1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 ABA，则 a 的取值范围是（ ） Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 2 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|3 i|，则 z（ ） A2 B2 C1i D2 2 3 （5 分）等比数列an，若 a124，a188，则 a36为（ ） A32 B64 C128 D256 4 （5 分）设 a，G，bR，则“G2ab”是
2、“G 为 a，b 的等比中项”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分） 某公司为确定明年投入某产品的广告支出， 对近 5 年的广告支出 m 与销售额 y （单 位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： y 30 40 p 50 70 m 2 4 5 6 8 经测算， 年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程 =6.5m+17.5， 则p的值为 （ ） A45 B50 C55 D60 6 （5 分）如图，正方体的棱长为 1，线段 BD上有两个动点 E，F，EF= 1 2，则下列结 论中错误的是（ ） AACBE BEF平面 A
3、BCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 D异面直线 AE，BF 所成角为定值 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）利用计算机产生0，1之间的均匀随机数 a，则事件“3a20“发生的概率为 （ ） A1 2 B1 3 C1 4 D2 3 8 （5 分）已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且| + | = 2，则向量与 的夹角的余弦 值为（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 8 D 2 4 9 （5 分）已知奇函数 f（x）在（0，+）上的图象如图所示，则不等式() ;1 0的解集为 （ ） A （3，1）（0，1）（1，3） B （3，1）（0，1）（3，+） C （，3
4、）（1，0）（3，+） D （，3）（1，0）（0，1） 10（5 分） 已知 F1， F2分别为双曲线 C： 2 9 2 16 =1 的左右焦点， M 是 C 上的一点， 若|MF1| 7，则|MF2|（ ） A13 B1 或 13 C15 D1 或 15 11 （5 分）已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该 球的表面积为（ ） A32 3 B4 3 C2 D4 12 （5 分）过点 A（1，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴交于点 B，若直线 l：y22x 交于 点 C，且点 C 在第一象限内，O 为坐标原点，设|OB|x，若 f（x）|OB|+|OC|，
5、则函数 yf（x）的图象大致为（ ） 第 3 页（共 19 页） A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2+y24 上两点，点 A（1，1） ，且 =0， = 1 2（ + ） ，则OAM 面积的最大值为 14 （5 分）已知点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px（p0）上，则过 Q 点与抛物线相切的切 线方程是 15 （5 分）已知两圆 x2+y210 和（x1）2+（ya）220 相交于 A、B 两个不同的点， 且直线 AB 与直线 3xy+10 垂
6、直，则实数 a 第 4 页（共 19 页） 16 （5 分）从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再倒出 1 升混合溶液后又 用水填满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之 比低于 10% 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中， = 5， = 3， = 2 （）求 AB 的值； （）求(2 4)的值 18 （12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情 况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨）
7、 ，将数 据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求直方图中的 a 值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数说明理由； （3）根据直方图估计这组数据的众数，中位数（保留两位小数） 19 （12 分）如图，ABC 为边长为 2 的正三角形，AECD，且 AE平面 ABC，2AECD 2 （1）求证：平面 BDE平面 BCD； （2）求三棱锥 DBCE 的高 第 5 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（2，1）在椭圆
8、C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 平行于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝角，求直 线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 21 （12 分）已知函数() = 2+ (1 2) +2 2 （）求函数 f（x）的单调区间； （）证明：(1 2 2 + + 1)()2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + = 1 + （t 为参数） ，其中 2以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方
