1、四、四、 多自由度体系的振动多自由度体系的振动 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 振型的正交性振型的正交性 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法 结论与讨论结论与讨论 虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但 为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度 进行分析。进行分析。 在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由 度体系的运动方程，理论上阻尼矩阵度体
2、系的运动方程，理论上阻尼矩阵C=Cij，Cij表表 示示j自由度单位速度引起的自由度单位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但自由度方向的阻尼力。但 实际上实际上Cij一般是确定不了的。一般是确定不了的。 目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频 率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假 定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型 分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体现了，分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体现了， 化未知问题为已知问题的
3、研究方法和思想。化未知问题为已知问题的研究方法和思想。 对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要 用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。 因此，首先介绍无阻尼自由振动。因此，首先介绍无阻尼自由振动。 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 多自由度运动方程为多自由度运动方程为 )(tPuKuCuM 无阻尼自由振动运动方程为无阻尼自由振动运动方程为 0 uKuM 设其解为设其解为Asin t ，代入运动方程可得，代入运动方程可得 (- 2M+K) Asin t=0 为使系统有非零的
4、振动解答，必须为使系统有非零的振动解答，必须 - 2M+K =0 （1） 或者或者 (- 2M+K) A=0 （2） 上述两式分别称为频率和特征方程。上述两式分别称为频率和特征方程。 由式（由式（1）展开可得双）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结次方程，对一般建筑工程结 构，求解可得到构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统个实的不等的正根，它们即为系统 的频率。但一般更多是从式（的频率。但一般更多是从式（2）出发。）出发。 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 式（式（2）可改写为）可改写为 2MA=KA （3） 数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对数学上称
5、作广义特征值问题。为了将其化为标准实对 称矩阵特征值问题，需作如下改造：称矩阵特征值问题，需作如下改造： 设设 M=(M1/2)TM1/2 （4） M1/2A=X 则则 A=(M1/2)-1X （5） 代回式（代回式（3）得）得 2(M1/2)TX=K(M1/2)-1X （6） 方程两边再左乘方程两边再左乘(M1/2)T-1，则，则 2X=(M1/2)-1TK(M1/2)-1X （7） 记记 (M1/2)-1TK(M1/2)-1=D （8） 由于由于K是对称矩阵，从式（是对称矩阵，从式（8）可见）可见D是对称矩阵。是对称矩阵。 将式（将式（8）代入式（）代入式（7）可得）可得 2X=DX （9
