1、2022-12-161时域分析法和根轨迹法的特点时域分析法和根轨迹法的特点 时域分析法时域分析法：时域分析法较为直接，不足之处：u 对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析；u 当系统中某些元器件或环节的数学模型难以求出时，整个系统的分析将无法进行；u 系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需新求解系统的时问响应；u 系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何伺调整系统的参数来获得预期结果；u 必须由闭环传递函数求系统的稳定性。2022-12-162 根轨迹分析法根轨迹分析法：u 快速，简洁而实用的图解分析法；u 根据图形的变化趋势可得到系统性能随某一参数变化的全部信息，从而
2、可以获得应如何调整系统的参数来获得预期结果；u 一种非常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用于高阶系统的分析求解；u 但对于高频噪声问题，难以建立数学模型等问题仍然无能为力。2022-12-163 频域法不必求解微分方程，能预示系统性能，同时，又能指出如何调整系统参数来得到系统预期的性能指标。时域分析法和根轨迹分析法主要是以单位阶跃输入信号来研究系统的，而频域分析法主要是以正弦输入信号来研究系统的。频域分析：给稳定的系统输入一个正弦信号，系统的稳态输出也是一个正弦信号，其频率与输入信号同频率，其幅值和相位随输入信号频率的变化而变化。设系统结构如图设系统结构如图给系统输
3、入正弦信号，保持幅值不变，增大频率，曲线如下给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率，曲线如下:2022-12-1640.5输入123.5给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入同频率同频率的正弦信号，的正弦信号，幅值随幅值随而变，相角也是而变，相角也是的函数。的函数。系统对不同频率的正弦信号的系统对不同频率的正弦信号的“复现能力复现能力”或或“跟踪能跟踪能力力”。频率越高，衰减越大，这意味着自动控制系统将能实现。频率越高，衰减越大，这意味着自动控制系统将能实现对所有低于截止频率的信号进行几乎没有衰减的传输，而对于对所有低于截止频率的信
4、号进行几乎没有衰减的传输，而对于那些高于截止频率的噪声信号来说，它们将被自动控制系统完那些高于截止频率的噪声信号来说，它们将被自动控制系统完全隔离（衰减掉），这也正是研究系统频特性的优越之处。全隔离（衰减掉），这也正是研究系统频特性的优越之处。2022-12-166一、频率特性基本概念二、开环频率特性的绘制三、频率域稳定判据四、控制系统频域性能分析五、专题讨论第第五五章章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法本讲主要内容本讲主要内容1、基本概念2、典型环节频率特性一、一、频率特性基本概念频率特性基本概念2022-12-1671 RC网络网络 RC滤波网络，设电容滤波网络，设电容C的初始的初
5、始电压为电压为 ，取输入信号为正，取输入信号为正弦信号：弦信号：0ousiniuAt0u20iuA2t0tRCiuou1 1、频率特性基本概念频率特性基本概念 曲线如图所示。当响应呈稳态曲线如图所示。当响应呈稳态时，仍为正弦信号，频率与输时，仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延有一定衰减，相位存在一定延迟。迟。2022-12-168RC网络的输入与输出的关系为：网络的输入与输出的关系为：式中，式中，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得拉氏反变换得拉氏反变换得式中第一项，由于式中第一项，由于
6、T0，将随时间增大而趋于零，为输出的，将随时间增大而趋于零，为输出的瞬态分量；第二项正弦信号为输出的稳态分量。瞬态分量；第二项正弦信号为输出的稳态分量。ooiduTuudtTRC002211()()11oiooAUsUsTuTuTsTss012222sin()11tTooA TAuuettgTTT2022-12-169221()1AT1()tgT 1()1G sTssj1221()1jtgTG jeT()A()|()|G j()G j22sin()()sin()1sOAutartg TA AtT 幅值比幅值比比较比较 相位差相位差 幅值幅值 相角相角2022-12-1610！结论非常重要，反映
7、了！结论非常重要，反映了A()和和()与系统与系统数学模型的本质关系，具有普遍性。数学模型的本质关系，具有普遍性。系统输入为谐波信号系统输入为谐波信号00()()()mmiiinniiib sB sG sA sa s22()sin()(cossin)()r tAtAsR ss)(2sincos)(2sincos)()()(1)()()(1)(jGjjjsAjGjjjsAsGsRjsjssGsRjsjssCjsjss（1 1）频率特性定义）频率特性定义设稳定线性定常系统的传函：设稳定线性定常系统的传函：因为系统稳定，输出响应稳态分量的拉氏变换为因为系统稳定，输出响应稳态分量的拉氏变换为如何推导！
8、如何推导！2022-12-1611121212()()()()()nncccddsssssssjsj0220(cossin)()()()mm iiinn iiib sAsC sG s R ssa s求出求出系统稳定！系统稳定！t 012()j tj tsctd ed e64214PA 1lim()()(cossin)lim()(cossin)()2sjsjdsjG sAsGjsjAjGjj12dd2?d 思路：思路：得出得出5-112022-12-1612 考虑考虑()()()22jj tjj tseectAGjAG jjj1()2jAedGjj()()accossincossinsincos
9、22jjjjjjejejeeeej 式式5-115-11又可表示为又可表示为()()()()()()()jGjajbG jG jecjd关于关于的偶次幂多项式的偶次幂多项式()()bd关于关于的奇次幂多项式的奇次幂多项式2022-12-1613()()()22jj tjj tseectAGjAG jjj()()()()()()()jGjajbGjG jecjd()tan()tan()bdG jarcarcactantantan()1tantanababab()tan()bcadG jarcacbd()tan()tan()()bdGjarcarcG jac 代入代入()|()|()()AjGjB