9、程为 2 6cos+40 （1）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）已知曲线 C2与 C1交于两点，记点 A，B 相应的参数分别为 t1，t2，当 t1+t20 时， 求|AB|的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 f（x）3|x1|+|x+1|的最小值为 k （1）求实数 k 的值； （2）设 m，nR，且 m2+4n2k求 1 2 + 1 2:1的最小值 第 6 页（共 19 页） 2020 年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小
10、题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 ABA，则 a 的取值范围是（ ） Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 【解答】解：ABA， AB 集合 Ax|1x2，Bx|xa， a2 故选：D 2 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|3 i|，则 z（ ） A2 B2 C1i D2 2 【解答】解：由（1+i）z|3 i|2， 得 z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 1 ， 故选：C 3 （5 分）等比数列an，若 a124，a188，则 a36为（ ） A32 B64 C128 D256 【解答】解：数
11、列an为等比数列， a182a12a24， a124，a188，a12，a18，a24同号 a2416 由 a242a12a36，得： a3664， 故选：B 4 （5 分）设 a，G，bR，则“G2ab”是“G 为 a，b 的等比中项”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 G 是 a，b 的等比中项，则 G2ab 当 abG0 时，满足 G2ab，但 a，G，b 不能构成等比数列， 第 7 页（共 19 页） 所以“G2ab”是“G 是 a，b 的等比中项”的必要不充分条件 故选：B 5 （5 分） 某公司为确定明年投入某产品的
12、广告支出， 对近 5 年的广告支出 m 与销售额 y （单 位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： y 30 40 p 50 70 m 2 4 5 6 8 经测算， 年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程 =6.5m+17.5， 则p的值为 （ ） A45 B50 C55 D60 【解答】解： = 2+4+5+6+8 5 =5， =6.55+17.550， 30:40:50:70 5 =50，解得 p60 故选：D 6 （5 分）如图，正方体的棱长为 1，线段 BD上有两个动点 E，F，EF= 1 2，则下列结 论中错误的是（ ） AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 AB
13、EF 的体积为定值 D异面直线 AE，BF 所成角为定值 【解答】解：如图， 第 8 页（共 19 页） AC是正方体， 底面 ABCD 为正方形，连结 AC，则 ACBD， 又 BB底面 ABCD， BBAC， BBBDB， AC面 BBDD， ACBE选项 A 正确； EFBD，BD面 ABCD，EF面 ABCD， EF面 ABCD选项 B 正确； BEF 的底 EF= 1 2，高为 BB1， SBEF为定值 又三棱锥 ABEF 的高为 AO 为定值， 三棱锥 ABEF 的体积为定值选项 C 正确； 不正确的选项为 D 故选：D 7 （5 分）利用计算机产生0，1之间的均匀随机数 a，则事
14、件“3a20“发生的概率为 （ ） A1 2 B1 3 C1 4 D2 3 【解答】解：由题意可得总的线段长度为 101， 在其中满足 3a20，即 a 2 3， 所求概率 P= 2 30 10 = 2 3， 故选：D 第 9 页（共 19 页） 8 （5 分）已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且| + | = 2，则向量与 的夹角的余弦 值为（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 8 D 2 4 【解答】 解： 由题意可知| | = 2， | | = 1， 且| + | = 2， 可得 3+2 =4， 解得 = 1 2， 向量 与 的夹角的余弦值： ， = 1 22 = 2
15、4 故选：D 9 （5 分）已知奇函数 f（x）在（0，+）上的图象如图所示，则不等式() ;1 0的解集为 （ ） A （3，1）（0，1）（1，3） B （3，1）（0，1）（3，+） C （，3）（1，0）（3，+） D （，3）（1，0）（0，1） 【解答】解：不等式() ;1 0转化为（x1）f（x）0， 则 10 ()0 ，或 10 ()0 ， 1x3，0x1，或3x1， 等式() ;1 0的解集为（3，1）（0，1）（1，3） ， 故选：A 10（5 分） 已知 F1， F2分别为双曲线 C： 2 9 2 16 =1 的左右焦点， M 是 C 上的一点， 若|MF1| 7，则|M
16、F2|（ ） A13 B1 或 13 C15 D1 或 15 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：F1，F2分别为双曲线 C： 2 9 2 16 =1 的左右焦点， 可得 a3，b4，c5， M 是 C 上的一点，且|MF1|7a+c8，M 在双曲线的左支上， 则|MF2|MF1|2a6， 解得|MF2|13 故选：A 11 （5 分）已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该 球的表面积为（ ） A32 3 B4 3 C2 D4 【解答】解：正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 正四棱柱的外接球的直径 2R=12+ 12+ (2)2= 2， 则 R1 球的表面
