1、5.5 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 一、惯性定理一、惯性定理 的概念的概念二、正（负）定二次型二、正（负）定二次型 的判别的判别三、正（负）定二次型三、正（负）定二次型 四、小节、思考题四、小节、思考题 一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为下面我们
2、限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究 二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质 . , ), 2, 1( ,0 ,0 , , )( 1 11 22 22 2 11 22 22 2 11 （负）数的个数相等（负）数的个数相等 中正中正中正（负）数的个数与中正（负）数的个数与则则 及及 使使 及及 有两个实的可逆变换有两个实的可逆变换为为 它的秩它的秩设有实二次型设有实二次型惯性定理惯性定理定理定理 rr irr irr T kk ri zzzf kykykykf PzxCyx r Axxf 称为称为且标准形中正系数个数且标准形中正系数个数正惯性指数，正惯性指数， 负系数个数称
3、为负系数个数称为负惯性指数，负惯性指数，. ，分别记作分别记作 为二次型的为二次型的常称形如下式的标准形常称形如下式的标准形 22 1 22 1rpp yyyyf 规范形：规范形： ,0001111可以没有）可以没有）（，它的系数分别为它的系数分别为 .的规范形是唯一的的规范形是唯一的在这个顺序下，二次型在这个顺序下，二次型 数全正或全负的情形，数全正或全负的情形，比较常用的二次型是系比较常用的二次型是系 为此，我们引出为此，我们引出 二、正(负)定二次型的概念 , ,)( 0x Axxxf1 T 如果对任何设有实二次型定义 为为实对称矩阵实对称矩阵 是正定二次型，对应的是正定二次型，对应的则
4、称则称 A fxf, 0)()1( .正定矩阵正定矩阵 为为实对称矩阵实对称矩阵 是负定二次型，对应的是负定二次型，对应的则称则称 A fxf, 0)()2( .负定矩阵负定矩阵 222 164),(zyxzyxf 为为正定二次型正定二次型 2 2 2 121 3),(xxxxf 为为负定二次型负定二次型 例如例如 .,)()(为不定型二次型则称可正可负fxf5 2 2 2 121 3),(xxxxf 为为不定型二次型不定型二次型 . )()( 阵实对称矩阵为半正定矩 二次型，对应的则称此二次型为半正定0xf3 . )()( 阵实对称矩阵为半负定矩 二次型，对应的则称此二次型为半负定0xf4
5、证明证明 使使设可逆变换设可逆变换Cyx . 2 1 i n i i ykCyfxf 充分性充分性 ., 10nik i 设设 , 0 x任给任给 , 0 1 xCy则则 故故 . 0 2 1 i n i i ykxf 三、正(负)定二次型的判别 . 2 n Axxf T 等于变量个数等于变量个数件是它的正惯性指数件是它的正惯性指数 为正定的充分必要条为正定的充分必要条实二次型实二次型定理定理 必要性（必要性（反证法） , 0 s k假设有假设有 , )(时时单位坐标向量单位坐标向量则当则当 s ey . 0 2 si n i is kykCef , 0 s Cex显然显然.为正定相矛盾为正定
6、相矛盾这与这与 f 故故 ., 10niki 推论推论 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正 AA 说明说明.考虑其正定性考虑其正定性只有实对称矩阵，才能只有实对称矩阵，才能 1例例,取何值时取何值时试问试问k )(82424 2 3 2 2 2 132 2 331 2 221 2 1 xxxkxxxxxxxxxf .为正定二次型为正定二次型 解解 242 422 221 A ，可求出三个特征值为，可求出三个特征值为令令7220 IA 化为标准形化为标准形次型次型且必存在正交变换将二且必存在正交变换将二f 2 3 2 2 2 1 72
7、2yyyq 32 2 331 2 221 2 1 82424xxxxxxxxxq 二次型二次型 化为标准形化为标准形，知该正交变换将，知该正交变换将 向量长度的不变性，即向量长度的不变性，即同时，由正交变换保持同时，由正交变换保持 fyx i i i i 3 1 2 3 1 2 2 3 2 2 2 1 722yyyf )( 2 3 2 2 2 1 yyyk 2 3 2 2 2 1 )7()2()2(ykykyk ，必有，必有理理为使二次型正定，按定为使二次型正定，按定2 07 02 02 k k k 即即 7k 定理定理3 .,PPAP A T 使使矩阵矩阵 可逆可逆正定的充要条件是存在正定的
8、充要条件是存在实对称矩阵实对称矩阵 证明证明 充分性充分性 必有必有可逆，故对任意可逆，故对任意且且因为因为, 0, xPPPA T 于是有于是有, 0 Px 0)( 2 PxPxPxPxPxAxxf TTTT .正定正定或矩阵或矩阵故得故得Af 必要性必要性 使使在正交阵在正交阵是实对称矩阵，故必存是实对称矩阵，故必存因为因为,QA T QQA 即即 AQQT 即有即有正定，故正定，故又因又因其中其中, 0., 1 in Adiag ., 1, 2 ni ii 则显然成立则显然成立若记矩阵若记矩阵, 1n diagT .TT 写成写成 T QQA 于是可将于是可将 )()( TTTTT TQ