10、jGj()|()|sin()sctA GjtGj 2022-12-1614 谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的波输入的幅值之比幅值之比 为为幅频特性幅频特性，相位之差相位之差 为为相相频特性频特性，并称其，并称其指数表达形式指数表达形式 为系统的为系统的频率特性频率特性。上式表明，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频上式表明，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，幅值和相位的变化是同频率的函数，且与系统数学率的谐波函数，幅值和相位的变化是同频率的函数，且与系统数学模型相关。模型相关。()A()()
11、()()jG jAe 频率特性定义频率特性定义2022-12-1615 频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现能力复现能力”或或“跟踪能力跟踪能力”。在频率较低时，。在频率较低时，T1时，输入信号基本上可时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的但一般都有这样的“低通低通”滤波及相位滞后作用。滤波及相位滞后作用。频率特性随频率而变化，是因为
12、系统含有储能元件。实际系频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，使不同频率的信号具有不同的特性。能量交换时，使不同频率的信号具有不同的特性。（2 2）频率特性的物理意义）频率特性的物理意义 频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比。书频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比。书P189 2022-12-1616wjs=dtds=系统系统传递传递函数函数微分微分方程方程频率频率特性特性dtdjw=线性定常系统的数学模型线性定常系统的数学模型 传递函数传递函数 微分方程微分方
13、程频率特性频率特性 时域时域复数域复数域频域频域（3 3）三种数学模型之间的关系）三种数学模型之间的关系2022-12-1617 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和它们的相位移（）也随之改变。所以 A（）和（）都是的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。与传函一样，频率特性也是一种数学模型与传函一样，频率特性也是一种数学模型 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。（4 4）频率特性的性质）频率特性的性质2022-12-1618 频率特性是一种稳态响应
14、，但表示的是系统动态特性频率特性是一种稳态响应，但表示的是系统动态特性 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法观察到这种稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量（从全解的形式中理解）总可以分离出来。系统微分方程的全解齐次通解+稳态特解稳态特解 稳态特解就是稳态分量稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。2022-12-1619 根据定义求取根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复振幅比即可得到。解，取输出稳态分量与输入正弦量的复振幅比即可得到。根据传递函数求取根据
15、传递函数求取 用用s=j 代入系统的传递函数，即可得到。代入系统的传递函数，即可得到。通过实验的方法直接测得通过实验的方法直接测得 用实验测得的频率特性曲线求。用实验测得的频率特性曲线求。（5 5）频率特性的求取）频率特性的求取2022-12-1620（6 6）频率特性的几何表示法）频率特性的几何表示法()()()G jUjV()()()jG jAe 极坐标形式极坐标形式直角坐标形式直角坐标形式22()()()AUV()()arctan()VU 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又叫幅相曲线或极坐标图或Nyquist（奈奎斯特）图，简称奈氏图奈氏图；对数幅相曲线对数幅相曲线又叫Nichocls(
16、尼科尔斯)图，简称尼氏图尼氏图，一般用于闭环系统频率特性分析的。对数频率特性曲线对数频率特性曲线又叫Bode（伯德）图（伯德）图，简称伯氏图；ReG(j)ImG(j)jVU0G j 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线：以实部为横轴，虚部为纵轴，频率以实部为横轴，虚部为纵轴，频率 为参变为参变量，表示频率特性量，表示频率特性G(j)的幅值的幅值A()和相角和相角()之间关系的曲线。之间关系的曲线。()()A例例1 1 绘制绘制RCRC网络网络幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线2211()()()11jTG jUjVjTT逐点描绘比较麻烦逐点描绘比较麻烦22211()()22UV22221()()11
17、TUVTTg=tf(1,1 1);figure;nyquist(g)%开环幅相曲线 对数频率特性曲线：对数频率特性曲线：在在半对数坐标半对数坐标中，表示频率特性的对中，表示频率特性的对数幅值数幅值20lgA()与对数频率与对数频率lg，相角，相角()与对数频率与对数频率lg之间之间关系的曲线图称为频率特性的对数坐标图或关系的曲线图称为频率特性的对数坐标图或Bode图。图。u 由对数幅频特性图和对数相频特性图组成；由对数幅频特性图和对数相频特性图组成；u 纵坐标线性分度，分别表示幅频特性的纵坐标线性分度，分别表示幅频特性的G(j)的对数的对数20lgA()和相角和相角()，单位分别为，单位分别为
