1、 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正位移成正 比，叠加原理适用。比，叠加原理适用。 2.2.简单结构稳定分析简单结构稳定分析 1) 稳定问题分析基本方法一：静力法稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类 稳定问题的特征，确定临界荷载的方法稳定问题的特征，确定临界荷载的方法静静 力法。力法。 在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时
2、在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时 叠加原理不再适用。叠加原理不再适用。 2-1-1) 分析步骤分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平 衡）建立特征方程，也称稳定方程衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 2-1) 分支点稳定分支点稳定静力法静力法 2-1-2）例一）例一 试用静力法分析图示结构，求临界试用静力法分析图示结构，求临界 荷载。荷载。 0 6 sin P a EI hF sin
3、h B 得得由由 0 A M sin 6 P ah EI F ah EI F 6 Pcr 稳定方程 0 6 P a EI hF h B 小挠度小挠度 非零解为非零解为 ah EI F 6 Pcr 稳定方程 得得由由 0 A M 按静力法，线性与非线性理论所得分支点临按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。 非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使 ABAB杆继续偏转（杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的角增大），必须施加更大的 荷载（荷载（ 增加）。而线性理论结果表明，不管增加
4、）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。假的现象。 P F 小小 结结 例二例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临完善体系如图所示，试按线性理论求临 界荷载界荷载F FPcr Pcr。 。已知：已知：k1=k, k2=3k。 设体系发生如下的变形设体系发生如下的变形 取取BC为隔离体，由为隔离体，由 MB=0, , 得得 0)( 1112P lykyyF )1(0)( 2P1P1 yFyFlk 或或 再由整体平衡再由整体平衡 MA
5、=0, , 得得 )2(0)2( 221P1 lykyFlk 因为因为y1、y2不能全部为零，因此不能全部为零，因此 )3(0 2 2P1 PP1 lkFlk FFlk 稳定方程 将将k1 、k2 代入（代入（3 3）式，展开后得）式，展开后得 0)(35 2 P 2 P klklFF 由上式可求得：由上式可求得： klFklF303. 4697. 0 2P1P 因此因此 klF697. 0 Pcr 代回式（代回式（1 1）或（）或（2 2） 的失稳形态为的失稳形态为 2 2 l EI 2 2 4l EI 2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的）材料力学中不同支承中心受压杆的 FPcr为为
6、 2 2 Pcr l EI F 2 2 4 l EI 求求 解解 的的 例例 子子 EI，l FP FPcr 如何转换成弹如何转换成弹 性支承中心受性支承中心受 压柱？压柱？ k1=？ 2-1-4）简单结构中心受压杆）简单结构中心受压杆FPcr的分析方的分析方 法法 边界条件是什边界条件是什 么？么？ 根据形常数根据形常数 l EI k 3 1 1P , 0 0kFyyx ylx FPcr EI，l 如何转换成弹如何转换成弹 性支承中心受性支承中心受 压柱？压柱？ k1=？ 边界条件是什边界条件是什 么？么？ FPcr EI，l EI，l EA= 如何转换成如何转换成 弹性支承中弹性支承中 心
7、受压柱？心受压柱？ k=？ 边界条件是边界条件是 什么？什么？ EI，l EI，l FPcr 如何转换成弹性如何转换成弹性 支承中心受压柱？支承中心受压柱？ k1=？ k2=？ 边界条件是什么？边界条件是什么？ 可见简单结构中受压可见简单结构中受压 杆件的稳定分析，主要杆件的稳定分析，主要 是要将杆件简化为相应是要将杆件简化为相应 的弹性支撑的单杆问题。的弹性支撑的单杆问题。 实际工程结构的稳定实际工程结构的稳定 性分析复杂得多，一般性分析复杂得多，一般 进行计算机分析。进行计算机分析。 稳定平衡状态稳定平衡状态 不稳定平衡状态不稳定平衡状态 随遇平衡状态随遇平衡状态 能量取能量取 极小值极小
8、值 2-2) 分支点稳定分支点稳定能量法能量法 2-2-1) 刚性小刚性小 球的稳球的稳 定能量定能量 准则准则 能量取能量取 极大值极大值 能量取能量取 驻值驻值 与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支 点失稳问题中，临界状态的能量特征为：点失稳问题中，临界状态的能量特征为： 首先引入两个定义。首先引入两个定义。 定义：应变能定义：应变能V加外力（外荷载）势能加外力（外荷载）势能VP为体为体 系的总势能，记作系的总势能，记作V。 2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则弹性结构的稳定能量准则 定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外定义：从变形位置退回无变形
