1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年江西省高考数学（文科）模拟试卷（年江西省高考数学（文科）模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）记全集 UR，集合 Ax|x216，集合 Bx|2x2，则（UA）B（ ） A4，+） B （1，4 C1，4） D （1，4） 2 （5 分）已知复数 z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ，则1 2 =（ ） A1+i B1+i C1i D1i 3（5分） 定义在R上的偶函数f （x） 满足： 任意x1， x20， +）（x1x2） ， 有(2)
2、(1) 21 0， 则 （ ） Af（223）f（log31 9）f（1 2 2） Bf（1 2 2）f（log31 9）f（2 23） Cf（log31 9）f（1 2 2）f（223） Df（223）f（1 2 2）f（log31 9） 4 （5 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a94，S1530，则 a15（ ） A6 B15 C16 D18 5 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，扇形 AOB 的圆心角为3 4 ，半径为 1，P 是 上 一点，其横坐标为22 3 ，则 sinBOP（ ） A 2 3 B 3 3 C4+2 6 D3+2 6 6 （5 分） 已知
3、非零向量 ， 满足| | = | |， 则 “| + 2 | = |2 |” 是 “ ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 第 2 页（共 18 页） 均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 8 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0， 1 32） D （
4、1 32，0） 9 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 10 （5 分）已知程序框图如图所示，则输出的 S（ ） A47 60 B 7 12 C37 60 D 5 12 11 （5 分）关于函数 f（x）sin（|x|+ 2）有下列判断： （1）是偶函数； （2）是奇函数； （3） 是周期函数； （4）不是周期函数其中正确的是（ ） A （1）与（4） B （1）与（3） C （2）与（4） D （2）与（3） 12 （5 分）函数 f（x）= 3 2+ ， 0 2(2
5、)+ 1 2 ，0 ，若函数 f（x）在 R 上单调递增，则实数 a 第 3 页（共 18 页） 的取值范围是（ ） A3 2，2 B0，1 2 C0，3 2 D0，2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左右焦点为 F1，F2过点 F 的直 线 l 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，F1AF2 90，则双曲线 C 的离心率为 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a= 3b，AB=
6、2，则 角 C 15 （5 分）已知函数 f（x）exx2的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（0，a） ，则 a 16 （5 分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为 1，高为 2 的圆 锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 大城市往往人口密集， 城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用， 历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝改革开放以来，有 的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生201
7、9 年的 春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极 从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了 10 株树苗的高度（单位：厘 米）数据如茎叶图： （1）据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度； （2）据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况，并说明理由 18 （12 分）已知在数列an中，a11，2an+1an= 2 (+1)(+2) （1）若 bnan 1 (+1)，求证：数列bn是等比数列； 第 4 页（共 18 页） （2）求数列an的通项公式 19 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC
8、，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； （）F 是线段 CC1上一点，且 CF2FC1，求 A1到平面 ABF 的距离 20 （12 分）已知函数 f（x）ex2ax（aR） （1）若 f（x）的极值为 0，求实数 a 的值； （2）若 f（x）2xlnx2x 对于 x（2，4）恒成立，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点
9、，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值为25， 求a 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23
