1、北京市西城区诊断性测试 高三数学 第1 页( 共6页) 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 数 学 2 0 2 0 . 5 本试卷共6页,1 5 0分。考试时长1 2 0分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在 试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第卷( 选择题 共4 0分) 一、选择题:本大题共1 0小题,每小题4分,共4 0分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.设集合A=x| |x|cb ( B)abc ( C)bca ( D)bac 北京市西城区诊断性测试 高三数学 第2 页( 共6页) 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( A
2、)6 ( B)4 ( C)3 ( D)2 8.若圆x 2+ y 2-4 x+2y+a=0与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是 ( A)(-,1 ( B)(-,0 ( C)0,+) ( D)5,+) 9.若向量a与b不共线,则 “ab|a|+|b|”的 ( A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件 ( C)充要条件 ( D)既不充分也不必要条件 1 0.设函数f(x)=(x-1)e x. 若关于x的不等式f( x)0)经过点 (2,0) ,则该双曲线渐近线的方程为. 1 3.设函数f(x)=s i n 2x+2 c o s 2 x.则函数f(x)的最小正周期为 ;若对于任意 xR,
3、都有f(x)m成立,则实数m的最小值为. 1 4.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之 前,四人的猜测如下表,其中 “”表示猜测某人获奖,“”表示猜测某人未获 奖,而 “”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的 猜测是完全正确的,那么两名获奖者是, . 甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 1 5.在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D为正方形,P A底面A B C D,P A=A B=4, E,F,H分别是棱P B,B C,PD的中点,对于平面E FH截四棱锥P-A B C D所 得的截面多边形,
4、有以下三个结论: 截面的面积等于4 6; 截面是一个五边形; 截面只与四棱锥P-A B C D四条侧棱中的三条相交. 其中,所有正确结论的序号是 . 北京市西城区诊断性测试 高三数学 第4 页( 共6页) 三、解答题:本大题共6小题,共8 5分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 1 6.( 本小题满分1 4分) 如图,在几何体A B C D E F中,底面A B C D是边长为2的正方形,D E平面A B C D, D EB F,且D E=2B F=2. ()求证:平面B C F平面AD E; ()求钝二面角D-A E-F的余弦值. 1 7.( 本小题满分1 4分) 从前n项和
5、Sn=n 2+ p(pR) ,an=an+1-3,a6=1 1且2an+1=an+an+2 这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答. 在数列 an中,a1=1, ,其中nN*. ()求 an的通项公式; ()若a1,a n,am 成等比数列,其中m,nN*,且mn1,求m的最小值. 注: 如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 北京市西城区诊断性测试 高三数学 第5 页( 共6页) 1 8.( 本小题满分1 4分) 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨 种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组: 0 . 4 8 6,0 . 5 3 6
6、) ,0 . 5 3 6,0 . 5 8 6) , , 0 . 8 3 6,0 . 8 8 6)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. 企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0 . 7 3 6的种子定为 “A级” ,发芽率 低于0 . 7 3 6但不低于0 . 6 3 6的种子定为 “B级” ,发芽率低于0 . 6 3 6的种子定为 “C级”. ()现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是 “ C级”种子的概率; ()该花卉企业销售花种,且每份 “ A级” 、 “B级” 、“C级”康乃馨种子的售价分别为 2 0元、1 5元、1 0元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两
7、份,共 花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望; ()企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1 . 1倍, 那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率 数据的方差是否发生变化? 若发生变化,是变大了还是变小了? ( 结论不需要证明). 1 9.( 本小题满分1 4分) 已知椭圆C: x 2 a 2+ y 2 b 2=1 ( ab0) 的离心率为 1 2,右焦点为 F,点A(a,0) , 且|A F|=1. ()求椭圆C的方程; ()过点F的直线l( 不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别与 直线x=4相交于点P,Q.求P
8、 F Q的大小. 北京市西城区诊断性测试 高三数学 第6 页( 共6页) 2 0.( 本小题满分1 5分) 设函数f( x)=ae x+c o s x,其中aR. ()已知函数f( x)为偶函数,求a的值; ()若a=1,证明:当x0时,f( x)2; ()若f( x)在区间 0,内有两个不同的零点,求a的取值范围. 2 1.( 本小题满分1 4分) 设N为正整数,区间Ik= ak,ak+1 ( 其中akR,k=1,2, ,N) 同时满足下 列两个条件: 对任意x0,1 0 0 ,存在k使得xIk; 对任意k1,2,N ,存在x0,1 0 0 ,使得xIi( 其中i=1,2, k-1,k+1,
9、N). ()判断a k(k=1,2,N)能否等于k-1或 k 2-1 ;( 结论不需要证明) ()求N的最小值; ()研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由. 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 1 页（共 8 页） 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 数学参考答案 2020.5 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 10 小小题题，每每小小题题 4 分分，共共 40 分分. 1C 2A 3B 4D 5. A 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D 二二、填填空空题题：本本大大题题共共 5 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 25 分分.