17、积为 4124 故选：D 12 （5 分）过点 A（1，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴交于点 B，若直线 l：y22x 交于 点 C，且点 C 在第一象限内，O 为坐标原点，设|OB|x，若 f（x）|OB|+|OC|，则函数 yf（x）的图象大致为（ ） A B 第 11 页（共 19 页） C D 【解答】解：由题意作图如下， 当直线 AB 与直线 l：y22x 平行时， 2;0 1; =22，解得，x= 1 2； 设 C（a，22a） ， A，B，C 三点共线， 22;2 ;1 = 2;0 1; ， 解得，a= 1 21， 故|OC|= 8 + 1 1 21 = 3 21， 故 f（
18、x）x+ 3 21， 故选：B 第 12 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2+y24 上两点，点 A（1，1） ，且 =0， = 1 2（ + ） ，则OAM 面积的最大值为 3 2 【解答】解：如图， = 1 2（ + ） ，M 是 BC 的中点，延长 AM 至 E，使得 M 为 AE 的中点， 设 E（x，y） ，由 = + 可知，四边形 ABEC 为平行四边形，又 =0，则平 行四边形 ABEC 为矩形， 由矩形性质可知，OE2+OA2OB
19、2+OC2，即 OE2+24+4， x2+y26，即点 E 的轨迹为以原点为圆心，6为半径的圆， 点 E 到直线 OA 的距离为 d（0，6， （SOAE）max= 1 2 2 6 = 3 OAM 面积的最大值为： 3 2 故答案为： 3 2 第 13 页（共 19 页） 14 （5 分）已知点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px（p0）上，则过 Q 点与抛物线相切的切 线方程是 y0yp（x+x0） 【解答】解：由题意，设过抛物线 y22px（p0）上的点 Q（x0，y0）的切线的斜率为 k， 则由点斜式可得切线方程为 yy0k（xx0） 联立 0 = ( 0) 2= 2 ， 消去 y，整
20、理得 k2x22（k2x0ky0+p）x+（kx0y0）20 直线与抛物线相切，0， 即 4（k2x0ky0+p）24k2（kx0y0）20 整理，得 2x0k22y0k+p0 解得 k= 2040 280 40 点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px（p0）上， 0 2 =2px0，40 2 8px00，即 k= 0 20 将 k= 0 20代入切线方程，可得 yy0= 0 20（xx0） 整理，得 2x0yy0（x+x0） 0 2 =2px0，x0= 0 2 2，代入上式可得 y0yp（x+x0） 过 Q 点与抛物线相切的切线方程是 y0yp（x+x0） 故答案为：y0yp（x+x0）
21、第 14 页（共 19 页） 15 （5 分）已知两圆 x2+y210 和（x1）2+（ya）220 相交于 A、B 两个不同的点， 且直线 AB 与直线 3xy+10 垂直，则实数 a 3 【解答】解：由题意，两圆相减可得 2x+2aya2+90， 直线 AB 与直线 3xy+10 垂直， 1 31，a3， 故答案为 3 16 （5 分）从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再倒出 1 升混合溶液后又 用水填满，以此继续下去，则至少应倒 4 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比 低于 10% 【解答】解：设开始的浓度为 1，操作 1 次后的浓度为 a11 1 ， 操作 n
22、次后的浓度为 an，则 an+1an（1 1 ） ， 数列an构成 a11 1 为首项，q1 1 为公比的等比数列， an（1 1 ） n，即第 n 次操作后溶液的浓度为（11 ） n； 当 a2 时，可得 an（1 1 ） n= (1 2) ，由 an（1 2） n1 10，解得 n4 至少应倒 4 次后才能使酒精的浓度低于 10% 故答案为：4 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中， = 5， = 3， = 2 （）求 AB 的值； （）求(2 4)的值 【解答】解： （） = 5， = 3， = 2
23、 在ABC 中，根据正弦定理，于是 AB= = 2 = 25 （）在ABC 中，根据余弦定理，得 cosA= 2+22 2 = 25 5 于是 sinA= 1 2 = 5 5 从而 sin2A2sinAcosA= 4 5， 则 cos2Acos2Asin2A= 3 5， 第 15 页（共 19 页） 故得(2 4) =sin2Acos 4 cos2Asin 4 = 2 10 18 （12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情 况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数 据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.
24、5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求直方图中的 a 值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数说明理由； （3）根据直方图估计这组数据的众数，中位数（保留两位小数） 【解答】解： （1）1（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）0.5，整理可得： 21.4+2a， 解得：a0.3 （2）估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，理由如下： 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3 吨的频率为（0.12+0.08+0.04）0.5 0.12， 又样本容量30 万， 则样本中
25、月均用水量不低于 3 吨的户数为 300.123.6 万 （3）众数是 2.25，根据频率分布直方图，得；0.080.5+0.160.5+0.300.5+0.400.5 0.470.5， 0.47+0.50.520.730.5， 中位数应在（2，2.5组内，设出未知数 x， 令 0.080.5+0.160.5+0.300.5+0.40.5+0.5x0.5， 解得 x0.06； 中位数是 2+0.062.06 19 （12 分）如图，ABC 为边长为 2 的正三角形，AECD，且 AE平面 ABC，2AECD 第 16 页（共 19 页） 2 （1）求证：平面 BDE平面 BCD； （2）求三棱