10、 （1）已知 x，y，z 都是正数，求证： （x+y） （y+z） （z+x）8xyz （2）已知不等式 ax2+（a1）x+a10 对于所有实数 x 都成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2020 年江西省高考数学（文科）模拟试卷（年江西省高考数学（文科）模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）记全集 UR，集合 Ax|x216，集合 Bx|2x2，则（UA）B（ ） A4，+） B （1，4 C1，4） D （1，4） 【解答】解：全集 UR，集合
11、Ax|x216x|x4 或 x4， 集合 Bx|2x2x|x1， UAx|4x4， （UA）Bx|1x41，4） 故选：C 2 （5 分）已知复数 z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ，则1 2 =（ ） A1+i B1+i C1i D1i 【解答】解：复数 z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ， z11+i，z2i 1 2 = 1+ = (1+) 2 = 1 故选：D 3（5分） 定义在R上的偶函数f （x） 满足： 任意x1， x20， +）（x1x2） ， 有(2)(1) 21 0， 则 （ ） Af（223）f（log31 9）f（1
12、 2 2） Bf（1 2 2）f（log31 9）f（2 23） Cf（log31 9）f（1 2 2）f（223） Df（223）f（1 2 2）f（log31 9） 【解答】解：任意 x1，x20，+） （x1x2） ，有(2)(1) 21 0， 函数在0，+）上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，函数在（，0）上单调递增，距离对称轴越远，函数值越 小， 第 6 页（共 18 页） (223) =f（3） ，(3 1 9) =f（2）f（2） ，(1 2 2) =f（1） ， 则(223)(3 1 9)(1 2 2) 故选：A 4 （5 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a9
13、4，S1530，则 a15（ ） A6 B15 C16 D18 【解答】解：因为 a94，S1530， 1 + 8 = 4 151+ 105 = 30， 解可得，d2，a112， 则 a15a1+14d12+2816 故选：C 5 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，扇形 AOB 的圆心角为3 4 ，半径为 1，P 是 上 一点，其横坐标为22 3 ，则 sinBOP（ ） A 2 3 B 3 3 C4+2 6 D3+2 6 【解答】解：由题意知，点 P（22 3 ，1 3） ， 根据三角函数的定义知，sinPOA= 1 3， cosPOA= 22 3 ， 所以 sinBOPsin（
14、3 4 POA） sin3 4 cosPOAcos3 4 sinPOA = 2 2 22 3 （ 2 2 ） 1 3 = 4+2 6 第 7 页（共 18 页） 故选：C 6 （5 分） 已知非零向量 ， 满足| | = | |， 则 “| + 2 | = |2 |” 是 “ ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：| + 2 | = |2 | | + 2 |2= |2 |2 2 + 4 + 4 2 = 4 2 4 + 2 ， | | = | | 0， | + 2 | = |2 | = 0 ， 故选：C 7 （5 分）甲、乙两位同学将
15、高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 【解答】解：由题意可得甲= 1 6（88+87+85+92+93+95）90， 设被污损的数字为 x， 则乙= 1 6（85+86+88+90+99+x）89+ 6， 满足题意时，甲乙 即：9089+ 6，解得 x6， 即 x 可能的取值为 0，1，2，3，4，5， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p= 6 10 = 3 5 故选：C
16、 8 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0， 1 32） D （ 1 32，0） 第 8 页（共 18 页） 【解答】 解： 抛物线 y8x2的标准方程为： x2= 1 8y， 所以抛物线的焦点坐标 （0， 1 32） 故选：C 9 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 的可行域， 可发现 z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距
17、离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 故选：D 10 （5 分）已知程序框图如图所示，则输出的 S（ ） 第 9 页（共 18 页） A47 60 B 7 12 C37 60 D 5 12 【解答】解：a1，n1，S0； S1，a1，n2； S= 1 1 2，a1，n3； S= 1 1 2 + 1 3，a1，n4； S= 1 1 2 + 1 3 1 4 = 7 12，a1，n5； 跳出循环，输出结果 S= 7 12 故选：B 11 （5 分）关于函数 f（x）sin（|x|+ 2）有下列判断： （1）是偶函数； （2）是奇函数； （3） 是周期函数； （4）不是周期函数其