18、dB和度和度()，横坐标对数，横坐标对数分度分度lg，表示频率，表示频率，单位为，单位为(rad/s)。()20lg()dLAB()LdB01.01.01101001001011.001.0()线性分度线性分度对数分度，按 lg10209000.33300.2220十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程lg0.1lg1lg10lg1001012十倍频程十倍频程:用用dec表示表示u绘制近似对数坐标图简单；u可以将频率范围很宽的系统的频率特性绘制在一张不大的图上进行研究。横坐标采用对数分度的原因：2 2、典型环节的频率特性典型环节的频率特性122mmm122nnn式中：
19、)12()1()12()1()(221122112121lllnljnjkkkmkimiTsTsTssssKsG 从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。比例环节比例环节惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分环节振荡环节振荡环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节微分环节微分环节(0)KK 1/ss1/(1)(0)TsT 1(0)TsT 221/(/2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 最小相位典型环节最小相位典型环节比例环节比例环节惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分环节振
20、荡环节振荡环节二阶微分环节二阶微分环节(0)KK 1/(1)(0)TsT 1(0)TsT 221/(/2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 非非最小相位典型环节最小相位典型环节除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。（1 1）典型环节频率特性的绘制）典型环节频率特性的绘制 比例环节比例环节()(0)G sKK 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：()G jK()()0AK()20lgLKNyquist图图Bode图图()LReGImG
21、()L(L()与与轴平行，随轴平行，随K K变化上下移动变化上下移动()与与轴重合轴重合()G ss090()jG jje0()()arctan900A 传递函数：频率特性：Bode图：()20lgL 微分环节微分环节Nyquist图图()G ss()2G ss()0.1G ss20lg()20log20lgKK11.032lg26dBlg0.120dB()LdB 积分环节积分环节090111()0G jjejImRe01()G ss0 传递函数：频率特性：奈氏图：Bode图：001()()0arctan900A ()20lgL 1()G ss0.2()G ss10()G ss20lg(/)2
22、0log20lgKK20lg1020dB20lg0.214dB 01()()90A 09011()G jej（）1()G ss例例：传递函数：求频率特性并分析()20 lgL 1()1G sTs222211TG jj1jT1 T1 T取取=0，1/T和和=三个特殊点三个特殊点:11G(j0)1 0Gj45G(j)0 -90T2 传递函数：频率特性：0121ReIm0 惯性环节惯性环节u 奈氏图奈氏图-25-20-15-10-50Magnitude(dB)10-1100101-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)渐近线渐近线 精确曲线精确
23、曲线 精确曲线精确曲线 渐近线渐近线 10-1100101 2211 TTarctanarctanT1A 低频时，即0()20lg1 0()0L 1,1TT高频时，即1,1TT0()20lg()90LT T1 为转角为转角(转折、交接转折、交接)频率频率22()20lg()20lg1 TLA u Bode图图几点说明：几点说明：u 简化对数幅频曲线作图，常用低频和高频渐近线近似表示对数简化对数幅频曲线作图，常用低频和高频渐近线近似表示对数幅频曲线，称之为幅频曲线，称之为对数幅频渐近特性曲线对数幅频渐近特性曲线。u 低频段低频段(小于转折频率小于转折频率)幅频特性可认为是幅频特性可认为是0dB的
24、一条直线，高频的一条直线，高频段的幅频特性可认为是斜率为段的幅频特性可认为是斜率为-20dB/dec的一条斜线。的一条斜线。u 近似图形有两条直线构成，又称：折线近似图，近似图形有两条直线构成，又称：折线近似图，1/T为折线之间为折线之间的转折频率；精确图形以近似图形为渐近线，最大误差发生在的转折频率；精确图形以近似图形为渐近线，最大误差发生在=1/T处，处，L(1/T)=-3dB。T分别为分别为0.1、1、10 Bode图图-3dB-3dB-3dB21()21nnG sss222222222222121121212GjTjTjTTjTTTT1nT令2222221122()arctan1ATT
25、TT 传递函数：频率特性：振荡环节振荡环节 2222221122()arctan1ATTTT 分析：分析：2222222arctan12()arctan21180arctan1TTTTTT 1()nT1()nTu 相频特性从相频特性从0单调减至单调减至-180，当，当=n时，时，表明振荡环节与虚轴的交点为，表明振荡环节与虚轴的交点为0()90n ()1/2nA1/2j 2222112ATT 01()0AA 22222322222214012nnnnndAd 212(02/2)rn谐振频率谐振频率21(02/2)21rrAM谐振峰值谐振峰值2121rrAM23222(12)0(1)rdMd02/
26、202/2()A单调增0,r,r()A单调减 均为阻尼比的减函数均为阻尼比的减函数rrM2/21()A单调减0,u 幅频特性幅频特性12/2rM 极坐标相位从0到-180变化，频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率，越小，对应的幅值就越大。说明频率特性与、均有关。0nnn23ImRe013211当=0，1/T和=时，11G(j0)1 090G(j)0 -1802GjT u 奈氏图奈氏图2222221122()arctan1ATTTT 10-210-1100101-40-30-20-1001020Magnitude(dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.