6、） 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 式式 2X=DX （9） 就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代 数所介绍的特征值问题解法就可求得数所介绍的特征值问题解法就可求得D矩阵的特征矩阵的特征 对对 2，X，再由式（，再由式（5）可求得广义特征问题的振）可求得广义特征问题的振 型矩阵型矩阵A。 由数学可知，对建筑工程一般问题，从由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征阶的特征 方程（方程（3）可求得）可求得n个特征对，也即有个特征对，也即有n个频率个频率 i以及以及 和和 i对应的振型对应的振型Ai。按。按 i从小到大
7、排列可得结构的频从小到大排列可得结构的频 谱，谱， 1和和A1分别称为第一频率（基本频率或基频）、分别称为第一频率（基本频率或基频）、 第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。 有了任意有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自自由度问题自由振动解法、结论，两自 由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行 分析。分析。 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以 用刚度法建立，也可以用柔度法建
8、立。因此，教材上用刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上 分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频 率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、 质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也 没关系，关键是记住如下一些基本概念。没关系，关键是记住如下一些基本概念。 1）在无阻尼自由振动下）在无阻尼自由振动下-M =Ku，也即惯性力，也即惯性力 和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅 为为A
9、，式（，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方 程得到。程得到。 2）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特 征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建 立立A= 2fMA （10） 3）拿上具体问题后，关键是正确确定）拿上具体问题后，关键是正确确定M、K或或f， 有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3） 或式（或式（10）。）。 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 4）两自由度问题）两自由度问题
10、n=2。展开特征方程将得到双二次频。展开特征方程将得到双二次频 率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率 方程即可得频率方程即可得频率 1和和 2。 5）将频率）将频率 1和和 2代回特征方程只能得到和某频率对代回特征方程只能得到和某频率对 应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以 进行“规格化”进行“规格化”,一般使最大值等于一般使最大值等于1，即可得振型。，即可得振型。 6）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加 得到，振幅、相位由质量的初
11、位移、初速度（得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自个自 由度有由度有2n个初始条件）来确定。个初始条件）来确定。 综上可见，有了综上可见，有了M、K或或f，剩余工作主要是数，剩余工作主要是数 学运算了。但要达到熟练掌握，必须到学运算了。但要达到熟练掌握，必须到SMCAI里多看里多看 一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。 4.2 振型的正交性振型的正交性 因为因为 i2MAi=KAi、 j2MAj=KAj前一式前一式 左乘左乘AjT、后一式左乘、后一式左乘AiT，再将两式相减，由于质，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得量