18、中正确的是（ ） A （1）与（4） B （1）与（3） C （2）与（4） D （2）与（3） 【解答】解：函数 f（x）sin（|x|+ 2）cos|x|cosx， 由于 f（x）f（x） ，所以函数为偶函数 根据函数的关系式 f（x+2）f（x） ，故函数是周期函数 故选：B 12 （5 分）函数 f（x）= 3 2+ ， 0 2(2)+ 1 2 ，0 ，若函数 f（x）在 R 上单调递增，则实数 a 第 10 页（共 18 页） 的取值范围是（ ） A3 2，2 B0，1 2 C0，3 2 D0，2 【解答】解：由题知，2a0，即 a2， 由 yx3ax2+a 得 y3x22ax0 在
19、 x（，0上恒成立， 则 a 3 2x 在 x（，0上上恒成立，即 a0， 又函数 f（x）在 R 上单调递增，则需满足 a 3 2， 综上，实数的取值范围是：0，3 2 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左右焦点为 F1，F2过点 F 的直 线 l 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，F1AF2 90，则双曲线 C 的离心率为 10 2 【解答】解：设|AF1|m，|BF1|n， 由双曲线的定义可得|AF2|2
20、a+m，|BF2|2a+n， 由BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍， 可得1 2（2a+m） （m+n） 1 2m（2a+m）3 1 2（2a+m）m， 化简可得 n3m， 由直角三角形 ABF1可得（m+n）2+（2a+m）2（2a+n）2， 代入 n3m，化简可得 ma， 在直角三角形 AF1F2中，可得 m2+（2a+m）24c2， 即为 a2+9a24c2，即 c= 10 2 a， 则 e= = 10 2 ， 故答案为： 10 2 第 11 页（共 18 页） 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a= 3b，AB= 2，则 角 C 6 【解答
21、】解：由正弦定理可得， = ， 3 (+1 2) = ，化简可得 tanB= 3 3 ， = 6，A= 1 2 + 6 = 2 3 ， = 6 故答案为“ 6 15 （5 分）已知函数 f（x）exx2的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（0，a） ，则 a 1 【解答】解：函数 f（x）exx2的导数为 f（x）ex2x， 函数 f（x）exx2的图象在点（1，f（1） ）处的切线的斜率为 e2， 切点为（1，e1） ， 由切线过点（0，a） ，可得： e2= 1 10 ， 解得 a1， 故答案为：1 16 （5 分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为 1，高为 2
22、 的圆 锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 2 3 2 【解答】解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为 h，底面边 第 12 页（共 18 页） 长为 a， 则 O，O1分别为 AC，A1C1的中点， 所以 A1C1= 2，EF2，SA1C1AEF， 所以11 = 1 ，即 2 2 = 2 2 ，所以 a= 2 2 (2 )， （0h2） 所以正四棱柱的体积 Va2h= 2 2 (2 )2 = 1 2 (3 42+ 4)， 令 V= 1 2 (32 8 + 4) = 1 2（h2） （3h2）0，得 h= 2 3，或者 h2（舍） 当0 2 3时，V0，当
23、2 3 2时，V0， 所以当0 2 3时，V（h）单调递增，当 2 3 2时，V（h）单调递减，故当 h= 2 3时， V 有最大值， 此时 a= 2 2 (2 2 3) = 22 3 故填：22 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 大城市往往人口密集， 城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用， 历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝改革开放以来，有 的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生2019 年的 春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山
24、”理论的不断指引下，积极 从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了 10 株树苗的高度（单位：厘 米）数据如茎叶图： （1）据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度； 第 13 页（共 18 页） （2）据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况，并说明理由 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 如 茎 叶 图 数 据 分 析 ， 预 估 甲 种 树 苗 的 平 均 高 度 x 甲 = 19+21+20+29+23+25+37+31+32+33 10 =27（厘米） ， 预估乙种树苗的平均高度 x乙= 10+14+10+27+26+30+47+46+44+46 10 =30
25、（厘米） ； （2）由茎叶图分析值甲种树苗高度较为集中，乙种树苗高度较为分散， 所以甲种树苗将会长得比较整齐，乙种树苗将会长得参差不齐 18 （12 分）已知在数列an中，a11，2an+1an= 2 (+1)(+2) （1）若 bnan 1 (+1)，求证：数列bn是等比数列； （2）求数列an的通项公式 【解答】 （1）证明：2an+1an= 2 (+1)(+2) = 2 (+1)(+2) 1 (+1)， 2an+1 1 (+1)(+2)an 1 (+1)， an+1 1 (+1)(+2) = 1 2an 1 (+1)，又 a1 1 2 = 1 2， bnan 1 (+1)，b1a1 1
