1、 tCtCDiEietCDiEtCbbatiab00000002220 将（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有 02020000tCDEtCitCbbb tibetC0(5.5.6）一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eit这种形式的 解。令（5.5.4）（5.5.6）以及上式代入（5.5.2），得到 titaottittieetCDiEeei020222212 tiaeDEtC0002 其解为：将（5.5.4）（5.5.5）、（5.5.6）代入（5.5.3），有titieiDEeiDE0022000 其解为0201DE(5.5.7）202002121DE,(5.5.8）可将Ca
2、0(t)与Cbo(t)的通解表示为：tititiaeBeAeDEtC21021002 titiboBeAetC21 假定初始时刻原子处于b态 100000baCC得到0121BABA tititiaeBeAeDEtC21021002 titiboBeAetC21(5.5.9）A与B的 解为：12BA(5.5.10）其中：202021DE(5.5.11）24122000210202222002100tsineiDEeeeDEeDEeeeDEtCti/ti/titititititia(5.5.12）初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用下，t时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：222020tsi
3、neDEtCtPtaa(5.5.13）这就是拉比强信号解的结果 202020202202DEDEtsineDEtPta(5.5.13）跃迁几率的变化将包括在exp(-t)指数衰减曲线包络内。如图（5-4）无阻尼的情况)t(sinDEtPa2220在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子，跃迁到b能态的几率是等幅周期性变化的。如图（5-3）拉比频率拉比频率2020DE 强信号下的线性函数 22020DEg2022DE线宽功率加宽功率加宽(5.5.15）(5.5.13）(5.5.16）3.7 单模强信号理论 激光器常工作在高强度区（功率加宽和碰撞加宽降低了多普勒效应），是原子均匀加宽可用速率方程近似
4、来分析。一种更精确的理论由Lax建议，后由stenholm和Lamb及Feld和Feldman所完成。引入复极化强度),(),(,2,tvziStvzCtvzDetvzPnnabtinnnt时刻，位于时刻，位于z并以速度并以速度v运动的一个系集运动的一个系集同相分量同相分量正交分量正交分量引入粒子布居差()022.(,)sinnnLitnabnP tDedvz v tk zdzL（3.5.20）得 LnnnnntvzPdvzkdzLtiStCtP0,sin2tvztvztvzbbaa,集居数矩阵运动方程(3.5.1)(3.5.4)得Cn(z,v,t)、Sn(z,v,t)和粒子布居差微分方程，假
5、设Sn可以表示成位置坐标z的傅里叶级数nnannnSCtvzC,jzikjjnnevqtvziDNtvzS1212,(3.7.2)振幅方程可得tvzPn,(3.7.2)tPn自洽方程 0,1,21nnabnnnabiabTIvIIvvdvWrZkuNN(3.7.10)In隐含在其中，用数值计算来确定光强 图3.17 对相对激发度的几个不同值,无量纲强度对失谐量的曲线图。参数如下：a=0.6ab，b=1.4ab，ku=40ab(极端多普勒极限情况)。从图中看出，所有的曲线都呈现了兰姆凹陷。TNNN 实线是使用连分式作出的精确计算,虚线给出三级近似理论结果；十字叉给出速率方程近似下(连分式中的一项