9、TQQTTQQQA .则定理得证则定理得证若记若记 T TQP 说明说明正定正定称矩阵称矩阵的换个说法是：“实对的换个说法是：“实对定理定理A3 ”合同于单位矩阵合同于单位矩阵的充要条件是的充要条件是. IA 2例例为正定矩阵，为正定矩阵，若若A. 0 ii a则其对角线元则其对角线元 证明证明，知存在可，知存在可正定，所以，由定理正定，所以，由定理因为因为3A 由由两端矩阵的对角线元，两端矩阵的对角线元， 都是非零向量，比较都是非零向量，比较列向量列向量 的每个的每个可逆，所以可逆，所以由于由于使成立使成立逆阵逆阵 PPAppp PPPPAP T n T , , 21 0 2 ii T ii
10、i pppa n T n T T n T n T T T pp pp pp ppp p p p PP # * , 22 11 21 2 1 即得即得 正定矩阵具有以下一些简单性质：正定矩阵具有以下一些简单性质： ; ,A, . 1 1T 定矩阵定矩阵 均为正均为正则则为正定实对称阵为正定实对称阵设设 AAA . , . 2 矩阵矩阵 也是正定也是正定则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若BAnBA , 0 11 a , 0 2221 1211 aa aa , ; 0 1 111 nnn n aa aa 这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理 定理定理4 4 对称矩阵对称矩阵 为正定的充
11、分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式为正，即的各阶顺序主子式为正，即 AA , 2211 aakA个对角线元个对角线元的前的前称对角线元是称对角线元是定义定义2 2 阶阶的的阶子式为矩阵阶子式为矩阵的的kAkakk,顺序主子式顺序主子式 .（或前主子式）（或前主子式） 从而，有从而，有 ., 2 , 1, 01 1 111 nk aa aa kkk k k 推论推论 对称矩阵对称矩阵A A为负定的充分必要条件是：奇为负定的充分必要条件是：奇 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 说明说明 , 0 11 a , 0 2221 1
12、211 aa aa , ; 0 1 111 nnn n aa aa 而应是负定的充要条件绝不是矩阵.A 例例3 3 判别二次型判别二次型 31 2 3 2 2 2 1321 4542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定. 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 , 502 040 202 A 用用特征值判别法特征值判别法. 0 IA 令令,. 6, 4, 1 321 均为正数均为正数 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型. 即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵， A 例例4 4 判别二次型判别二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 48455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定
13、是否正定. 解解 的矩阵为的矩阵为 321 ,xxxf, 524 212 425 A 它的顺序主子式它的顺序主子式 , 05 , 01 12 25 , 01 524 212 425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的. 解解 的矩阵为的矩阵为f , 01 11 a , 04 4 1 2 2221 1211 t t t aa aa 正，由正，由的各阶顺序主子式均为的各阶顺序主子式均为，应有，应有根据定理根据定理A4 , 201 04 11 t t A 例例5 5 若二次型若二次型 3121 2 3 2 2 2 1 2224xxxtxxxxf 正定，求参数正定，求参数 t 应满足的条件应满足的条件. 042 201 04 11 2 tt t A 解得解得 22 t 2. 正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法： (1)(1)定义法定义法； (3)(3)顺序主子式判别法；顺序主子式判别法； (2)(2)特征值判别法特征值判别法. 四、小结 1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系 3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大 家自己推导家自己推导