9、位置过程中，外 荷载所做的功，称为外力势能，记作荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 体系总势能体系总势能V 取驻值。取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法下面讨论由此特征确定临界荷载的方法 能量法能量法。 2-2-3) 能量法分析步骤能量法分析步骤 (1)设定一种满足位移约束条件的可能失设定一种满足位移约束条件的可能失 稳变形状态（也称失稳构稳变形状态（也称失稳构(位位)形）；形）； (2)计算体系的应变能计算体系的应变能V、外力势能、外力势能VP， 从而获得总势能从而获得总势能V= V+ VP； (3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析从总势能的驻值条件建立稳定性分析 的特征方程；的
10、特征方程； (4)由特征方程解得临界荷载。由特征方程解得临界荷载。 l 例例1. 求图示有初偏离角求图示有初偏离角 体系的的临界荷体系的的临界荷 载载 cos/hl )sin( l Bx 2-2-4) 能量法举例能量法举例 sin 0 l Bx By 可能失稳可能失稳 )cos( lh DyBy sin)sin( 33 33 N l h EI h EI F Dx 分析受力分析受力 FN如何求如何求? 变形能变形能V 2 3 N sin)sin( 2 3 2 1 l h EI FV Dx 外力势能外力势能VP P )cos( PPP lhFFV By 体系的总势能体系的总势能V=V +VP P
11、)cos( sin)sin( 2 3 P 2 3 lhF l h EI V 如何计算如何计算? 应变能等于外力功应变能等于外力功. 根据定义可得根据定义可得 由体系的总势能的驻值条件得：由体系的总势能的驻值条件得： 0 )sin( )cos(sin)sin( 3 P 2 3 lF l h EIV )sin( sin 1)cos( 3 3 P l h EI F 则：则： cos 3 3 P l h EI F 如果如果 = 0： )cos( sin)sin( 2 3 P 2 3 lhF l h EI V )sin( sin 1)cos( 3 )( 3 P EIl hF F 令：令： To 41 )
12、sin( sin 1)cos( 3 3 P l h EI F 0)( F 3 1 sin)sin( 2 3 3 2 3 3 Pcr sin1 3 )sin( sin 1)cos( 3 l h EI l h EI F 令：令： 得：得： 因此因此 为求极值为求极值 21 3 2 )sin1 ()cos( 1 EIl hF 3 3 Pcr 2 3 3 23 Pcr sin1 3 EIl hF 设：设： 跳跳 转转 当按线性理论计算时，当按线性理论计算时， 是微量，是微量， h h l cos 0)( 0 ByDxBxBx lll l h EI F 3 N 3 0)( NP hFlF 2 P 3 h
13、 EI F 线性理论计算线性理论计算 结果比非线性结果比非线性 理论计算结果理论计算结果 大，因而是偏大，因而是偏 于危险的。于危险的。 To 38 不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大 时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是 不利的。不利的。 非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一 结果与实际吻合。结果与实际吻合。 小小 结结 P F 在线性理论（在线性理论（ 微小）前提下，微小）前提下， 是单调增加是单调增加 的，不存在极值点。的，不存在极值点。 非完善体系的临界荷载只能
14、由非线性理论确非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确 定。定。 l E I y x l x ay 2 cos1 l x l a y 2 sin 2 l x l a y 2 cos 4 2 2 设：设： 例例2. 求图示一端固定一端求图示一端固定一端 自由简支梁的临界荷载。自由简支梁的临界荷载。 满足满足 位移位移 约束约束 条件条件 变形能变形能V l l aEI xyEIV 0 3 24 2 64 d 2 1 外力势能外力势能VP P l a FxyFFV P l PPP 16 d 2 1 22 0 2 体系的总势能体系的总势能V=V +VP P l a F l aEI V P 1664 2
15、2 3 24 由体系的总势能的驻值条件得：由体系的总势能的驻值条件得： 0 832 2 P 3 4 a l F l EI a V 因为因为a 0 则：则： 2 2 Pcr 4l EI F 返返 回回 yEIM )( RP xlFyFM )( RP xlFyFyEI )( R2 xl EI F yny 则则 )( P R22 xl F F nyny 或或 EI F n P2 记记 以图示柱为例，取隔离体以图示柱为例，取隔离体 列弯矩方程得列弯矩方程得 特特 解解 通解通解 )(sincos P R xl F F nxBnxAy 利用边界条件：利用边界条件： 0 , 0 yx 解方程可得解方程可得 ;0 y 0, ylx 0 P R l F F A 0sincos nlBnlA 0 P R F F nB nlnl tan稳定方程 2 2 Pcr 19.20 l EI EInF 493. 4 nl 返返 回回 可得可得 0sin 1 cos P R P R nl F F n nll F F 试总结中心压杆试总结中心压杆 稳定分析的要点稳定分析的要点
