dy,z+dz)内的分子数为内的分子数为dxdydzendNkTEop 51 例例8-14 飞机起飞时飞机起飞时,压强压强po=1atm、温度、温度t=27C;当当压强变为压强变为p=0.8atm时，飞机的高度是多时，飞机的高度是多少？少？解解 由公式：由公式：pplngMRTzomol 代入代入R=8.31,T=300,Mmol=2910-3,g=9.8,得得Z=1.96km。52*8-8 分子碰撞与平均自由程分子碰撞与平均
41、自由程 在室温下在室温下,气体分子以每秒几百米的平均速率运动气体分子以每秒几百米的平均速率运动着。这样看来着。这样看来,气体中一切过程都应在一瞬间就会完气体中一切过程都应在一瞬间就会完成，但实际情况并不如此。例如，打开香水瓶后成，但实际情况并不如此。例如，打开香水瓶后,香香味要经过几秒到几十秒的时间才可能传到几米远的地味要经过几秒到几十秒的时间才可能传到几米远的地方。这是为什么呢方。这是为什么呢?这是由于分子间存在频繁的碰撞这是由于分子间存在频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约每秒钟要碰撞约上百亿次！上百亿次！)，结果使分子走过一条艰难曲折的道路。，结果使分子走过一条艰难曲折的道路。事实上事实上,气体中
42、发生的过程都取决于分子间碰撞气体中发生的过程都取决于分子间碰撞的频繁程度。因而的频繁程度。因而,对碰撞问题的研究具有重要意义。对碰撞问题的研究具有重要意义。53 平均碰撞频率平均碰撞频率每个分子在每个分子在1秒内与其他分子的秒内与其他分子的平均碰撞次数。平均碰撞次数。自由程自由程分子在连续的两次碰撞之间分子在连续的两次碰撞之间,作惯性支作惯性支配的自由运动所通过的路程。配的自由运动所通过的路程。平均自由程平均自由程自由程的平均值。自由程的平均值。可以证明：平均自由程为可以证明：平均自由程为式中：式中：d为分子的有效直径，为分子的有效直径，n为分子数密度。为分子数密度。显然，平均碰撞频率为显然，平均碰撞频率为 ZpdkTnd22221 54 例例8-15 氧气分子氧气分子的有效直径的有效直径d=2.610-10m,27C时的平均自由程时的平均自由程=2.6 10-8m,求：求：(1)压强压强p=?(2)氧分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。氧分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。解解 (1)22 dkTP pdkT22 =5105pa(2)molMRT 8=445 Z=170108(次次/秒秒)=每秒每秒170亿次！亿次！
