1、dx x y dy y y y yx xy dy y xy xy dx x yx yx dx x x x dy X Y 2.6 虚功方程、结构势能虚功方程、结构势能 表达式表达式 外力虚功外力虚功 A T L T e dAdFdLdW dA T dx dx x dydxdxdydW yyxxi 微元体上外力在虚变形位移上作的虚功微元体上外力在虚变形位移上作的虚功 dy dy y xy dxdydydx yxxy dAdAdA xyxyyyxx dAW A T i dAdAdFdLd T AA T L T 虚功方程虚功方程: : ie WW 2.6 虚功方程、结构势能虚功方程、结构势能 表达式表
2、达式 外力势能外力势能 A T L T P dAdFdLdV)( * 应变能应变能 dAV A T e 2 1 ePP VVE * 结构势能结构势能: : A T L T T A dAdFdLddA 2 1 3.1 常应变三角形单元常应变三角形单元 3 平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析 x y 水坝水坝 单元编码单元编码 结点编码结点编码 结点位移编码结点位移编码 整体编码整体编码 一一. .离散化离散化 二二. .单元分析单元分析 x y ),( ii yxi ),( jj yxj ),( kk yxk 单元结点编码单元结点编码( (局部编码局部编码) )按逆时针顺序排序按逆时针顺序
3、排序 ),(kji v u i i i i u i v k u k v j v j u k j i e 单元结点位移向量单元结点位移向量 x y ),( ii yxi ),( jj yxj ),( kk yxk i u i v k u k v j v j u 二二. .单元分析单元分析 单元结点编码单元结点编码( (局部编码局部编码) )按逆时针顺序排序按逆时针顺序排序 ),(kji v u i i i k j i e 单元结点位移向量单元结点位移向量 k j i e F F F F 单元结点力向量单元结点力向量 ),(kji F F F yi xi i by bx b F F F bx F
4、by F 单元体积力向量单元体积力向量 sy sx s F F F 单元边界外力向量单元边界外力向量 x y ),( ii yxi ),( jj yxj ),( kk yxk i u i v k u k v j v j u 1.1.单元位移单元位移 代入上式代入上式, ,得得 yxyxv yxyxu 654 321 ),( ),( bx F by F 设单元内位移为设单元内位移为 kkk jjj iii uyxu uyxu uyxu ),( ),( ),( 在单元结点处有在单元结点处有 kkk jjj iii yxu yxu yxu 321 321 321 解方程解方程, ,得得 D D D
5、D D D 3 3 2 2 1 1 ; 其中其中 2 1 1 1 kk jj ii yx yx yx D 三角形面积 kkk jjj iii yxu yxu yxu D 1 kk jj ii yu yu yu D 1 1 1 2 kk jj ii ux ux ux D 1 1 1 3 1.1.单元位移单元位移 代入上式代入上式, ,得得 yxyxv yxyxu 654 321 ),( ),( 设单元内位移为设单元内位移为 kkk jjj iii uyxu uyxu uyxu ),( ),( ),( 在单元结点处有在单元结点处有 kkk jjj iii yxu yxu yxu 321 321 3
6、21 解方程解方程, ,得得 D D D D D D 3 3 2 2 1 1 ; 其中其中 2 1 1 1 kk jj ii yx yx yx D 三角形面积 kkk jjj iii yxu yxu yxu D 1 kk jj ii yu yu yu D 1 1 1 2 kk jj ii ux ux ux D 1 1 1 3 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 3 2 1 kkjjii kkjjii kkjjii ucucuc ububub uauaua 其中其中 整理后整理后, ,得得 jki kji jkkji xxc ikjiyyb yxyxa )( 1.1.单元位移单元位移 yu
7、cucucxubububuauaua yxyxu kkjjiikkjjiikkjjii )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ),( 321 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 3 2 1 kkjjii kkjjii kkjjii ucucuc ububub uauaua 其中其中 整理后整理后, ,得得 jki kji jkkji xxc ikjiyyb yxyxa )( kkjjii uNuNuN 其中其中 ),()( 2 1 kjiycxbaN iiii 同理同理 kkjjii vNvNvNyxv),( e k k j j i i kji kji v u v u v u NNN
8、 NNN v u d 000 000 1.1.单元位移单元位移 yucucucxubububuauaua yxyxu kkjjiikkjjiikkjjii )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ),( 321 kkjjii uNuNuN 其中其中 ),()( 2 1 kjiycxbaN iiii 同理同理 kkjjii vNvNvNyxv),( e k j i kji NININI e N N-形函数矩阵形函数矩阵 ),(yxNi -形函数形函数 e k k j j i i kji kji v u v u v u NNN NNN v u d 000 000 2.2.形函数的性质形函数的性质
9、 e k j i kji NININI e N N-形函数矩阵形函数矩阵 ),(yxNi -形函数形函数 若若 0; 1 kkjjii vuvuvu ),(),(yxNyxu i 则则 i j k 1 i u . . 0),(),(; 1),( kkijjiiii yxNyxNyxN . . 1),(),(),(yxNyxNyxN kji 若若 1 kji uuu kji NNNyxu),( 则则 2.2.形函数的性质形函数的性质 若若 0; 1 kkjjii vuvuvu ),(),(yxNyxu i 则则 i j k 1 i u . . 0),(),(; 1),( kkijjiiii yx
