1、武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制工程基础控制工程基础吴华春 机电工程学院武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1、了解建立系统微分方程的一般方法，能对简单的机械系统和电气系统列写出动态方程式。
2、2、熟悉拉普拉斯变换和反变换，并能应用拉氏变换求解线性定常微分方程。3、掌握传递函数的概念及性质，并掌握典型环节的传递函数形式。4、掌握由系统微分方程组建立方框图的方法，掌握用方框图等效变换求传递函数的方法。5、掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。教学重点：教学重点：建立系统数学模型的解析法，控制系统的传递函数，用拉氏变换求解线性定常微分方程。教学难点：教学难点：数学模型的解析法，传递函数方框图的绘制与简化。教教学学目目的的第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of
3、 Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 重达2吨的宝马小轿车，现用老牛拉着行驶，要求宝马轿车行驶速度如下图要求，请问老牛如何控制使力？atvmafFF Fmgmgf=2000NftmvF1600+20002000武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型动态模型动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，它一般是时间函数。之间关系的表达式，它一般是时间函数。如如：微分方程（时域分析）
4、，传递函数（复数域），频率特性（频率域），状态方程（现代控制理论）等。静态模型静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数的关系。一般不是时间函数。描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式，称为系统的达式，称为系统的数学模型数学模型，它揭示了系统结构、参数及，它揭示了系统结构、参数及性能之间的内在关系。性能之间的内在关系。一、数学模型一、数学模型 ktFtx只与现在有关武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制
5、系统的数学模型控制系统的数学模型二、建立数学模型的方法二、建立数学模型的方法（1 1）解析法）解析法 解析法解析法是根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理、化学等定律，列写出每一个元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，从中求出系统输出与输入的数学表达式式。2200012ddsinddZZmckZmZttt武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、建立数学模型的方法二、建立数学模型的方法（2 2）实验法）实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数
6、学模型进行逼近，这种方法也称为系统辨识系统辨识。y=p1*x7+p2*x6+p3*x5+p4*x4+p5*x3+p6*x2+p7*x1+p8 Coefficients:p1=2.2048e-009 p2=-3.5948e-007 p3=2.389e-005 p4=-0.00082949 p5=0.015994 p6=-0.16716 p7=0.84243武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、建立数学模型的一般步骤二、建立数学模型的一般步骤（1 1）明确输入、输出；分析信号
7、传递、变换过程；）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2 2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数 学关系式；学关系式；注意：因果关系注意：因果关系；（3 3）消去中间变量，得到输出）消去中间变量，得到输出输入关系式；输入关系式；（4 4）整理成标准形式。）整理成标准形式。一、数学模型建立的依据一、数学模型建立的依据 反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论。反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论。微分方程是在时域中描述系统(或)元件动态特性的数学模型。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University
8、 of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、控制系统微分方程的列三、控制系统微分方程的列)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCi解：)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo受力分析受力分析主要有质量、弹簧和阻尼组成。主要有质量、弹簧和阻尼组成。M-K-CM-K-C系统系统弹簧阻尼隔振器武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 电器系统
9、主要包括电阻、电容和电感等基本元件。列写微分方程采用基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律。A、基尔霍夫电压定律：对于任一集总参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路所有支路电压的代数和等于零。B、基尔霍夫电流定律：对于任一集总参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。回路L1:-u1+u2+u4=0回路L2:-u4+u5+u6=0回路L3:-u2+u3-u5=0武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型dttiCtudttiCtidtdL
10、tRituoi)(1)()(1)()()(解：)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)()()()()(tHtqtqtqdttdHAooi解：A：箱体截面积；)()()(tqtHtHdtdAi武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型直流电动机直流电动机 解：电枢回路方程aaaaueRidtdiLL
11、maLmaaamamaMkkRdtdMkkJukdtdkkRJdtdkkLJ122aake 反电势方程LMMdtdJ转子运动方程amikM 电磁力矩方程武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 tftxKKKKdttxdm212122武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 tutuRRRdttduRLCRRdttudRLCRiooo2212212221武汉理工
12、大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型综上所述：综上所述：（1 1）物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。）物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。（2 2）同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。）同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。（3 3）在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于）在通常情况下，元件
13、或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。惯性质量、元件或系统中所包含的独立储能元的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。弹性要素、电感和电容都是储能元件。（4 4）描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数）描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。性，取决于系统结构及其参数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模
14、型四、线性系统和非线性系统四、线性系统和非线性系统1 1）线性系统）线性系统 可以用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。如：质量、弹簧和阻尼器系统，RLC无源电网络系统。2 2）线性系统微分方程的一般形式）线性系统微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。)()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn武汉理工大学武汉理工大学Wu
