1、主讲:符春生第五章第五章弯曲应力弯曲应力yzxF FSM MF FSM M=M Mz z5 51 1 概概述述纯弯曲梁纯弯曲梁分析分析截面上正应力截面上正应力弯矩弯矩M M作用产生什么应力作用产生什么应力?FS纯弯曲纯弯曲：如图如图CDCD段。段。剪切剪切(横力）弯曲：横力）弯曲：如如图图ACAC段和段和BDBD段。段。MABCDF aaF5 52 2 梁弯曲时横截面上的正应梁弯曲时横截面上的正应力力纯弯曲梁纯弯曲梁：弯矩不为零，剪力为零弯矩不为零，剪力为零（1 1）横线：变形后仍为）横线：变形后仍为直线直线，但转过一角度，但转过一角度，并与纵线仍正交并与纵线仍正交。MM一一.纯弯曲梁的正应力
2、纯弯曲梁的正应力中性层与横截面的交中性层与横截面的交线线中性轴中性轴z z；z（2 2）纵线：弯成弧）纵线：弯成弧线线，上部缩短，下上部缩短，下部伸长部伸长,中间有一层纵线既不中间有一层纵线既不伸长，也不缩短伸长，也不缩短中性层中性层。y对称轴对称轴1 1几何关系几何关系yz横线横线纵线纵线（1 1）平面假设：）平面假设：横截面变形后仍为平面，与弯曲横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线正交；后的纵线正交；基本假设基本假设 （2 2）单向受力假设：）单向受力假设：各纵向线（纤维）之间无挤各纵向线（纤维）之间无挤压。每一纵向线处于单向受力状态。压。每一纵向线处于单向受力状态。1122MM（对称轴对
3、称轴）z(中性轴中性轴）yy变形后中性层的曲率半径。变形后中性层的曲率半径。y y任一纵线到中性层的距离。任一纵线到中性层的距离。dd1-11-1和和2-22-2截面的相对转角。截面的相对转角。y中性层中性层1122dabo1 o2ba1212o1o2dx任一条纤维的线应变为：任一条纤维的线应变为：y中性层中性层1122dabo1 o21212a bo oo o ()y ddd y2.2.物理关系物理关系:yzEyE3.3.静力学关系静力学关系:zyS Sz z=0=0中性轴中性轴z z通过横截面的形心。通过横截面的形心。I Iyzyz=0=0梁发生平面弯曲的条件。梁发生平面弯曲的条件。dAz
4、yEIEIz z弯曲刚度弯曲刚度0NzAAEEFdAydAS0yyzAAEEMzdAyzdAI2zzAAEEMydAy dAIM1zMEIzMyI说明：说明：(2)(2)符号：由符号：由M M与与y y的符号确定的符号确定的符号；的符号；线弹性线弹性;弯曲截面系数弯曲截面系数WZ=ymaxIzzy由弯曲变形确定。由弯曲变形确定。maxmaxzzMyMIW(3)zMyI z z轴为对称时：轴为对称时：z z轴为非对称时轴为非对称时:二二.纯弯曲正应力公式的推广纯弯曲正应力公式的推广ytzyyccmaxmaxtczMWmaxttzMyImaxcczMyI1()()zMxxEI()zMx yImax
5、maxzMW例例1 1：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为为140mm,140mm,宽为宽为100100mm,mm,面积为面积为1400014000mmmm2 2。F20kNACB33解：该梁解：该梁C C截面的弯矩最大，截面的弯矩最大，M Mmax=103=30kN.m矩形截面矩形截面:F20kNACB33324311232.67 10 mm162zbhbhWh3maxmax
6、530 1091.8MPa32.67 10zMW圆形截面圆形截面133.5mmd=43336423.36 10 mm322zddWd3maxmax630 10128.4MPa23.36 10zMW24dAbh 工字形截面。工字形截面。选用选用50C50C号工字钢号工字钢,其截面面积为其截面面积为139000139000mmmm2 2。在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，的最大拉应力相同时，工字梁所承
7、受的荷载最大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。结论如下：结论如下：332080 10 mmzW 3maxmax630 1014.4MPa2080 10zMW5-35-3 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力1 1、两点假设、两点假设:（1 1）切应力与横截面的侧边平行）切应力与横截面的侧边平行（2 2）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyhbFSx=0yz=0zyhbFS由切应力互等定理由切应力互等定理bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)m ndx2 2、弯曲切应力公式、弯
8、曲切应力公式y y所求点距中性轴的距离。所求点距中性轴的距离。FSFSmnnmMM+dMdxmnzMyI()zMdMyI dxmnyz FN1FN2dF*SzzF SI bSdMFdx=y21NNdFFFmn*1*ddNzAAzzMMFAy ASII式中：*2*ddddNzAAzzMMMMFAy ASIIddFb xF FS S 横截面上剪力。横截面上剪力。I Iz z 整个横截面对中性轴整个横截面对中性轴z z的惯性矩。的惯性矩。b b横截面宽度。横截面宽度。S S z z*横截面上距中性轴横截面上距中性轴y y处处 横线一侧横线一侧 截截面对中性轴面对中性轴 的面积矩。的面积矩。dxmny
9、z FN1FN2dFy*SzzF SI b3 3、切应力沿截面高度的分布、切应力沿截面高度的分布2236()()4xhybhS SF Fmaxmax3()3()0,22SSF xF xybhAhzby*SzzF SI b比较比较Fmmmm1 1、腹板、腹板F FS S横截面上剪力。横截面上剪力。矩形截面的两个假定同样适用。矩形截面的两个假定同样适用。y zbhdh1翼缘翼缘腹板腹板一、工字形截面梁一、工字形截面梁y5-45-4、其他形状截面梁的切应力、其他形状截面梁的切应力dxh1byhFN1FN2dF*SzzF SI dSdMFdx=21NNdFFF*1*ddNzAAzzMMFAy ASII