6、)的几个值。我们看到，当相对激发度为我们看到，当相对激发度为1.1，且三级近似，且三级近似结果与精确计算数值有显著差别时，速率方结果与精确计算数值有显著差别时，速率方程近似与精确值符合得还相当好。程近似与精确值符合得还相当好。图3.18 在中心调谐时，激光输出强度作为相对激发度的函数图形。图3.19 在相对激发度很大时，激光输出强度作为相对激发度的函数图象虚线表示速率方程虚线表示速率方程近似的结果。对于近似的结果。对于谐振激光器，只在谐振激光器，只在强度强度In大于大于10(大于大于3.5)才与精确结果有明才与精确结果有明显的偏差；而对失显的偏差；而对失谐激光器，速率方谐激光器，速率方程近似甚
7、至对所考程近似甚至对所考虑的最大强度值也虑的最大强度值也给出了很好的近似。给出了很好的近似。TNN第8章瞬态相干光学效应 讨论强短激光脉冲与共振介质(其吸收跃迁频率与入射激光频率相同或十分相近)瞬态相干作用过程中产生的几种新效应。即介质的自感应透明效应、光子回波效应、光学章动效应以及自感应衰减等效应。瞬态相干作用要求激光的脉冲时间 足够短,满足的条件。21,TT横向驰豫时间(又称均匀消相时间)介质的纵向驰豫时间 非均匀加宽机制，定义T2*为非均匀横向驰豫时间纵向驰豫时间T1：跃迁的自发辐射寿命横向驰豫时间T2：原子发出的光波列的 相干时间，反应了各种均匀加宽机制对跃迁速率产生的 影响12T 1
8、2*T均匀加宽的 宽度非均匀加宽的 宽度 瞬态相干过程的情况下，共振介质在某一时刻对入射光场的反应特性，不仅决定于该时刻光场的瞬时值，而且也与该时刻以前入射光场相对于时间的积分有关，即介质对某一考查时刻之前的入射光场的行为呈现出有“记忆”的能力。由于涉及的激光很强，介质的极化强度不再是场强E的线性函数，用微扰的方法求解密度矩阵的运动方程是不合适的，而必须直接去求解。鉴于几种瞬态相干光学效应与核磁共振现象十分类似，所以我们采用类似于核磁共振的布洛赫(Bloch)矢量方程。考虑二能级系综，且系综内具有速度分量为vx的 一群原子，其系综的密度矩阵元按式（7.1.17.1.4）为（不考虑外界激发作用）
9、5.1 密度矩阵运动方程的矢量描述1、光学布洛赫(Bloch)方程*abbabbaaabababbabbbbbabbaaaaaat,zDEiit,zDEit,zDEi0 则 设光场为线偏振光kztikztixeeEkztcosEt,zE200(5.1.2)(5.1.3)t,zDEDEVxab 定义1,1121TTba(5.1.4)再令0DE(5.1.5)则密度矩阵方程可改写为*abbaababbbaaabbbbbbaabbbaaaabaabaaTikztcosiTkztcosiTkztcosi210101aa0为无外场时系综处于热平衡时出现在|a态的几率。（aa-aa0)/T1表示由于弛豫过程
10、粒子离开能态|a的几率。(5.1.6)去掉高频项 （旋转波近似），则密度矩阵变换为：作变换(5.1.7)()(kztibabakztiababeekztie2100122TTiTiiTibbaabbaabaabbbaabaabbbaabaabbaabbaabbaabbaab(5.1.10)其中abzkv(5.1.9)为共振调谐参量。表示入射光频率与介质共振跃迁中心频率之间的失共振程度。引入记号(5.1.11)bbaabaabbaabwivu 密度矩阵方程（5.1.10）可表示为：1022TwwvwTvwuvTuvu(5.1.12)(5.1.13)其中000bbaawabzkv(5.1.9)若所
11、考虑的时间范围tT1、T2，则在方程(5.1.12)中可令T1，T2 ，从而可得定义一个虚构的矢量B，且B=B1i+B2j+B3k=ui+vj+wk(5.1.14)再定义一个矢量，且 =1i+2j+3k=-i+j+k(5.1.15)122133113223321BBwdtdBBBvdtdBBBudtdB(5.1.16)BBdtd布洛赫(Bloch)矢量方程。布洛赫矢量角速度矢量 矢量与（与场的 振幅有关）和（表示了场频率的失谐程度）有关，所以表征入射光场的特性。BBdtd(5.1.17)布洛赫(Bloch)矢量方程，表示在一个虚构的 空间(i,j,k)中，B绕方向以角速度|进动。B的各分量中包
