1、第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 5 5- -1 1 静矩和形心静矩和形心 5 5- -2 2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 5 5- -3 3 平行移轴公式平行移轴公式 5 5- -5 5 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 形心主惯性轴及形心主惯性轴及 形心主惯性矩形心主惯性矩 5 5- -4 4 转轴公式转轴公式 拉压正应力拉压正应力 A N dAA 扭转切应力扭转切应力 p I T A p dAI 2 应力的计算通常用要到构件截面的几何参数应力的计算通常用要到构件截面的几何参数 5 5- -1 1 静矩和形心静矩和形心 一、静矩一、静矩 o y z y
2、 z A ydA z S A zdA y S 量纲：长度三次方量纲：长度三次方 dA 微面积对z轴的静矩： ydA 微面积对y轴的静矩： zdA 整个平面图形对z、y两轴的静矩： 表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标图形面积乘以相应的形心坐标。 o y z C 形心形心 C C 的坐标：的坐标： dA zdA A S z y dA ydA A S y z z y zAS y yAS z 若 和 ，则 和 。可见，若图形对某一轴 的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过 形心，则图形对该轴的静矩等于零。 0 z S0 y S 0z0y 三、组合图形的静矩和
3、形心三、组合图形的静矩和形心 常见的一些组合图形常见的一些组合图形 整个图形对整个图形对某一轴的惯矩静矩某一轴的惯矩静矩等于各个简单图形等于各个简单图形 对对同一轴同一轴的静矩的代数和。的静矩的代数和。 P95 5-1 IIIIII AAAA , 11 m i ii m i yiy zASS n i i n i ii z A yA A S y 1 1 n i i n i ii y A zA A S z 1 1 , 11 m i ii m i ziz yASS 例例1 1 求图示半圆形的形心位置 z 由对称性，只需求 。 现取平行于y轴的狭长条作为微面积。 z zzRzyAd2dd 22 3 0
4、 22 3 2 d2dRzzRzAzS R A y 3 R4 R 2 1 R 3 2 A S z 2 3 y 5 5- -2 2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 o y z y z dA 一、惯性矩、惯性半径 A y 2dA z I A z2dA y I 量纲：长度四次方量纲：长度四次方 微面积对z轴的惯性矩： y2dA 微面积对y轴的惯性矩： z2dA 整个平面图形对z、y两轴的惯性矩： 工程上工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某经常把惯性矩写成图形面积与某 一长度平方的乘积一长度平方的乘积，即即 或改写为 2 yy AiI 2 zz AiI A I i y y A I i z
5、 z y i z i式中， 、 分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。 A AId 2 o y z y z dA 平面图形对坐标原 点的极惯性矩： zy AA AA II AdyAdz AdzyAdI 22 222 图形对于图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等之和，等 于它对该两轴交点的极惯性矩。于它对该两轴交点的极惯性矩。 二、惯性积 o y z y z dA 平面图形对y、z两 轴的惯性积： A yz AyIzd 量纲：长度四次方量纲：长度四次方 y z 两个坐标轴中两个坐标轴中只要有一个轴为图形只要有一个轴为图形 的对称轴，的对称轴，则图形对这
6、一对坐标轴则图形对这一对坐标轴 的惯性积等于零的惯性积等于零 例例2 2 求图示矩形的 zyyzyz i ,i ,I ,I ,I y z b h z dz c dAzI A y 2 2 2 3 3 h h z b 3 12 1 bh dAyI A z 23 12 1 hb A I i y y A I i z z h 6 3 b 6 3 A yz yzdAI0 思考： b h y y I 3 12 1 bh 例例3 3 求图示圆形的 zyyzyz i ,i ,I ,I ,I y z d A P dAI 2 4 32 1 d pzy III zy II zy II p I 2 1 4 64 1 d
7、 例例4 4 求圆环圆形的 yz I ,I 小大PPP III 44 32 1 32 1 dD )(D 44 1 32 1 D d 小大zzzy IIII )1 ( 64 1 44 D d D y z 三、组合图形的惯性矩及惯性积三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩组合图形对某坐标轴的惯性矩 等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图 形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图 形对同一对轴的惯性积之和。形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为 n i i yzyz n
8、 i i zz n i i yy II II II 1 1 1 式中， 、 、 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯 性矩和惯性积。 i y I i z I i yz I 5 5- -3 3 平行移轴公式平行移轴公式 yc zc yc zc O y z z y , yzyz III 解：解： , zzz C , yyy C dA y z C dAzI A y 2 dA)zz( A C 2 dAzdAzzdAz AA C A C 2 2 2 C y I y Sz2Az 2 C y IAz 2 0 等式左边新坐标系，右边老坐标系等式左边新坐标系，右边老坐标系 平行移轴公式平行移轴公式 AzII C
9、 yy 2 AyII C zz 2 注意：注意： （1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两 平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩 来换算; （2 2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, ,以对通过形心以对通过形心 轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小. . 例例5 5：T T字形截面字形截面, ,求其对形心轴的惯矩求其对形心轴的惯矩。 21 2211 AA zAzA z 02010020140 002010080020140 . m04670. 46 2 3 1 m1069714002004670080140020 12 1 .I C y 46423 2 m10434m020100467002010 12 1 I C y z 4666 m1012121043410697 .I C y
