1、线性代数 鲍亮 lbao 学习方法和手段 学习方法 数学的通用学习方法 线性代数自身的特点 学习手段 课堂“懂”：提问！ 课后“动”：作业！ 线性代数？ 数字化时代(Digital World) 计算机数学：图像显示与处理 游戏：矢量图变形 识别：人脸识别 学了又有什么用？ 基础课、大用场 数学思维训练： 概念定理性质新的结论 建模实际问题的数学建模 科学计算(模型求解)： 方程求解 运筹决策、最优化 一个实际应用 矩阵概念的引入矩阵概念的引入一、一、 矩阵的定义矩阵的定义二、二、 小节、思考题小节、思考题三、三、 1.1 矩阵 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxa
2、xaxa 2211 22222121 11212111 1. 线性方程组线性方程组 的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n ,ibi21 常数项常数项 一、矩阵概念的引入 nnnnn n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 对线性方程组的对线性方程组的 研究可转化为对研究可转化为对 这张表的研究这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四 城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的 航
3、班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班, 则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B. A B C D 四城市间的航班图情况四城市间的航班图情况 常用表格来表示常用表格来表示: 发站发站 到站到站 ABCD A B C D 其中其中 表示有航班表示有航班. 为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成 1,空白地方填上空白地方填上 0, 就得到一个数表就得到一个数表: 11 11 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况. ABCD A B C D 二、矩阵的定义 由由 个数个数 排成的排成的 行行
4、列的数表列的数表 nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为称为 维维矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. . nm nm 记作记作 mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 简记为简记为 . ij nm ijnm aaAA 元元 的的矩阵矩阵 nm A , .,简称为元简称为元的元素的元素个数称为个数称为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. 例如例如 3469 5301 是一个是一个
5、实矩阵实矩阵, 42 22 222 2613 i i 是一个是一个 复矩阵复矩阵, 33 4 2 1 是一个是一个 矩阵矩阵, 13 9532 是一个是一个 矩阵矩阵, 41 i 26 是一个是一个 复矩阵复矩阵. 11 例如例如 222 222 2613i 是一个是一个3 阶方阵阶方阵. 几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (2)(2)只有一行元素的矩阵只有一行元素的矩阵 , 21n aaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ). . n A方阵方阵. .也可记作也可记作 阶阶称为称为的矩阵的矩阵行数和列数都等于行数和列数都等于nAn,)1( 主对角线主对角线 副对角线副对角线 只有一列
6、元素的矩阵只有一列元素的矩阵 , 2 1 n a a a B 称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量、向量列向量、向量).). 全为零的方阵称为全为零的方阵称为上三角矩阵上三角矩阵。 即主对角线以下元素即主对角线以下元素形如形如）（3 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 O 称为称为对角对角 矩阵矩阵( (或或对角阵对角阵）. （4） n 00 00 00 2 1 形如形如 的方阵的方阵, , O O 不全为不全为0 全为零的方阵称为全为零的方阵称为下三角矩阵下三角矩阵。 即主对角线以上元素即主对角线以上元素形如形如 nnnn aaa aa a 21 2221 11 0
7、 00 O 既是上三角又是下三角矩阵的方阵，即既是上三角又是下三角矩阵的方阵，即 记作记作 ., 21n diagA (5) 数量矩阵（标量矩阵）数量矩阵（标量矩阵） 100 010 001 n II 称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. .有时也记作有时也记作E E. . O O 全为全为1 矩阵矩阵称对角线元相等的对角称对角线元相等的对角 为为数量矩阵数量矩阵或或标量阵标量阵。 a a a 000 000 000 当当 时，记作时，记作 1 a （6）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵， 零零 矩阵记作矩阵记作 或或 . . nm nm O O 注意注意 .0
8、000“ 0000 0000 0000 0000 不同阶数的零矩阵是不“相等”的不同阶数的零矩阵是不“相等”的. 例如例如 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同维矩阵同维矩阵,并且并且 对应元素相等对应元素相等,即即 ijij bBaA与 , 2 , 1;, 2 , 1njmiba ijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作 BA与与.BA 例如例如 93 48 314 73 65 21 与与 为为同维矩阵同维矩阵. 同维矩阵同维矩阵与与矩阵相等矩阵相等的概念的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同同 维矩阵维矩阵. 例例1 设设 , 1 31 , 213 321 zy x BA .,zyxBA求求已知已知 解解 ,BA . 2, 3, 2 zyx 三、小结 (1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 列的一个数表列的一个数表行行nm (2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵; 单位矩阵单位矩阵; ; 对角矩阵对角矩阵; 零矩阵零矩阵. . 100 010 001 , 2 1 n a a a B , 21n aaaA n 00 00 00 2 1 思考题 ？是否等于数是否等于数一维矩阵一维矩阵11 思考题解答 是的！是的！