26、2 = 1 2， 数列bn是以1 2为首项， 1 2为公比的等比数列 （2）解：由（1）知，bnan 1 (+1) = (1 2) ， an= 1 (+1) + (1 2) （nN*） 19 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； （）F 是线段 CC1上一点，且 CF2FC1，求 A1到平面 ABF 的距离 第 14 页（共 18 页） 【解答】 （）证明：取 AA1的中点 G，连接 EG，DG， D 是棱 CC1的中点，G 是棱 AA1的中点，
27、DGA1C1，EGBA1， DG平面 C1BA1，C1A1平面 C1BA1，EG平面 C1BA1，BA1平面 C1BA1， DG平面 AB1C1，BA1平面 AB1C1， 又EGDGG， 平面 DEG平面 BA1C1， DE平面 DEF DE平面 BA1C1； （）解：连接 AF，BF，A1F， 由已知 BB1平面 ABC， ABBC，可得 BC平面 AA1B，则 F 到底面 AA1B 的距离为 BC 1 又 AB2，AA1BB13，1= 1 2 2 3 = 3 由 CF2FC1，得 CF2，则 BF= 5，= 1 2 2 5 = 5 设 A1到平面 ABF 的距离为 h，则由1= 1， 得1
28、 3 3 1 = 1 3 5 ，则 h= 35 5 故 A1到平面 ABF 的距离35 5 第 15 页（共 18 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）ex2ax（aR） （1）若 f（x）的极值为 0，求实数 a 的值； （2）若 f（x）2xlnx2x 对于 x（2，4）恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题得 f（x）ex2a， 当 a0 时，f（x）0 恒成立 f（x）在（，+）上单调递增，没有极值 当 a0 时，由 f（x）0，得 xln2a， 当 x（，ln2a）时，f（x）0，f（x）在（，ln2a）上单调递减 当 x（ln2a，+）时，f（x）0，f（x
29、）在（ln2a，+）上单调递增， f（x）在 xln2a 时取到极小值， f（x）的极值为 0， f（ln2a）0， eln2a2aln2a0 即 2a（1ln2a）0， = 2， （2）由题得 ex2ax2xlnx2x 对于 x（2，4）恒成立， 2 + 2 2对于 x（2，4）恒成立， 令() = + 2 2，原问题转化为 2aH（x）min，x（2，4） ， 又() = 2 2 ，令 G（x）exxex2x，则 G（x）exx20 在 x（2，4） 上恒成立， G（x）在（2，4）上单调递增， G（x）G（2）2e2e24e240， H（x）0，() = + 2 2在（2，4）上单调递增
30、， 第 16 页（共 18 页） () (2) = 2 2 + 2 22， 2 4 2 + 1， 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 【解答】解： （）由题意， = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为
31、 yk（x1） ， 直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1， 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1+1） ， 同理可得 N（0， 2 2+1） 1 1 = 1 + 12 (1+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ， 将代入并化简得：1 1 = 721 82
32、1， 依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0， 解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 17 页（共 18 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲
33、线C上任一点P作与l夹角为30的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值为25， 求a 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的直角坐标方程为： 2 4 + 2 3 = 1， 当 a2 时，直线 l 的普通方程为 x+2y20， 由 + 2 2 = 0 2 4 + 2 3 = 1 解得 = 2 = 0或 = 1 = 3 2 ， 从而 C 与 l 的交点坐标为（2，0） ，(1， 3 2)； （2）l 的普通方程为 x+2ya0，C 的参数方程为 = 2 = 3（ 为参数） ， 故 C 上任一点(2，3)到 l 的距离为 = |2+23| 5 = |4(+ 6)| 5 则| = 300 = 2 =
34、 2 5 |4( + 6) |， 当 a0 时，|PA|的最大值为2(4+) 5 = 25，所以 a1； 当 a0 时，|PA|的最大值为2(4) 5 = 25，所以 a1 综上，a1 或 a1 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）已知 x，y，z 都是正数，求证： （x+y） （y+z） （z+x）8xyz （2）已知不等式 ax2+（a1）x+a10 对于所有实数 x 都成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）证明：已知 x，y，z 都是正数， （x+y） （y+z） （z+x）2 2 2 =8xyz， 当且仅当 xyz 时，取等号， 故原命题成立； （2）不等式 ax2+（a1）x+a10 对于所有实数 x 都成立， 当 a0 时，x+a10 不恒成立； 当 a0 时，根据题意0 = ( 1)2 4( 1)0， 第 18 页（共 18 页） 解得 a1 或 a 1 3， 综上，a1 或 a 1 3