10、NyxNyxN . . 1),(),(),(yxNyxNyxN kji 若若 1 kji uuu kji NNNyxu),( 则则 yxyxu 321 ),( y D D x D D D D 321 kk jj ii yx yx yx D 1 1 1 kkk jjj iii yxu yxu yxu D 1 kk jj ii yu yu yu D 1 1 1 2 kk jj ii ux ux ux D 1 1 1 3 0; 321 DDDD 1),(yxu 由此可知由此可知: :所设位移可反应单元的刚体位移所设位移可反应单元的刚体位移. . ij i ij i xx xx yy yy ii k
11、k yxx c b y)( 以以i、j边为例：边为例： 单元边界上单元边界上, ,形函数的值只与该边界的两个结点的形函数的值只与该边界的两个结点的 坐标有关坐标有关, ,与另一结点坐标无关与另一结点坐标无关. . . . 2.2.形函数的性质形函数的性质 . . 0),(),(; 1),( kkijjiiii yxNyxNyxN . . 1),(),(),(yxNyxNyxN kji i j k x y i、j边的直线方程为边的直线方程为 )( 2 1 ),( ii k k kkkk yxx c b cxbayxN ikikk ycxba 2 1 = =常数常数=0=0 ij j j xx x
12、x yxN ),( ij j i xx xx yxN 1),( 由此性质可知：单元间的位移是协调的。由此性质可知：单元间的位移是协调的。 在在i、j边上边上 i j k 2 1 kk jjii uN uNuNyxu ),( 3.3.解答的收敛性解答的收敛性 随着单元的越划越小随着单元的越划越小, ,解答趋于精确解解答趋于精确解. .-收敛收敛 得得 dA T 由几何方程由几何方程 为了保证收敛为了保证收敛, ,所设位移应满足如下条件所设位移应满足如下条件: : 位移模式应包含刚体位移和常应变状态位移模式应包含刚体位移和常应变状态. .-完备条件完备条件 . . 应保证相邻单元的位移协调应保证相
13、邻单元的位移协调. . -协调条件协调条件 . . 条件条件1 1是收敛的必要条件是收敛的必要条件. . 条件条件1 1、2 2是收敛的充分条件是收敛的充分条件. . 常应变三角形单元是完备协调单元常应变三角形单元是完备协调单元 4.4.单元的应力与应变单元的应力与应变 eT NA e B 其中其中 NAB T kji kji NNN NNN xy y x 000 000 / /0 0/ 应变矩阵 kji kji NNN NNN xy y x 000 000 / /0 0/ INININAB kji T kji BBB 其中其中 r r r N N xy y x B 0 0 / /0 0/ r
14、r r r rr r r bc c b xNyN yN xN 0 0 2 1 / /0 0/ 得得 dA T 由几何方程由几何方程 4.4.单元的应力与应变单元的应力与应变 eT NA e B 其中其中 NAB T 应变矩阵应变矩阵 常数矩阵常数矩阵 单元内应变为常数单元内应变为常数 D 由物理方程由物理方程 4.4.单元的应力与应变单元的应力与应变 其中其中 应力矩阵应力矩阵 e BD e S BDS kji BBBD kji SSS 对于平面应力问题对于平面应力问题 2 1 0 0 2/ )1 (00 01 01 1 rr r r r bc c b E S 2/)1 (2/)1 ( )1
15、(2 rr rr rr bc cb cb E 设单元结点发生虚位移设单元结点发生虚位移 5.5.单元特性分析单元特性分析 dAW A T i e 单元内任一点虚位移为单元内任一点虚位移为 e Nd 虚应变为虚应变为 e B 应力在虚应变上作的功为应力在虚应变上作的功为 dABDB A eTTT A e T eT dABDB)( 外力在虚位移上作的功为外力在虚位移上作的功为 L T s A T b e T e e dSdFdAdFFW L eT s A eT b e T e dSNFdANFF L e T s T A b Te dSFNdAFNF)( ei WW dsFNdAFNFdABDB L
16、 s T A b T A eeT E ee FFk -单元刚度方程单元刚度方程 ei WW dsFNdAFNFdABDB L s T A b T A eeT E ee FFk -单元刚度方程单元刚度方程 A Te dABDBk -单元刚度矩阵单元刚度矩阵 BDB T kji T k T j T i BBBD B B B 333231 232221 131211 kkk kkk kkk s T rrs BDBk A Te dABDBk -单元刚度矩阵单元刚度矩阵 BDB T kji T k T j T i BBBD B B B 333231 232221 131211 kkk kkk kkk s
17、 T rrs BDBk s T r srsrsrsr srsrsrsr BDB bbcccbbc bccbccbb Et 2/)1 (2/)1 ( 2/)1 (2/)1 ( )1 ( 4 2 dsFNdAFNF L s T A b T E -单元等效结点荷载单元等效结点荷载 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质： 1 1）对称性）对称性 2 2）奇异性）奇异性 1.1.不需作坐标转换。不需作坐标转换。 三三. .整体分析整体分析 ee BDyx),( 2.2.结构刚度矩阵的形成与杆系相同。结构刚度矩阵的形成与杆系相同。 3.3.结构荷载列阵由单元等效结点荷载对号入座形成。结构荷载列阵由单元等效结点荷载对号入座形成。 或由静力等效直接化成结点荷载或由静力等效直接化成结点荷载 W 3/W 3/W3/W 3/2ql3/ql l q2/ql2/ql 4.4.边界处理与矩阵位移法相同。边界处理与矩阵位移法相同。 5.5.解方程求结点位移。解方程求结点位移。 6.6.单元应力计算单元应力计算 四四. .算例算例 见教材见教材9393页例题页例题5 5- -1 1 作业：作业：115页页5-15-5