12、、刚度的对称性，可得 ( i2- j2)AjTMAi=0 (11) 由此可得由此可得 AjTMAi=0 (12) 上式乘上式乘 j2，考虑到，考虑到 j2MAj物理意义是第物理意义是第j振型对应振型对应 的惯性力幅值，因此式（的惯性力幅值，因此式（12）表明第）表明第j振型对应的惯性振型对应的惯性 力在第力在第i振型位移上不做功。振型位移上不做功。 从式（从式（12）和特征方程立即可证）和特征方程立即可证 AjTKAi=0 (13) 它表明第它表明第j振型对应的弹性恢复力在第振型对应的弹性恢复力在第i振型位移上不振型位移上不 做功。做功。 4.2 振型的正交性振型的正交性 式式(12)和式和式
13、(13)从数学上说，是不同振型对质量、从数学上说，是不同振型对质量、 刚度加权正交。也即振型具有正交性。刚度加权正交。也即振型具有正交性。 从第从第i振型幅值方程，立即可得振型幅值方程，立即可得 i2AiTMAi= AiTKAi (14) 记记 Mi*=AiTMAi (15) 称作第称作第i振型广义质量，记振型广义质量，记 Ki*=AiTKAi (16) 称作第称作第i振型广义刚度。则振型广义刚度。则 i2=Ki*/Mi* (17) 也即第也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和 质量来求。质量来求。 式式(12)和和(13)是是最基本、最常用的
14、正交关系最基本、最常用的正交关系。 4.2 振型的正交性振型的正交性 因为因为 i2MAi=KAi (a) 两边同时左乘两边同时左乘AjTKM-1，则，则 i2AjTKM-1MAi= = i2AjTK Ai= i2AjTKM-1KAi=0 (b) 式式(a)两边同时左乘两边同时左乘AjTKM-1KM-1，则可证，则可证 i2AjTKM-1KAi = i2AjTK(M-1K)2Ai=0 (c) 按此思路继续左乘按此思路继续左乘,即可证明即可证明 AjTK(M-1K)nAi=0 (18) 类似地，请自行证明类似地，请自行证明 AjTM(K-1M)nAi=0 (19) 式式(18)和式和式(19)中
15、中n是正整数。它们还可合并为一个式是正整数。它们还可合并为一个式 子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。 4.2 振型的正交性振型的正交性 式式(12)和和(13) 或式或式(18)和和(19)正交性在多自由度分正交性在多自由度分 析中有极重要的作用析中有极重要的作用，应该深刻理解。，应该深刻理解。 利用正交性可作如下工作：利用正交性可作如下工作： 1）在正确确定）在正确确定K、M前提下，可用它校核振型计算前提下，可用它校核振型计算 的正确性。的正确性。 2）已知振型、）已知振型、 K、M的条件下，可用它求振型对的条件下，可用它求振型对 应
16、的频率。应的频率。 3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如 有位移有位移y，可设，可设y= ciAi ，ci 为组合系数。等式两为组合系数。等式两 边同时左乘边同时左乘AjTM，根据正交性则有，根据正交性则有 AjTMy=cjMj* (d) 由此可求出组合系数由此可求出组合系数cj，代回代回y= ciAi即可得按振型即可得按振型 分解的结果。分解的结果。 4.2 振型的正交性振型的正交性 4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实 际上，只要设际上，只要设u(t)= yi(t)Ai ，代入运动方
17、程可得，代入运动方程可得 M i(t)Ai +K yi(t)Ai=0 (e) 方程两边同时左乘方程两边同时左乘AjT，根据正交性则有，根据正交性则有 Mj*j(t)+Kj*yi(t)=0 (20) 从式从式(20)可得可得(根据单自由度自由振动结果根据单自由度自由振动结果) yi(t)=aisin( it+ci) (f) 代回多自由度所假设的解，即可得代回多自由度所假设的解，即可得 u(t)= aisin( it+ci)Ai (21) 5）式）式(21)中的待定常数中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如可由初始条件确定。如 何确定请自行考虑。何确定请自行考虑。 6）正交性还是受迫振动分析的
