1、第二十一章一元二次方程第二十一章一元二次方程封面设计封面设计问题问题与一元二次方程与一元二次方程北京市海淀区中关村中学杨爱青尝试挑战尝试挑战 如图21.3-1，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？问题问题1 设计边衬的宽度要求几个未知数？哪几个，为什么？尝试挑战尝试挑战 如图21.3-1，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面
2、面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？问题问题2题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系？尝试挑战尝试挑战 已知量：封面长27cm，宽21cm.未知量：四周边衬的宽度，中央长方形的长和宽.如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形”这句话？中央长方形的长宽之比是9:7.如何理解“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”这句话？2cm272143长宽之积为尝试挑战尝试挑战 长宽之比是9:7.长宽之积为 2cm272143 已知量：封面长27cm，宽21m.未知量：四周边衬的宽度，中央长方形的长和宽.设上面边
3、衬宽度和左面边衬宽度分别为a cm和b cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm问题问题3如何把文字语言翻译成数学符号语言？尝试挑战尝试挑战四个未知数x、y、a、b，它们之间还存在怎样的数量关系？x:y=9:7272143xy 已知量：封面长27cm，宽21m.未知量：四周边衬的宽度，中央长方形的长和宽.设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为a cm和b cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm尝试挑战尝试挑战看看“图形”告诉了我们什么？把“图形语言”翻译成数学符号语言可得：227,221axby问题问题4 怎么解决“封面设计问题”？解决问题解决问题前面我们设了4个“元”x和y、a
4、和b，它们分别代表中央长方形的长和宽、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：问题问题5请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法321 27(1),:9:7(2)4xyx y227(3),221(4)axby解决问题解决问题27 321 3,22xy 5427 34221 3,44ab 方法1：由（2）设 .9,7xt yt 代入（1），得 .把 代入（3）、（4），得 .27 321 3,22xy (272):(21 2)9:7,3(272)(21 2)21 27.4abab 方法2：由（3）、（4）变形，得 .272(5),212(6)xayb 把（5）、（6）分别代入（
5、1）、（2），得关于a、b的二元方程组：解决问题解决问题5427 34221 3,44ab将 化简，可得 .设 .将 代入（5）、（6）得：.再把（7）、（8）代入（1）可得：.所以，.:9:7a b(272):(21 2)9:7ab9,7at bt9,7at bt27 18(7),21 14(8)xtyt63 34t解决问题解决问题设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm于是可列出方程 3(27 18)(21 14)27 214xx整理，得解方程，得 ，(不合题意舍去）.答:上下边衬的宽为 1.8 cm，左右边
6、衬的宽为1.4 cm.21648190 xx163 34x54-27 34221 391.8,71.444xx方法1：263 34x解方程，得答:上下边衬的宽为 1.8 cm，左右边衬的宽为1.4 cm.解决问题解决问题39727 214xx设中央长方形的长、宽分别为9xcm，7xcm，则上、下边衬的宽均为 cm，左、右边衬的宽均为 cm于是可列出方程 2792x21 72x3 32x 方法2：27954-27 321 74221 31.8,1.42424xx回顾反思回顾反思问题6通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会？回顾反思回顾反思 请同学们回顾“封面设计问题”的探
7、究过程，回答以下问题：（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？（2）在“封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的？布置作业布置作业教科书习题21.3第5，8，9题目标检测目标检测1如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（）A2A.400cm2B.500cm2C.600cm2D.4000cm目标检测目标检测2学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
8、（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.目标检测目标检测（1）方案1：长为 米，宽为7 米.方案2：长为 9 米，宽为 米.方案3：长为8米，宽为8米.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米.197179 由题意，长方形长和宽的和为16米，设长方形花 圃的长为x米，则宽为 米.(16)x目标检测目标检测方法1：(16)632.xx216650.xx2(16)4 1 6540,此方程无实数解.在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米.目标检测目标检测方法2：在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米.)16(xxS长方形.64)8(1622xxx