12、含了原子系综的 密度矩阵元。2、布洛赫矢量的物理意义得(5.1.11)bbaaabbaababbaabwivuIm2Re2CCePCCeNDNDtzPkztikztiabbaabx.21.,0 00Im1Re1PNDvPNDu(5.1.22)(5.1.24)k轴上分量w表示了介质的反转粒子数。i轴上分量u对应极化强度P0的实部，反映了介质得色散。j轴上得分量v对应极化强度P0的虚部，反映了介质的吸收（或放大）。bbaaw 00Im1Re1PNDvPNDu(5.1.24)5.2 瞬态相干辐射场方程 讯号场Es(z,t)与宏观极化强度Px(z,t)应满足波动方程1、讯号场方程22222222414
13、tPctEctEczExsssCCeNDtzPkztiabx.,(5.2.2)zvvabpabdvevpz221对速度取平均ab最可几速度讯号场CCeEtzEkztiabs.,利用Eab(z,t)为空间的慢变化条件，并令=0，可求得：babaababikNDzt,zEikNDzt,zE22babaababikNDLtzEikNDLtLE2,2,当入射光场与介质的有效作用距离为L时，信号场的振幅为(5.2.6)因此，如果求出 ，就可以求出极化强度产生的讯号场ab2、面积定理 它描述入射光场强相对于时间的积分(脉冲面积)在空间的演变情况。光脉冲在介质中传播，定义 t dtzEDtzzAt,lim)
14、(0(5.2.7)为光整个脉冲通过点z的脉冲“面积”。由物理意义知，E0(z，-)=E0(z，+)=0。对于一个脉冲时间为，振幅为E0的方形脉冲，0DEzA 脉冲面积和脉冲能量不同，通过z处的脉冲能量定义为 t dtzDEt dtzIzW20,(5.2.8)McCall和Hahn发现，对于 T1、T2的强脉冲，A(z)所遵守的运动方程为（面积定理）(5.2.9)其中(5.2.10)zAdzzdAsin21 0422gkND圆频率域多普勒线型函数的中心值 这就是正常吸收的比尔(Beer)定律，即为介质的吸收系数。（2）对于高功率脉冲，可将面积定理改写为积分公式（1）对于弱的光脉冲(小的面积)，则
15、有sinAA，式(5,2,9)的解为 2/)0(zeAzA(5.2.19)因此，光脉冲在介质中传播的光强为 zeIzI)0(5.2.20)在z 时，A(z)有极限(5.2.21)zzAAdzzAzdA0)()0(21sin积分后得 2202zeAtgzAtg 或 21202zeAtgtgzA)(012)(02lim放大介质共振吸收介质nnzAz(5.2.22)(5.2.23)对于A(0)的脉冲，其面积随z的增大而减小，最后趋向于稳定的平衡点A=0。这是由于，对于A(0)的起始脉冲,其面积向最近的偶数倍值接近，此后面积不变。共振吸收介质。z轴以/cm为单位 当A(0)=0.9时，脉冲随z的增大而
16、减小，最后趋向零；而当A(0)=1.1时，脉冲趋向一个稳定的形状(其面积为2)，这和图5.4中最下面两条线的趋向是一致的。图5.5为计算机算得的当输入值为A(0)=0.9和1.1时脉冲形状的演变。图中时间标度为任意单位，z轴仍以/cm为单位。(3)对于放大介质,0 从式(5.2.23)可以看出，对于给定的初始面积，随着z的增加，脉冲面积将趋向与其最近的奇数倍值，例如、3、5等等，并且达到稳定。如果将图5.4从右往左看(相当于仍取仅为正，将z取作-z，即光脉冲向左传播)，就属于这种情形。(4)数值计算和实验表明，如果超短光脉冲的初始脉冲A(0)范围为2（m-1/2)A(0)，得到对均匀加宽 22
17、22hhg(5.3.9)21cnv(5.3.10)可见vc/n，即强短脉冲在共振吸收介质中的传播速度小于光在该介质中的传播速度。例如，对于吸收系数z10-2cm-1的气体介质，脉宽 10-5s，n=1，则由式(5.3.10)得到v 2107cm/s，比光速小了三个数量级。Hg激光光源，=794.77nm，=710-9s(介质的T14010-9s，T25510-9s)。图中实线是不考虑驰豫算得的理论曲线，黑点是实验值。0.7%高强度脉冲,透过率可达约90%=1518ns，晶体厚0.97cm，Cr3+质量掺杂比为0.03%，样品置于液氮温度(1.72.2K)以尽量增大T1值和T2值。由图中可以看出