18、基础。）正交性还是受迫振动分析的基础。 4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 4.3.1 多自由度受迫振动的振型分解法多自由度受迫振动的振型分解法 多自由度任意荷载下运动方程为多自由度任意荷载下运动方程为 )(tPuKuCuM 象上节象上节4）一样，设）一样，设u= yi(t)Ai ，也即位移分解成各，也即位移分解成各 振型的组合，组合系数振型的组合，组合系数yi(t)称称广义坐标广义坐标。则。则 M i(t)Ai +C i(t)Ai +K yi(t)Ai=P(t) (a) 如果阻尼矩阵对振型不正交，也即如果阻尼矩阵对振型不正交，也即 AjTCAi 0 (b) 则式则式(a)将是联列的
19、微分方程组，求解将是很困难的。将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。 为此，通常引入正交阻尼假设，也称为此，通常引入正交阻尼假设，也称Rayleigh(瑞利瑞利) 比例阻尼比例阻尼如下如下 C= 0M+ 1K (22) 也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比， 0比比 1可用可用 振型正交性由阻尼比振型正交性由阻尼比 i， j和频率和频率 i， j确定确定(作业作业)。 4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 在正交阻尼假设下，在正交阻尼假设下，AiTCAi=Ci* (23) 式式(a)两边同时左乘两边同时左乘AiT，则可得，则可得 Mi*i(t) +C
20、i* i(t)+Ki*yi(t)=AiTP(t) (24) 其中其中Mi*、Ci*、Ki*分别称为第分别称为第i振型振型广义质量、广义阻广义质量、广义阻 尼、广义刚度尼、广义刚度。再记第。再记第i振型振型广义荷载广义荷载为为 AiTP(t)=Pi*(t) (25) 则式则式(24)是广义坐标是广义坐标yi(t)的单自由度方程的单自由度方程 Mi*i(t) +Ci* i(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t) (26) 利用利用Duhamel积分可求出式积分可求出式(26)的解答为的解答为 t ii iid t i Pth teAty ii 0 * i )d()( ),sin()( 代回代回u=
21、yi(t)Ai ，即可得多自由度受迫振动解答。，即可得多自由度受迫振动解答。 脉响函数脉响函数 自由振动自由振动 4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 如果如果 P(t)=Pf(t) (27) 则则 Pi*(t)=AiTPf(t)= Pi*f(t) (c) 记记 i =AiTP/Mi*=Pi*/Mi* (28) 称为第称为第i振型的振型的振型参与系数振型参与系数。则可得。则可得 Mi*i(t) +Ci* i(t)+Ki*yi(t)= i Mi*f(t) (29) 或或 i(t) +2 i i i(t)+ i2yi(t)= if(t) (30) 在零初始条件下，广义坐标为在零初始条件下，
22、广义坐标为 代回代回u= yi(t)Ai ，即可得，即可得u= i i(t)Ai 。 i(t)称为称为 第第i振型的振型的广义位移广义位移。 )()d()()( 0 tfthty ii t iii (31) )(,sin , 1 )( )( teth id t id i ii (32) 4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 4.3.2 简谐荷载下的受迫振动反应简谐荷载下的受迫振动反应 设动荷载（转动机器引起）为设动荷载（转动机器引起）为 P(t)=Psin t (33) 则由式则由式(28)可求得各振型的振型参与系数可求得各振型的振型参与系数 i ，当只讨，当只讨 论稳态振动，并且认为
23、论稳态振动，并且认为 i= i,d (忽略阻尼对频率的影忽略阻尼对频率的影 响响)时，根据单自由度所得结果，广义位移为时，根据单自由度所得结果，广义位移为 i(t)= isin( it- i)/ i2 (34) 式式(34)中中 i为第为第i振型动力系数振型动力系数 i=(1- i2)2+4 i2 i2-1/2 (35) 其中其中 i为第为第i振型频率比振型频率比( i= / i)， i为第为第i振型相位角振型相位角 tg i=2 i / i(1- i2) (36) 将式将式(34)代回代回 u= i i(t)Ai ， 得得 u(t)= i isin( it- i)/ i2Ai (37) 无阻