27、110-110010110-22222()20lg()20lg(1)(2)LATT u Bode图图10-210-1100101-40-30-20-1001020Magnitude(dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.110-110010110-210-210-1100101-40-30-20-1001020Magnitude(dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.410-110010110-210-210-1100101-40-30-20-1001020Magnitude(dB)Bode DiagramF
28、requency (rad/sec)0.20.10.40.610-110010110-210-210-1100101-40-30-20-1001020Magnitude(dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.40.60.810-110010110-210-210-1100101-40-30-20-1001020Magnitude(dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.40.60.40.81.00.810-110010110-22/2时，时，L(L()是一条折线，没有峰值是一条折线，没有峰值10-1100
29、101-180-135-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.110-11001010-45-90-135-1801T 10-1100101-180-135-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.110-11001010-45-90-135-1801T 10-1100101-180-135-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.410-11001010-45-90-135-1801T 10-1100
30、101-180-135-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.40.610-11001010-45-90-135-1801T 10-1100101-180-135-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.40.60.810-11001010-45-90-135-1801T 10-1100101-180-135-90-450Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.20.10.40.61.00.810-11001
31、010-45-90-135-1801T 阻尼比越大，阻尼越大，角度变化越缓阻尼比越大，阻尼越大，角度变化越缓2222()20lg()20lg(1)(2)LATT 11TT低频时，,即时 低频渐近线为一条低频渐近线为一条0 0分贝的水平线；高频时的对数幅频特分贝的水平线；高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为性曲线是一条斜率为-40dB/dec-40dB/dec的直线。的直线。11TT高频时，,即时0()20lg10()0L 20()20lg()40lg()180LTT u 振荡环节渐近特性曲线振荡环节渐近特性曲线分析分析用折线近似用折线近似0()40lg(/)nnnL 1/nT10-110010
32、1-10-5051015dB0.110-1100101-10-5051015dB0.20.110-1100101-10-5051015dB0.20.10.410-1100101-10-5051015dB0.20.10.40.610-1100101-10-5051015dB0.20.10.40.60.810-1100101-10-5051015dB 二阶系统的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差0.20.10.40.61.00.81T 一阶微分环节和二阶微分环节一阶微分环节和二阶微分环节对照各个环节看一下有什么规律？对照各个环节看一下有什么规律？1微分1/T二阶微分一阶微分惯性环节振荡环
33、节积分20lg K最小相位环节的相频特性与幅频特性之间有什么对应关系？最小相位环节的相频特性与幅频特性之间有什么对应关系？非最小相位系统频率特性非最小相位系统频率特性()(0)G sKKu 非最小相位比例环节求频率特性并分析传递函数:频率特性:0()()20lg()()180AKLKG jK u 非最小相位惯性环节1()(0)1G sTTs传递函数:频率特性:2201()1()11()180AG jTj TarctgT 幅频特性曲线与最小相位的惯性环节相同；相频特性曲线与一阶微分相频特性关于0度轴对称。非最小相位振荡环节与最小相位振荡环节对数幅频渐近非最小相位振荡环节与最小相位振荡环节对数幅频
34、渐近特性曲线相同；二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与特性曲线相同；二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与振荡环节的对数幅频渐近特性曲线关于振荡环节的对数幅频渐近特性曲线关于0dB0dB线对称。线对称。u 延迟环节()TsG se传递函数:频率特性:0()1()0()180()jTALG jeT 例：传递函数 加延迟环节（T=8s）后的阶跃响应 21()1sss8121()1ssessu 延迟环节（T=8）Nyquist图Bode图惯性、一阶微分、振荡、二阶微分惯性、一阶微分、振荡、二阶微分及其对应的非及其对应的非最小相位环节：最小相位环节：对数幅频特性相同对数幅频特性相同 相频特性关于相频特性关于0度度轴对称轴对称人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