18、，当入射光脉冲面积满足A0 2时，透过率趋近于1，亦即对应自透明情况。在放大介质中传播，稳定的面积为A=、3、5，其传播规律可以使用图5.4和图5.5，只是脉冲沿传播方向的变化现在用图中-z的方向运动来描述。在放大介质中，面积为(或的任一奇数倍)的脉冲使初始被激发的原子回到低能级，因此脉冲的能量随着距离的增加而增加。直到和介质中的线性损耗达到平衡为止。由于脉冲面积是常数，因此，随着脉冲能量的增加，脉宽必然逐渐变窄，图5.5沿-z方向就描述了这一情形，所以在放大介质中就不像在吸收介质中那样有一个稳定的脉冲形状。在吸收介质中，初始脉冲面积必须大于的阈值条件才能发生自透明现象，对于放大介质，阈值条件
19、是不存在的。在放大介质中脉冲传播的速度比光速快，在式(5.3.10)中令，w(t)1，低能态上的分子在入射光作用下不能完全被激发到高能态 求透射光，需求出信号场振幅再将对vz的积分转换为对共振调谐参量的积分，有 babaababikNDLtzEikNDLtLE2,2,(5.2.6)zvvabpabdvevpz221(5.2.3)其中由(5.1.11)知ivuab21(5.4.6)divuekvpkvpab2)(21(5.4.7)(5.4.4)首先假设入射激光的谱线宽度远小于介质分子的多普勒线宽kvp，所以高斯分布函数可直接移出积分号外；其次假设入射激光的频率十分靠近多普勒谱线的中心位置，即=1
20、值很小，正负取值分布可看成对称，故可近似认为0，于是 近似处理 tJekvwipkvpab0)(2120(5.4.8)(5.2.6)信号场振幅为 tJDewNLvtLEpkvpab0)(23210,(5.4.9)由上式可以看出，透射激光场是一个以 t为变量的零阶贝塞尔函数。当 t 1时，J0(t)可用相应的三角函数近似代替，因此透射激光场振幅随时间近似以 为频率作周期性振荡起伏。在矢量图上，B矢量在抽象空间的运动是章动，反映了原子在上下能级间的变化情形。按式(5.2.4)，样品产生的讯号场为 kLttJDewNLvtLEpkvpscos02,0)(2321(5.4.10)当考虑驰豫的影响时，布
21、洛赫方程难于得到解析解。如果假定T1=T2=T，可得到一个分析解。经过类似的推导过程,可求得 kLttJeDewNLvtLETtkvpspcos02,0)(2321(5.4.11)可见，当考虑驰豫的影响时，出现了衰减因子,表示讯号场振幅具有以J0(t)这一较慢频率的振荡，同时又以e-t/T的形式衰减。以上表示了在入射强光场的作用下，共振介质通过感应电极化而辐射出的瞬态相干波场。式中E0入射光振幅。一般说来，EabE0，因此通过样品后的总透射光强可表示为 202,tLEEEIabtttLEEEIabt,2020(5.4.12)随时间而变的透射光强为第二项 tJetITtt0(5.4.13)上式表
22、示发生光学章动效应时，瞬态透射光强呈现出阻尼式周期振荡，振荡频率为 。对于普通弱光场入射，因E0值过小，值也很小，因此观察不到这种效应。0DE前面的分析是针对具有宽的非均匀加宽线的介质进行的。对于较窄的非均匀较窄的非均匀加宽介质或以均匀加宽均匀加宽为主的介质，可以证明，透射光强依然呈周期性时间起伏变化，只是表示式和式(5.4.13)有所不同，表明起伏振荡的时间阻尼特性各不相同。因此通过光学章动效应研究可以间接了解被测共振介质的谱线加宽性质和时间驰豫特性。5.5 光学自由感应衰减 当某种介质受一恒定的共振激光场的作用，经过一段时间达到稳定状态后，突然终止这种作用，由于共振介质内的感应极化波场并不