24、尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上 述结果中令述结果中令 i=0得到。得到。 4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤简谐荷载受迫振动反应分析步骤 当动荷载为当动荷载为 Psin t或或 Pcos t 时，多自由度系时，多自由度系 统稳态反应分析，可按如下步骤进行统稳态反应分析，可按如下步骤进行 1）确定系统质量）确定系统质量M、刚度、刚度K（或柔度（或柔度f）矩阵。）矩阵。 2）求无阻尼自由振动的振型）求无阻尼自由振动的振型Ai 、频率、频率 i 。 3）用阻尼比）用阻尼比 1, 2和频率和频率
25、1, 2求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的 0和和 1 。 4）求）求i振型振型参与系数振型振型参与系数 i=AiTP/AiTMAi 。 5）求）求i振型阻尼比振型阻尼比 i =1/2( 0/ i+ 1 i) 6）求）求i振型动力系数振型动力系数 i=(1- i2)2+4 i2 i2-1/2 。 7）求）求i振型相位角振型相位角 i=arctg2 i / i(1- i2)。 8）求）求i振型广义位移振型广义位移 i(t)= isin( it- i)/ i2。 9）将各振型广义位移代回）将各振型广义位移代回u= i i(t)Ai ，则得最终，则得最终 结果结果 u(t)= i isin( it- i)/
26、i2Ai (37) 4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 4.4.1 基本原理基本原理 对动力问题，设单元位移场仍表示成对动力问题，设单元位移场仍表示成d=Nde， 只是现在只是现在d=d(x,t)，de=d(t)。 设杆单元的密度为设杆单元的密度为 ，将微段惯性力将微段惯性力- aAdx作为作为 体积力，则这一单元荷载的总虚功为体积力，则这一单元荷载的总虚功为 e l e l dANNd Ad t d dx dx)( 0 T T 0 T 2 2 (38) 引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵me dx 0 T ANNm l e (39) 4.4 杆系结构有限元动力分析杆系
27、结构有限元动力分析 由式由式(39)代入形函数并积分，对质量均匀分布的平代入形函数并积分，对质量均匀分布的平 面弯曲单元，其单元一致质量矩阵面弯曲单元，其单元一致质量矩阵me为为 2 2 22 422313 221561354 313422 135422156 420 llll ll llll ll Al m e (40) 作业：试求拉压杆单元的一致质量矩阵作业：试求拉压杆单元的一致质量矩阵k。 4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 当在无阻尼情况下，用虚位移原理进行单元分析可当在无阻尼情况下，用虚位移原理进行单元分析可 得单元刚度方程得单元刚度方程 （注意：现在的分析是对单元
28、局部坐标系的）（注意：现在的分析是对单元局部坐标系的） 由此“单元刚度方程”出发，经坐标转换、整体集由此“单元刚度方程”出发，经坐标转换、整体集 装（定位向量“对号入座”）后，可得有限元所建立装（定位向量“对号入座”）后，可得有限元所建立 的运动方程的运动方程 e eqeeeee tPFdkdm)( (41) )(tRKM (42) 如果要考虑阻尼，则可利用瑞利阻尼，由结构一致如果要考虑阻尼，则可利用瑞利阻尼，由结构一致 质量矩阵质量矩阵M和结构刚度矩阵和结构刚度矩阵K来建立结构阻尼矩阵来建立结构阻尼矩阵 C。 4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 4.4.2 几点说明几点说明
29、 1）以单元上无荷载作用，仅产生单位位移的形函数）以单元上无荷载作用，仅产生单位位移的形函数 作为单元位移场，这是常用的一种近似处理。作为单元位移场，这是常用的一种近似处理。 2）结构一致质量矩阵和结构刚度矩阵非零元素分布）结构一致质量矩阵和结构刚度矩阵非零元素分布 一样。一样。 3）Clough教授曾经指出，对于框架结构，将杆件一教授曾经指出，对于框架结构，将杆件一 半质量集中在杆端，用集中质量法计算不仅在处理后半质量集中在杆端，用集中质量法计算不仅在处理后 可减少未知数个数（自由度），而且往往精度更好。可减少未知数个数（自由度），而且往往精度更好。 4）当采用集中质量法时，）当采用集中质量