15、han University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（2 2）非线性系统）非线性系统 用非线性微分方程描述的系统，称为非线性系统。如：刚才所说的液位控制系统，磁悬浮列车。五、非线性数学模型的线性化五、非线性数学模型的线性化 1 1）线性化问题的提出）线性化问题的提出 实际系统或元件都有不同程度的非线性，即输入与输出之间的关系不是一次关系；线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需
16、要。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型所谓所谓线性化线性化就是在一定范围内，用线性方就是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。程代替非线性方程的近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线直线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。2 2）泰勒级数展开法）泰勒级数展开法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：3003320022000)()(!31)()(!21 )()()()(xxxxdxxf
17、dxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：0)(xxdxxdfK或：y-y0 =y=Kx，其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3 3）滑动
18、线性化）滑动线性化切线法切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化非线性关系线性化A线性化增量增量方程为：y y=xtg切线法是泰勒级数法的特例。v确定系统各组成元件在平衡态的工作点；确定系统各组成元件在平衡态的工作点；v列出各组成元件在工作点附近的增量方程；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；v消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程。消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程。4 4）系统线性化微分方程的建立步骤）系统线性化微分方程的建立步骤武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控
19、制系统的数学模型控制系统的数学模型实例：液位系统的线性化实例：液位系统的线性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000)(!21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解解：稳态时：)(tH非线性项的泰勒展开为：节流阀节流阀节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统液位系统HHHHHHdHHdHH0000021)(则：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0)(
20、1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi实际使用中，常略去增量符号而写成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：变量用平衡工作点的值加增量表示武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 线性化处理的注意事项线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只
21、能作为非线性问题处理。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.22.2 拉氏变换和反变换拉氏变换和反变换则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；0)()()(dtetftfLs
22、Fst 称为拉普拉氏积分；拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数原函数；L为拉氏变换的符号拉氏变换的符号。0dtest一、拉氏变换的定义武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1）指数函数atetf)(（a为常数）指数函数0tf(t)1)0)(Re(1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat二、几种典型函数的拉氏变换 武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Tech
23、nology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2）单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数0100)(1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3）单位速度函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst bababavduuvudv武汉理工大学武汉理工大学Wuhan Univer
24、sity of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4）单位加速度函数02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5）单位脉冲函数(t)0tf(t)单位脉冲函数1)0(1lim)0(0)(0tttt且)1(1lim1lim)(000sstesdtetL)()1
25、(lim)1(1lim00seesss由洛必达法则：1lim)(0setL所以：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6）正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有：tjtjtjtjeeteejt21cos21sin武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制
26、系统的数学模型0)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj从而：22cossstL同理：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章
27、第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst证明证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：式中，f(0)，f(0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)0()
28、0()0()()()0()0()()()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)武汉理工大学武汉
29、理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 初值定理 证明证明：)(lim)0()(lim0ssFftfst 初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。
30、0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 卷积定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若t0时，f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制
31、工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型证明证明：0)()()()(dtetgtftgtfLst00)()(dtedtgfstt0)()(dsGefs00)()(dtedtgfst00)()(ddtetgfst)()(sGsF武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 时间比例尺的改变0constant)(aasaFatfL例：11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLat武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控
32、制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、拉氏反变换及其求法拉氏反变换：已知F(s)求f(t)的数学过程。0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。拉普拉斯反变换的公式为：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如何分解如何分解F(s)？分解依据分解依据逆变换逆变换已知已知F(s)求求f(t)的数学过程的数学过程)()()()(21sFsFsFsFn)()()()(21tftftftfn基本思想基本思想关键：