10、 112 5 12 2yx= 13， 21+ 14乙，丁 15 注：第 14 题全部选对得 5 分，其他得 0 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分. 三三、解解答答题题：本本大大题题共共 6 小小题题，共共 85 分分. 其其他他正正确确解解答答过过程程，请请参参照照评评分分标标准准给给分分. 16 （本小题满分 14 分） 解： （）因为 /DEBF，DE 平面ADE，BF 平面ADE， 所以/BF平面ADE. 3分 同理，得/BC平面ADE. 又因为BCBFB=，BC 平面BCF，BF 平面BCF， 所以平面/BCF平面ADE. 6分 （）由DE
11、平面ABCD，底面ABCD为正方形， 得,DA DCDE两两垂直，故分别以,DA DCDE为x轴，y轴，z轴，如图建立 空间直角坐标系， 7分 则(0,0,0)D，(0,0,2)E，(2,2,1)F，(2,0,0)A， 所以( 2,0,2)AE= ? ? ，(0,2,1)AF= ? . 8分 设平面AEF的法向量( , , )x y z=n， 由0AE = ? ? n，0AF = ? n，得 220, 20, xz yz += += A B C F E D y x z 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 2 页（共 8 页） 令1y=，得( 2,1, 2)= n. 11分 平面DAE
12、 的法向量 (0,1,0)=m . 设钝二面角 DAEF的平面角为， 则 1 |cos| |cos,| | | |3 = m n m n mn ， 所以 1 cos 3 = ，即钝二面角 D AEF的余弦值为 1 3 . 14分 17 （本小题满分14分） 解：选择 ： () 当1n=时，由 11 1Sa=，得0p=. 2分 当2n时，由题意，得 2 1 (1) n Sn =， 3分 所以 1 21 nnn aSSn =（2n）. 5分 经检验， 1 1a =符合上式， 所以21 () n ann=N* *. 6分 ()由 1, , nm a a a成等比数列，得 2 1nm aa a=， 8
13、分 即 2 (21)1 (21)nm= . 9分 化简，得 22 11 2212() 22 mnnn=+ =+， 11分 因为m，n是大于1的正整数，且mn， 所以当2n =时，m有最小值5 14分 选择 : ()因为 1 3 nn aa + =，所以 1 3 nn aa + = 2分 所以数列 n a是公差3d =的等差数列 4分 所以 1 (1)32() n aandnn=+=N* *. 6分 ()由 1, , nm a a a成等比数列，得 2 1nm aa a=， 8分 即 2 (32)1 (32)nm= . 9分 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 3 页（共 8 页） 化
14、简，得 22 22 3423() 33 mnnn=+=+， 11分 因为m，n是大于1的正整数，且mn， 所以当2n =时，m取到最小值6 14分 选择 ： () 由 12 2 nnn aaa + =+，得 121nnnn aaaa + =. 所以数列 n a是等差数列 2分 又因为 1 1a =， 61 511aad=+=， 所以2d = 4分 所以 1 (1)21() n aandnn=+=N* *. 6分 () 因为 1, , nm a a a成等比数列，所以 2 1nm aa a=， 8分 即 2 (21)1 (21)nm= . 9分 化简，得 22 11 2212() 22 mnnn
15、=+ =+， 11分 因为m，n是大于1的正整数，且mn， 所以当2n =时，m有最小值5 14分 18 （本小题满分14分） 解： （）设事件M为： “从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子” ， 1分 由图表，得(0.41.24.06.04.41.20.4)0.051a+=， 解得2.4a =. 2分 由图表，知“C级”种子的频率为(0.41.22.4)0.050.2+=， 3分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2. 因为事件M与事件 “从这些康乃馨种子中随机抽取一种， 且该种子是 “C级” 种子” 为对立事件， 所以事件M的概率()1
16、0.20.8P M = =. 5分 （） 由题意， 任取一种种子， 恰好是 “A级” 康乃馨的概率为(4.41.20.4)0.050.3+=， 恰好是“B级”康乃馨的概率为(4.06.0)0.050.5+=， 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 4 页（共 8 页） 恰好是“C级”的概率为(0.41.22.4)0.050.2+=. 7分 随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X =， (25)0.2 0.50.5 0.20.2P X =+=， (30)0.5 0.50.3 0.20.20.30.37P X =+=， (35)0.3 0