30、法时，M中相应转动自由度的对中相应转动自由度的对 角线元素（转动惯量）为零，假设位移编码将转动自角线元素（转动惯量）为零，假设位移编码将转动自 由度集中在最后编，则无阻尼运动方程分块形式为由度集中在最后编，则无阻尼运动方程分块形式为 M1 +K11u+K12 =R1 K21u+K22 =R2 由此消去由此消去 ，可得只有线位移自由度的方程。，可得只有线位移自由度的方程。 4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 4.4.2 几点说明几点说明 5）如果分析时用集中质量法且不考虑轴向变形，则）如果分析时用集中质量法且不考虑轴向变形，则 集装后最终质量矩阵是每层质量对角排列的形式。这集装
31、后最终质量矩阵是每层质量对角排列的形式。这 是目前杆系模型的常用计算方案。是目前杆系模型的常用计算方案。 6）对于上述杆系模型的计算程序，质量矩阵很简单。）对于上述杆系模型的计算程序，质量矩阵很简单。 但是集装形成刚度矩阵时，要做但是集装形成刚度矩阵时，要做4）中所述的“静力）中所述的“静力 缩聚”。当缩聚”。当R2=0时，时，K1=K11-K12K22-1K21， 运动方程为运动方程为 M1 +K1u=R1 (43) 自由度数等于框架的层数。自由度数等于框架的层数。 7）本节基本原理是对杆系结构进行说明的，象计算）本节基本原理是对杆系结构进行说明的，象计算 结构力学力里一样，思路、方法也可用
32、于其他位移有结构力学力里一样，思路、方法也可用于其他位移有 限元动力分析。限元动力分析。 8）程序）程序Vibra可用来计算杆系结构的自振特性等等，可用来计算杆系结构的自振特性等等， 请大家使用。请大家使用。 4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法 4.5.1 多自由度的线加速度法多自由度的线加速度法 在在3.3节介绍了单自由度线加速度法，从运动方程节介绍了单自由度线加速度法，从运动方程 的相似性的相似性 m +c +ku=P(t) M +C +Ku=P(t) 显然在显然在0, t时间间隔内假设加速度线性变化时间间隔内假设加速度线性变化,则将则将3.3 节节m,c,k,P换成换成M、
33、C、K、P(t)，即可得到多自，即可得到多自 由度线加速度法的等效刚度和等效荷载。由度线加速度法的等效刚度和等效荷载。 数值积分能做线性、非线性时程分析，对非正交阻数值积分能做线性、非线性时程分析，对非正交阻 尼矩阵也能求解。重要、高层结构要用时程分析。尼矩阵也能求解。重要、高层结构要用时程分析。 4.5.2 多自由度的多自由度的Wilson- 法法 线加速度法要求线加速度法要求 t小于系统最短周期的小于系统最短周期的1/10，当自，当自 由度很多时频率将很高周期很短，这一要求使计算很由度很多时频率将很高周期很短，这一要求使计算很 费时间。而且进一步数学分析表明它是条件稳定的。费时间。而且进一
34、步数学分析表明它是条件稳定的。 4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法 Wilson提出，假设提出，假设 0,t加速度线性变化加速度线性变化,仿线仿线 加速度法进行推导加速度法进行推导,可得可得 K*= a0M+a1C +K (44) P(t+t)*=P(t)+ (P(t+ t)-P(t)+ +M(a0u(t)+a2 (t)+2 (t)+ +C(a1u(t)+2 (t)+a3 (t) (45) K*u(t+t)=P(t+t)* (46) 由式由式(46)可解出可解出u(t+t)，进一步可以求的，进一步可以求的t+ t时刻时刻 的状态向量。的状态向量。 4.5.3 Wilson- 法的
35、步骤法的步骤 1）形成系统）形成系统M、C、K； 2）确定初始状态向量）确定初始状态向量u(0)、 (0)、 (0)； 3）确定）确定 (一般为一般为1.4)和和 t;按以下公式计算常数按以下公式计算常数 4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法 a0=6/(t)2; a1=3/(t); a2=2a1; a3=t/2; a4=a0/ ; a5=-a2/ ; a6=1-3/ ; a7= t/2; a8= t2/6 (47) 4）按式）按式(44)计算等效刚度；计算等效刚度； 5）对等效刚度进行）对等效刚度进行LDLT 分解，获得分解，获得D和和L； 6）按式）按式(45)计算等效荷载；计