26、锥 DBCE 的高 【解答】 （1）证明：取 BD 边的中点 F，BC 的中点为 G，连接 AG，FG，EF， 由题意可知，FG 是BCD 的中位线 所以 FGAE 且 FGAE，即四边形 AEFG 为平行四边形， 所以 AGEF 由 AG平面 BCD 可知，EF平面 BCD，又 EF面 BDE， 故平面 BDE平面 BCD； （2）解：过 B 做 BKAC，垂足为 K，因为 AE平面 ABC， 所以 BK平面 ACDE，且 = 2 3 2 = 3 所以 V四棱锥BACDE= 1 3 1 2 (1 + 2) 2 3 = 3V三棱锥EABC= 1 3 1 2 2 3 1 = 3 3 所以 V三棱
27、锥DBCEV四棱锥BACDEV三棱锥EABC= 3 3 3 = 23 3 因为 ABAC2，AE1，所以 = = 5，又 BC2 所以= 1 2 2 5 1 = 2 设所求的高为 h，则由等体积法得1 3 2 = 23 3 所以= 3 第 17 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 平行于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝角，求直 线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 【解答】解： （1）椭圆 C： 2 2 +
28、2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（2，1）在 椭圆 C 上 = = 3 2 4 2 + 1 2 = 1 2= 2+ 2 ，解得 a22，b= 2，c= 6， 椭圆 C 的方程为 2 8 + 2 2 =1 （2）由直线 l 平行于 OM，得直线 l 的斜率 kkOM= 1 2， 又 l 在 y 轴上的截距为 m，l 的方程为 y= 1 2 + 由 = 1 2 + 2 8 + 2 2 = 1 ，得 x2+2mx+2m240 又直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，（2m）24（2m24）0，于是2m 2 AOB 为钝角等价于 0，且 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，
29、y2） ， 则 =x1x2+y1y2= 12+ (1 21 + )(1 22 + ) = 5 4 12+ 2 (1+ 2) + 20， 由韦达定理 x1+x22m，x1x22m24，代入上式， 化简整理得 m22，即22，故所求范围是（2，0）（0，2） 21 （12 分）已知函数() = 2+ (1 2) +2 2 （）求函数 f（x）的单调区间； （）证明：(1 2 2 + + 1)()2 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，() = 1 2 + 1 2( 1 2) 第 18 页（共 19 页） 则(1 2) = 2 1 + 1 2 (1 2)，解得( 1 2) = 2
30、，所以 f（x）lnxx 2+x+2此时， () = 1 2 + 1 = 22+1 ，由 f（x）0 得 0x1，f（x）0 得 x1， 所以函数 f（x）的单调增区间为（0，1） ，单调减区间为（1，+） （）证明：不等式(1 2 2 + + 1)()2等价于() 2 1 22+1 ， 由（）f（x）在（0，+）上的最大值为 f（x）maxf（1）2， 所以 f（x）2， 令() = (1 2 2 + + 1)(0)，所以 g（x）exx1， （g（x） ）ex1，所 以， 当 x0 时， （g（x） ）0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增，所以 g（x）g（0）0， 所以 g （x）
31、 在 （0， +） 上单调递增， 所以 g （x） g （0） 0， 即 (1 2 2 + + 1)0， 因为 x0，所以 1 2 2:1 1， 所以，x0 时，(1 2 2 + + 1)()2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + = 1 + （t 为参数） ，其中 2以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 6cos+40 （1）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）已知曲线 C2与 C1交于两点
32、，记点 A，B 相应的参数分别为 t1，t2，当 t1+t20 时， 求|AB|的值 【解答】解： （1）线 C1的参数方程为 = 2 + = 1 + （t 为参数） ， 所以：C1的普通方程：y（x2）tan+1，其中 2； 曲线 C2的极坐标方程为 26cos+40 所以：C2的直角坐标方程： （x3）2+y25 （2）由题知直线恒过定点 P（2，1） ，又 t1+t20， 由参数方程的几何意义知 P 是线段 AB 的中点， 第 19 页（共 19 页） 曲线 C2是以 C2（3，0）为圆心，半径 = 5的圆， 且|2|2= 2 由垂径定理知：| = 22 |2|2= 25 2 = 23
33、五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 f（x）3|x1|+|x+1|的最小值为 k （1）求实数 k 的值； （2）设 m，nR，且 m2+4n2k求 1 2 + 1 2:1的最小值 【解答】解： （1）f（x）3|x1|+|x+1|= 4 2，1 4 2， 1 1 4 + 2， 1 ， 所以 f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 所以 f（x）minf（1）2，所以 k2； （2）由（1）知，m2+4n2k2， 所以 1 2 + 1 2:1 = 2 6 + 4(2:1) 6 ( 1 2 + 1 2:1)， = 5 6 + 2 6(2+1) + 4(2+1) 62 5 6 + 2 2 6(2+1) 4(2+1) 62 = 3 2， 当且仅当 2 6(2:1) = 4(2:1) 62 ，即 m22，n20 时取等号， 所以 1 2 + 1 2:1的最小值为 3 2