17、.50.5 0.30.3P X =+=， (40)0.3 0.30.09P X =. 9分 所以X的分布列为： X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 10分 故X的数学期望()20 0.0425 0.230 0.3735 0.340 0.0931E X =+=. 11分 （）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. 14分 19 （本小题满分14分） 解： （）由题意得 1 , 2 1, c a ac = = 解得2a =，1c =， 3分 从而 22 3bac=， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy += 5分 （）当
18、直线l的斜率不存在时，有 3 (1, ) 2 M， 3 (1,) 2 N，(4, 3)P，(4,3)Q，(1,0)F， 则(3, 3)FP = ? ? ，(3,3)FQ = ? ? ，故0FP FQ= ? ? ? ，即90PFQ= ? 6分 当直线l的斜率存在时，设 :(1)l yk x= ，其中0k 7分 联立 22 (1), 3412, yk x xy = += 得 2222 (43)84120kxk xk+= 8分 由题意，知0 恒成立， M P A F N x y O Q 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 5 页（共 8 页） 设 11 (,)M x y， 22 (,)N
19、xy，则 2 12 2 8 43 k xx k += + ， 2 12 2 412 43 k x x k = + 9分 直线MA的方程为 1 1 (2) 2 y yx x = 10分 令4x =，得 1 1 2 2 P y y x = ，即 1 1 2 (4,) 2 y P x 11分 同理可得 2 2 2 (4,) 2 y Q x 12分 所以 1 1 2 (3,) 2 y FP x = ? ? ， 2 2 2 (3,) 2 y FQ x = ? 因为 12 12 4 9 (2)(2) y y FP FQ xx =+ ? ? ? 2 12 12 4(1)(1) 9 (2)(2) kxx xx
20、 =+ 2 1212 1212 4()1 9 2()4 kx xxx x xxx + =+ + 22 2 22 22 22 4128 4(1) 4343 9 41216 4 4343 kk k kk kk kk + + =+ + + 2222 222 4(412)8(43) 9 (412)164(43) kkkk kkk + =+ + 0=， 所以90PFQ= ? 综上，90PFQ= ?. 14 分 20 （本小题满分15分） 解： （）函数 ( )f x为偶函数， 所以 ( )()ff= ，即 e1e1aa =， 2分 解得0a =. 验证知0a =符合题意. 4分 （）( )esin x
21、fxx=. 6分 由0x ，得e1 x ，sin 1,1x ， 7分 则( )esin0 x fxx=，即( )f x在(0,)+上为增函数. 故( )(0)2f xf=，即( )2f x . 9 分 （）由( )ecos0 x f xax=+=，得 cos ex x a = . 设函数 cos ( ) ex x h x = ，0,x， 10分 则 sincos ( ) ex xx h x + = . 11分 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 6 页（共 8 页） 令( )0h x=，得 3 4 x =. 随着x变化，( )h x 与 ( )h x的变化情况如下表所示： x 3 (
22、0,) 4 3 4 3 (,) 4 ( )h x + 0 ( )h x 极大值 所以 ( )h x在 3 (0,) 4 上单调递增，在 3 (,) 4 上单调递减. 13分 又因为(0)1h= ， ()eh =， 3 4 32 ()e 42 h =， 所以当 3 4 2 e ,e) 2 a 时，方程 cos ex x a = 在区间0,内有两个不同解，且在区 间 3 0,) 4 与 3 (, 4 上各有一个解. 即所求实数a的取值范围为 3 4 2 e ,e) 2 . 15分 21 （本小题满分14分） 解：() k a可以等于1k ，但 k a不能等于1 2 k . 3分 () 记ba为区间
23、 , a b的长度， 则区间0,100的长度为100， k I的长度为1. 由，得100N. 6分 又因为 1 0,1I =， 2 1,2I =， 100 99,100I=显然满足条件，. 所以N的最小值为100. 8分 () N的最大值存在，且为200. 9分 解答如下： （1）首先，证明200N. 由,得 12 , N I II互不相同，且对于任意k，0,100 k I . 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 7 页（共 8 页） 不妨设 12n aaa+. 所以 42 11aa+ ， 64 12aa+ ， 200198 199aa+ ， 则 200 1100a+ . 故 122
24、00 0,100III. 若存在 201 I，这与条件中“存在0,100x，使得 i xI(1,2,200)i =”矛盾， 所以200N. 12分 （2）给出200N =存在的例子 . 令 1100 (1) 2199 k ak= +，其中1,2,200k =，即 12200 ,a aa为等差数列，公差 100 199 d =. 由1d ， 所以100(1) 199 k kI， 100 (1) 199 i kI(1,2,1,1,)ikkN=+.（注： 100 (1) 199 k 为区间 k I的中点对应的数） 所以 12200 ,I II满足条件. 综合（1） （2）可知N的最大值存在，且为200. 14分 北京市西城区诊断性测试 高三数学参考答案 第 8 页（共 8 页）