33、关键：部分分式法部分分式法多项式定理、代数分项分式法多项式定理、代数分项分式法将将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，分解成标准形式的简单函数之和，然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)1、拉氏反变换求法武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2、基本步骤)()()(01110111sBsAasasasabsbsbsbsFnnnnmmmm niimjjnmpszspspspszszszssF112121)()()()()()()(根据
34、多项式定理求F(s)的极点根据分项分式法，将F(s)展成部分分式 求出待定系数ci（复变函数中的留数）F(s)的极点：使F(s)=的s值F(s)的零点：使F(s)=0的s值求逆变换的关键：求逆变换的关键：如何求出如何求出F(s)的极点？的极点？如何求待定系数？如何求待定系数？注意：求出复杂的F(s)的极点也是困难的。niiinnpscpscpscpscsF122111)(查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换 nitpitpntptpinecececectf12121)(在复变函数中ci称为s=pi极点处的留数。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控
35、制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3、待定系数的求法 由于由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复数极点、的极点可以是简单实数极点、共轭复数极点、重极点，故需分别讨论：重极点，故需分别讨论：niiinnpscpscpscpscsF122111)(简单简单极点极点简易计算式：简易计算式：niniiiipspsccpspscpspscpssF)()()()(2211ipsiipscpssFi)(limipsiipssFc)(求求ci的步骤：的步骤：用乘上用乘上式两边式两边，两边取极限，两边取极限令令武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University
36、of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 F(s)只含有不同的实数极点niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。nitpiniiiieApsALsFL1111)(于是：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求)6(2)(22ssssssF的原函数。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAss
37、sssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)()3(3232sssssssFsA武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型54)3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt215431158131)(ssssF即：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 F(s)含有共
38、轭复数极点 nnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)()(pspspspsAsApspssF或或假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p
39、1、p2为共轭复数，因此，A1和A2的也为共轭复数。ipsiipssFA)()(武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。10,)2()(222nnnssssF解解：)1)(1()(222nnnnnssssF21nd令：，则：sAjsjsAsAjsjsssFdndndndnn3212)()()(武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型dndnjs
40、jsnAsAs212根据：dndnnjAAAj1212有：dndnjAAAj121即：nddnnAAAAA2;121121由上式两边实部和虚部分别相等，得：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2222)()(1)(dnndnnsssssF1022223sssAnnn而：sjsjsssFdndnn1)(2)(所以：22222)(1)(1dnddnnssss2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University o
41、f Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型tetetfdtdtnnsin1cos1)(2查拉氏变换表得：cos,sin1221 arctg令，即：0),sin(11)(2ttetfdtn于是：0,sincos11122ttteddtn武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。)1(1)(2sssssF解解：1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA2321212321
42、2)()()1(jsjsAsAsFss武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型0,123)(2321)(21212121AAAAAA即：所以：11)(2sssssF2223211sss武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型22222321212321211ssss2222232123312321211ssss武汉理工大学武汉理工大学Wuhan Universi
43、ty of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型查拉氏变换表得：tetetftt23sin3123cos1)(22ttet23sin2123cos2332120,6023sin3212ttet武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：)()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方
44、法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(!2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型tpnnentpsL0)!1(
45、)(1101注意到：)0()!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr所以：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例：求的原函数。)1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2)1()1)(3()1()3(2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of T
46、echnology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型21)1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型五、应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of
47、 Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 实例实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi(t)=1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换：)0()0()()(222oooo
48、xsxsXsdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooostLsXtxLii1)(1)()(对方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：武汉理工大学
49、武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型61065121sssA212)3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)0()0()0(2)0()0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto
50、)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：零状态响应零输入响应武汉理工大学武汉理工大学Wuhan University of Technology控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。由上述实例可见：q