36、算等效荷载； 7）用线性方程组的）用线性方程组的LDLT法解法解u(t+t)； 8）按以下公式计算）按以下公式计算t+ t时刻的状态向量时刻的状态向量 (t+ t)=a4(u(t+t)-u(t)+a5 (t)+a6 (t) (t+ t)= (t)+ a7( (t+ t)+ (t) (48) u(t+ t)=u(t)+ t (t)+a8( (t+ t)+2 (t) 9）按）按6）8）逐步计算，求整个时程的反应。）逐步计算，求整个时程的反应。 4.5.4 Wilson- 法的几点说明法的几点说明 1）这是无条件稳定的算法；）这是无条件稳定的算法； 4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法
37、2）用这种方法会带来附加的阻尼（算法阻尼），使）用这种方法会带来附加的阻尼（算法阻尼），使 频率减少，周期增长。频率减少，周期增长。 3）当）当 t太大时，有所谓“超越现象”，导致发散。太大时，有所谓“超越现象”，导致发散。 4）其截断误差为）其截断误差为 t2量级，因此精度较低。提高精度量级，因此精度较低。提高精度 就得减小步长就得减小步长 t，这又将增加工作量。，这又将增加工作量。 4.5.5 其他数值逐步积分方法其他数值逐步积分方法 为了提高精度，国内外学者做了很多研究，目前常为了提高精度，国内外学者做了很多研究，目前常 用的算法除上述两种外，还有用的算法除上述两种外，还有Newmark
38、法、法、Helbot- Herbo法、法、Runge-Kutta法、法、Gill法、中心差分法、修法、中心差分法、修 正的正的Wilson- 法（孙焕纯）、四阶的差分格式（杨真法（孙焕纯）、四阶的差分格式（杨真 荣）等等，本人也曾提出一种“高阶单步法荣）等等，本人也曾提出一种“高阶单步法HSM”， 可用于线性、非线性、振动控制等计算。从截断误差可用于线性、非线性、振动控制等计算。从截断误差 来说，为来说，为 t5量级，无算法阻尼，无超越现象。计算程量级，无算法阻尼，无超越现象。计算程 序中包含了这种算法。序中包含了这种算法。 4.6 几点结论几点结论 无阻尼自由振动非常重要。它最终化为数学的特
39、征无阻尼自由振动非常重要。它最终化为数学的特征 值问题，可用对称正定矩阵的雅可比法求全部特征值值问题，可用对称正定矩阵的雅可比法求全部特征值 和特征向量。也可用其他方法求部分特征值、特征向和特征向量。也可用其他方法求部分特征值、特征向 量。如果数学中没学，搞清算法子程序的功能、接口量。如果数学中没学，搞清算法子程序的功能、接口 变量（入口、出口），可以作为“黑箱”调用。变量（入口、出口），可以作为“黑箱”调用。 振型正交性非常重要。利用正交性所能做的工作要振型正交性非常重要。利用正交性所能做的工作要 深刻理解。深刻理解。 振型分解法将多自由度复杂问题化成单自由度问题振型分解法将多自由度复杂问题
40、化成单自由度问题 来解决。要从中加深体会科学研究的思想方法。来解决。要从中加深体会科学研究的思想方法。 教材中通过举例，介绍了刚度不合理时的鞭击效应教材中通过举例，介绍了刚度不合理时的鞭击效应 和合理设计可消除振动的吸振器原理等应该深刻理解，和合理设计可消除振动的吸振器原理等应该深刻理解， 在将来工作中或避免或利用。在将来工作中或避免或利用。 阻尼是一个复杂的未能很好解决的问题，目前结构阻尼是一个复杂的未能很好解决的问题，目前结构 分析中常用的是比例阻尼（瑞利阻尼）。分析中常用的是比例阻尼（瑞利阻尼）。 4.6 几点结论几点结论 简谐荷载下，多自由度受迫振动的分析步骤应在理简谐荷载下，多自由度
41、受迫振动的分析步骤应在理 解原理基础上牢记。解原理基础上牢记。 随着计算机的普及，用有限元进行动力分析地位愈随着计算机的普及，用有限元进行动力分析地位愈 来愈高。应深刻理解有限元动力分析的基本原理，以来愈高。应深刻理解有限元动力分析的基本原理，以 便举一反三。便举一反三。 逐步积分数值方法多种多样，其基本思路都是设法逐步积分数值方法多种多样，其基本思路都是设法 尽可能精确地从前一个已知的（或前两步）状态向量尽可能精确地从前一个已知的（或前两步）状态向量 来求下一时刻的状态向量。应试从已知质量、刚度、来求下一时刻的状态向量。应试从已知质量、刚度、 阻尼矩阵和荷载的情况下（作已知数据输入），自行阻尼矩阵和荷载的情况下（作已知数据输入），自行 按所给的步骤编制按所给的步骤编制Wilson法程序。从而加深理解。法程序。从而加深理解。 本章所讨论的荷载都是确定性的荷载，实际结构受本章所讨论的荷载都是确定性的荷载，实际结构受 风、地震地面运动激励，荷载是不确定的。这就得借风、地震地面运动激励，荷载是不确定的。这就得借 助计算机进行多种已记载（称作样本）荷载的计算，助计算机进行多种已记载（称作样本）荷载的计算， 从而保证结构的可靠性。从而保证结构的可靠性。