23、马上消失，而是继续辐射出相干波场，只是光强随时间很快衰减，这种现象称为光学自由感应衰减。由于介质是被相干激发的，所以光学自由感应衰减与一般的自发辐射具有不同的性质：前者的强度与介质粒子数密度的平方成正比，它只发生再前进的方向上。仍用布洛赫方程和讯号场方程找出自由感应衰减光的数学表示式。我们将介质在光照射下的稳定状态(称为稳态预置)作为初始状态，在稳态预置阶段，所以在t0时，布洛赫方程(5.1.12)为 0wvu0001022TwwvTvwuTuv(5.5.1)解上式可得t=0时B的三个分量值 21202001000TTwwTWvWu(5.5.2)2222121 TTT 假设稳态预置阶段是由st
24、ark电场所致，则再t0阶段，令stark电场消失，介质分子的跃迁频率偏离了0，因此调谐参量0(5.5.4)由于光场与介质不在满足共振条件，可略去的项，于是布洛赫方程为10220TwwwTvuvTuvu(5.5.4)求解方程得u(t)、v(t)、w(t)。为求通过样品得讯号场振幅，需计算ab作5.4节类似处理得 Eab(L,t)ab 若信号和激光同时探测，则总的输出光强中随时间变化部分为tTTeewNDLvtLETTTtkvpabp021211)(023cos111,212221(5.5.8)tTTeewLENDvtLEEtLITTTtkvpabtp021211)(0202230cos1112
25、,2,212221(5.5.9)表明，在采用连续激光入射和使用Stark电场调制方法t=0时突然结束稳态共振相互作用前提下，由于自由感应衰减过程的存在，使得透射光强是一个强激光辐射的背景上叠加上一个指数衰减信号，这个信号又受到一个以Stark频移0 为频率的余弦函数的调制。自由感应衰减信号比光学章动效应产生的信号衰减要快得多。tTTeewLENDvtLEEtLITTTtkvpabtp021211)(0202230cos1112,2,212221(5.5.9)透射光强依指数规律衰减，并以Stark频移的频率作拍频振荡。图中信号显示出由下向上的缓慢变化，是由于这一信号是叠加在第二个光学章动信号之上
26、的缘故。实验结果 图5.11所示的第二个章动信号和本节所讨论的自由感应衰减信号都是在关闭Stark场之后产生的，但两个信号的产生机理并不相同。前者仍然是在光场的作用下产生的，只是由于关闭了Stark 场，原子的吸收谱线的轮廓由图5.13的实线位置移到虚线位置，光场和速度为vz的那群原子失去了共振作用，而和速度为vz的那一群原子发生了共振。因此，第二个光学章动信号的光频为激光频率，信号的振荡频率为 ，衰减因子为e-t/T2。0DE 关闭了Stark 场，原子的吸收谱线的轮廓由图5.13的实线位置移到虚线位置，光场和速度为vz的那群原子失去了共振作用，而和速度为vz的那一群原子发生了共振。自由感应
27、衰减信号仍然是由速度为vz 的那一群原子发射的，但脱离了光场作用，并且由于Stark 场关闭，产生了频移0，所以这部分原子发射自由感应衰减信号的光频为=+0，信号的调制频率为，衰减因子为 112122TTTte5.6 光子回波 在满足相干作用的条件下，如果有两个强短光脉冲相继入射到共振吸收介质中，其中第一个脉冲为/2脉冲，第二个脉冲为脉冲，两个脉冲的间隔满足 s，因此由分量决定，各种不同速度的粒子群的布洛赫矢量B均绕-i轴转/2角，转到-j轴上，此时介质宏观电极化强度具有最大值，能辐射光，与入射光混在一起。由于各原子群速度的大小和方向不同，转动的结果使得不同原子的B在i-j平面内逐渐分散开来，
28、这一阶段称为多普勒消相过程，即由于介质的原子谱线的非均匀加宽影响，使得不同种类的原子电偶极矩间逐渐失去同位相关系。/2脉冲结束后，外场为零，即=0，此时由分量决定。这时各速度不同的粒子群的B矢量以不同的角速度j绕k轴转动，直到第二个脉冲入射。各群粒子的B矢量在i-j平面上转动的角度为js，这样一来，原来在i-j平面上的旋转较慢的B的矢量(如Bs和Bs)反而比旋转较快的(如Bf和Bf)“跑”在前头。从图中可以看出，脉冲的作用，是使各个原子的感应电偶极矩之间的失位相过程正好发生逆转，而不是使共振介质的高低工作能级的粒子数分布发生反转。经过时间s，第二个脉冲(脉冲)入射，此时，因此脉冲使各个B矢量绕
