1、弯矩分配法基本思想弯矩分配法基本思想 弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。从数学上说，是一种异步迭代法。 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结 构。构。 M 以图示具体例子加以说明以图示具体例子加以说明 A B 1 l 2 l 1 EI 2 EI C 按位移法求解时，可按位移法求解时，可 得下页所示结果得下页所示结果 弯矩分配法基本思想弯矩分配法基本思想 P1 R C M 2111 34iir MR P1 )34/( 211 iiMZ )34/(4 211
2、iiiMMCA )34/(3 212 iiiMMCB 由此可得到什么结论呢？由此可得到什么结论呢？ M A B 1 l 2 l 111 /lEIi 222 /lEIi C 1 1 Z AB 1 i 2 i C 1 4i 2 3i 1 2i 11 r C 1 4i 2 3i 11 4/2iiMM CAAC 2 3/0iMM CBBC 弯矩分配法基本思想弯矩分配法基本思想 结点力偶可按如下系结点力偶可按如下系 数分配、传递到杆端数分配、传递到杆端 )34/(4 211 iii CA CACA MM CBCB MM 即即 )34/(3 212 iii CB 那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
3、那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？ M A B 1 l 2 l 111 /lEIi 222 /lEIi C 1 1 Z AB 1 i 2 i C 1 4i 2 3i 1 2i 0 ; 2/1 CBCA CC CBCBBCCACAAC CMMCMM ; 弯矩分配法基本思想弯矩分配法基本思想 F CACACA MMM F CBCBCB MMM 叠加得最终杆端弯矩为叠加得最终杆端弯矩为 为进一步推广，先引进为进一步推广，先引进 一些基本名词的定义。一些基本名词的定义。 P1 R C F CB M F CA M 位移法求解如图所示，位移法求解如图所示， 相当的相当的C点集中力偶点集中力偶M为为
4、 )( FF CBCA MMM 1 1 Z AB 1 i 2 i C 1 4i 2 3i 1 2i 11 r C 1 4i 2 3i A B 1 l 2 l 111 /lEIi 222 /lEIi C 1P F 2P F F ACCACAAC MCMM F BCCBCBBC MCMM 基本名词定义基本名词定义 转动刚度：转动刚度：AB杆杆仅当仅当A端产生单位转动端产生单位转动时，时， A端所施加的杆端弯矩，称为端所施加的杆端弯矩，称为AB杆杆A端的转动端的转动 刚度，记作刚度，记作SAB。 AB iS AB 4 i AB iS AB 3 i AB iS AB i A端一般称为近端（本端），端一
5、般称为近端（本端）， B端一般称为端一般称为 远端（它端）。远端（它端）。 对等直杆，由形常数可知对等直杆，由形常数可知SAB 只与只与B端的支撑条件有关。端的支撑条件有关。 三种基本单跨梁的三种基本单跨梁的 转动刚度分别为转动刚度分别为 不平衡力矩：不平衡力矩：结构无结点转角位移时，交汇结构无结点转角位移时，交汇 于于A结点各杆固端弯矩的代数和，称为结点各杆固端弯矩的代数和，称为A结点的结点的 不平衡力矩。不平衡力矩。 显然，显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于结点各杆的分配系数总和恒等于1。 分配系数：分配系数：结构交汇于结构交汇于A结点各杆的转动刚结点各杆的转动刚 度总和分子某杆该端的
6、转动刚度，称为该杆度总和分子某杆该端的转动刚度，称为该杆A 结点的分配系数。结点的分配系数。 n j Aj Ai Ai S S 1 它可由位移法三类杆件的载常数它可由位移法三类杆件的载常数 求得。求得。 例如交汇于例如交汇于A结点的结点的n杆中第杆中第i 杆杆A结点的分配系数为结点的分配系数为 AB 2/1 AB C i AB 0 AB C i AB 1 AB C i 分配力矩：分配力矩：将将A结点的不平衡力矩改变符号，结点的不平衡力矩改变符号， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆 端弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。端弯矩称为该点各杆的分配
7、力矩（分配弯矩）。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。显然，传递系数也仅与远端约束有关。 传递系数：传递系数：三类位移法基本杆件三类位移法基本杆件AB，当仅当仅 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作记作CAB 。 例如对位移法三类等直杆例如对位移法三类等直杆 传递力矩：传递力矩：将将A结点的分配力矩乘以传递系结点的分配力矩乘以传递系 数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力 矩（传递弯矩）。矩（传递弯矩）。 对于仅一个转动位
8、移的结构，应用上述名词，对于仅一个转动位移的结构，应用上述名词， 本质是位移法的求解也可看成是本质是位移法的求解也可看成是先固定结点，由先固定结点，由 固端弯矩获得结点不平衡力矩；固端弯矩获得结点不平衡力矩； 最终杆端弯矩：最终杆端弯矩：杆端固端弯矩、全部分配弯杆端固端弯矩、全部分配弯 矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端 弯矩。弯矩。 这种直接这种直接 求杆端弯矩，区段叠加作求杆端弯矩，区段叠加作M图的方法即为图的方法即为弯矩弯矩 分配法分配法。 然后用分配系然后用分配系 数求杆端分配弯矩；数求杆端分配弯矩； 接着用传递系数求传递弯接着用传递系数求
9、传递弯 矩；矩； 最后计算杆端最终杆端弯矩。最后计算杆端最终杆端弯矩。 弯矩分配法的物理概念弯矩分配法的物理概念 A B 1 l2 l 111 /lEIi 222 /lEIi C 1P F 2P F 单结点分配单结点分配 设有如图所示单结点设有如图所示单结点( (位位 移移) )结构。结构。 首先锁定结点使无位移。首先锁定结点使无位移。 由载常数可获得由载常数可获得AC、CB杆的固端弯矩，此时附杆的固端弯矩，此时附 加刚臂上产生不平衡力矩加刚臂上产生不平衡力矩 。 FF CBCA MM 放松结点放松结点( (反向加不平衡反向加不平衡 力矩力矩) )使产生实际结点位使产生实际结点位 移，此时可分
10、配和传递移，此时可分配和传递 计算分配和传递弯矩。计算分配和传递弯矩。 A B 1 l2 l 111 /lEIi 222 /lEIi C FF CBCA MM 因此因此 杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递 弯矩）相加得到，这时结果是精确解。弯矩）相加得到，这时结果是精确解。 最后累加固端、分配和传递得结果。最后累加固端、分配和传递得结果。 多结点多结点( (位移位移) )分配分配 对多结点对多结点( (位移位移) )结构，弯矩分配法的思路是：结构，弯矩分配法的思路是： 首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大
11、 的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该 结点使其达到结点使其达到“平衡平衡”( (包括分配和传递包括分配和传递) )。 接着接着 重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点， 如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到 可忽略。可忽略。 锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产 生实际结点位移，这就是位移法的结果。生实际结点位移，这就是位移法的结果。 分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡 力
12、矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。 由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一 种逐渐逼近精确解的近似方法。种逐渐逼近精确解的近似方法。 实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传 递递( (考试只进行二轮即可考试只进行二轮即可) )。 因为分配系数小于因为分配系数小于1，传递系数也小于，传递系数也小于1(因为定因为定 向支座处不分配向支座处不分配)，因此一轮分配、传递后，新，因此一轮分配、传递后，新 的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无的不平衡力矩一定比原来的小，理论上
13、经过无 限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以 获得问题的精确解。获得问题的精确解。 弯矩分配法举例弯矩分配法举例 例子：试求作图示连续梁的例子：试求作图示连续梁的M图。图。EI等于常数，等于常数， l1 1=6=6 m,m,l2 2=5=5 m m。（。（只计算二轮）只计算二轮） A B 1 l 2 l 3/ 1 EIi 5/ 2 EIi C P 2FP F D E 2 l 1 l 2 i 1 i 2/ 1 l P 5 . 1 FP 5 . 2 F P 5 . 2 F P 5 . 1 F 解：锁定解：锁定B、C、D三结点，由载常数可得图示三结点，由载
14、常数可得图示 固端弯矩。固端弯矩。 对此锁定结构，由形常数可求得分对此锁定结构，由形常数可求得分 配系数为：配系数为： 。375. 0,625. 0 BCBA 。5 . 0, 5 . 0 CDCB 。294. 0,706. 0 DEDC 返返 章章 首首 A B 5 . 0 CD E 5 . 05 . 01 706. 0294. 05 . 05 . 0625. 0375. 0 883. 0735. 0 469. 0 281. 0 938. 0 562. 0 765. 1735. 0 301. 0 301. 0 151. 0 151. 0 044. 0 054. 0107. 0044. 0094
15、. 0057. 0029. 0028. 0 041. 0 041. 0 656. 0 656. 0 94. 1 279. 3 721. 1 721. 1 595. 0 595. 0 将分配、传递系数如图标于结点和杆上，将分配、传递系数如图标于结点和杆上， A B 1 l 2 l 3/ 1 EIi 5/ 2 EIi C P 2FP F D E 2 l 1 l 2 i 1 i 2/ 1 l 279. 3 721. 1 595. 0 656. 0 94. 1)( P FM 5 . 1 5 . 15 . 2 5 . 2 )( P F 将固将固 端弯矩也标于图上。即可如图所示做弯矩分配端弯矩也标于图上。即可如图所示做弯矩分配