29、i轴旋转1800 第二个脉冲结束后，各个不同的B矢量又将以不同的角速度j绕k轴旋转，经过时间后，Bf和Bf好赶上了Bs和Bs，并同时到达了j轴的正方向。此时，所有原子偶极矩恢复到同位相，这一阶段为多普勒消相的复相过程。由于宏观极化强度重新恢复为极大值，并辐射出第三个光脉冲，即光子回波脉冲。由上面的分析可知，/2脉冲使介质粒子处于激发状态(w=0，上、下能级粒子数相等)，介质从入射光场中吸收了相干能量。经过了第一个s时间后，由于多普勒增宽，各群粒子失去了同位相，即不同粒子的感应电偶极矩间的同位相关系逐渐失去，因此宏观极化强度也随之减弱。第二个脉冲入射的结果，主要是使不同感应电偶极矩间的失同相位过
30、程发生逆转，从而在经过大约s时间后，使得介质的宏观极化强度因重新恢复同位相而达到极大，并相应地辐射出第三个光脉冲，即光子回波脉冲。应用布洛赫方程对光子回波进行理论计算。将光子回波发生的过程分为四个阶段，并设入射光脉冲均为矩形波仍采用Stark开关控制原子的中心跃迁频率。在0t1和t2t3时间内，Stark电场加上，光场和原子能级共振，调谐参量为，介质表现为光学章动光学章动行为；在t1t2和t3t4时间内，Stark场去掉，光场和原子能级偏离共振偏离共振，调谐参量为=+0，介质表现为光学自由感应衰减光学自由感应衰减的行为。方程(5.1.12)在T1，T2时，在初始条件Bu(0),v(0),w(0
31、)条件下，并令w0=aa0-bb0=0，则解为 221cos00sin00sin00cos01cos00sin00twutvwtwtwutvtvtwutvutu(5.6.2)在0t1阶段，初始条件为B=0,0,w(0)，上式(5.4.4)光学章动光学章动 在t1t2的光学自由感应光学自由感应阶段，阶段，初始条件为B=u(t1),v(t1),w(t1)，(5.5.6)中令w0=0，可得t2时刻B的各分量 1cos10sin01cos0102211011021wtwwtvwtu(5.6.3)tt22110(5.6.4)23222332tttt式中 2122122121212112121211212
32、cossinsincosTttTttTttetwtwetttvtttutvetttvtttutu(5.6.5)在t2t3的光学章动的光学章动阶段，初始条件为B=u(t2),v(t2),w(t2)，由(5.6.2)可得t3时刻B的各分量 23222322233222322323222322231cossinsincos1cossintwtutvtwtwtwtutvtvtwtutvtutu(5.6.6)(5.6.7)从u(t)与v(t)可以求得 ，讯号场振幅以及总光强中随时间得变化部分。由于EabE0，所以随时间得变化部分即拍频项为 在t3t4 的光学自由感应光学自由感应阶段，阶段，初始条件为B=
33、u(t3),v(t3),w(t3)，类似(5.6.5)，可得t3时刻B的各分量 232323333333333cossinsincosTttTttTttetwtwetttvtttutvetttvtttutu(5.6.5)ab 式中0为Stark频移，表示对共振调谐参量（从而也是对原子运动速度）取平均 ttttewkNLtLEEtITtabtcos2sinsin1cos02,23221030402(5.6.9)sttttt3123(5.6.10)光子回波的特点：光子回波的特点：（1）当10=/2，32=时，It(t)达到极大值。即第一个光脉冲为/2脉冲，第二个光脉冲为脉冲，光子回波最大。（2）当t=t 时，光子回波强度最大。由式(5.6.10)和图(5.16)可知，t时刻正是图中所标t4时刻，即当第二个脉冲结束以后经过s时间发出了光子回波。(3)在光子回波条件下，即10=/2，32=，t=t，式(5.6.9)简化为 341022TttewkNLtI(5.6.11）可见，光子回波的振幅Eab按时间常数T2以指数规律衰减，T2与快速的非均匀多普勒消相过程无关。同时，振幅正比于原子密度N，而强度正比于N2