10、式中：*2*ddddNzAAzzMMMMFAy ASIIddFd x*1111111()()()()2222 2222 2zhhhhhhhSbdyyy2222111()()2442hhhbdy工字形截面梁腹板上的切应力工字形截面梁腹板上的切应力:F FS S横截面上剪力。横截面上剪力。I Iz z 整个工字形截面对中性轴整个工字形截面对中性轴z z的惯性矩。的惯性矩。d d腹板宽度。腹板宽度。S Sz z*距距z z轴轴y y处横线一侧处横线一侧 阴影部分截面对阴影部分截面对z z的面积的面积矩。矩。maxy zbhdh1y222211()()2444zhhhyI dS SF F*SzzF S
11、I d11（c）*1*NzAAzzMMFdAy dASII式中：*2*NzAAzzMdMMdMFdAy dASII1dFdx 其中其中 面积面积u 对中性轴的面积矩。对中性轴的面积矩。*zS*1()2zSuh2 2、翼缘、翼缘FN2FN1dxu（b）dxubuh21NNdFFF11*SzzF SI11（c）*maxmaxSzzF SI b44dA=2428364ddSdFd43SFAzmaxydAzR0max max*maxmax0222SzSzF SFIAAR例例2 2：一：一T T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力
12、试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力截面上的切应力分布图。截面上的切应力分布图。q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60解解:(1)(1)确定横截面形心的位确定横截面形心的位置置.(2)(2)计算横截面的惯性矩计算横截面的惯性矩I Iz z.I Iz z=186.6=186.610106 6mmmm4 4yc=180q20kN/mACB2m4mD280zy60220c6022.5M(kN.m)1.5m40(3)(3)画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图.q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=1803050401.5m(4)(4)计
13、算最大拉应力和最大压应力计算最大拉应力和最大压应力由于该梁的截面不对称于中性轴由于该梁的截面不对称于中性轴，因而横面因而横面上下边缘的距离不相等，故需分别计算上下边缘的距离不相等，故需分别计算B B、D D截面截面的最大拉应力和最大压应力，然后比较。的最大拉应力和最大压应力，然后比较。在在B B截面截面上的弯矩为负，故该截面上的弯矩为负，故该截面上边缘上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。力。t t max max=40=4010103 31001001010-3-3/186.6/186.61010-6-6=21.4 21.4 M
14、PaMPa,c c max max=40=4010103 31801801010-3-3/186.6/186.61010-6-6=38.6 MPa38.6 MPa22.5M(kN.m)1.5m40q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180 D D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力：产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力：t t max max=22.5=22.510103 31801801010-3-3/186.6/186.61010-6-6=21.7 21.7 MPa,MPa,c
15、 c max max=22.5=22.510103 31001001010-3-3/186.6/186.61010-6-6=12.1 12.1 MPaMPa22.5M(kNm)1.5m40q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180可编辑t t max max=21.7 MPa=21.7 MPa，发生在发生在D D截面的下边缘各点截面的下边缘各点处。处。c c max max=38.6 MPa=38.6 MPa，发生在发生在B B截面的下边缘各点处。截面的下边缘各点处。*39maxmaxmax6350 10180 60 90 104.34MPa186.6 1060 10
16、SzzFSI b396350102206070104.13M Pa186.61060104.34MPa4.13MPa391max635010806070101.5MPa186.6106010280zy60220c60F FSmaxSmax=50kN=50kN截面上的切应力分布截面上的切应力分布:yc=180例例3 3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中中1.2.3.41.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并单元体上的应力，并写出应力的表达式写出应力的表达式。qABl123l/4h/4l/4zbhmax解：解：
17、(1)(1)求支座反力求支座反力:(2)(2)画画F FS S 图和图和M M 图图FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/43434ABFqlFql12zbhmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4max3324SFqlbhbh2max2916qlbh34zbhmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4*916SzzF SqlI bbh22332zMyqlIbh5 54 4、梁
18、的强度计算、梁的强度计算 危险点危险点：最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。一、梁的强度计算一、梁的强度计算1 1、等截面梁的正应力强度条件为：、等截面梁的正应力强度条件为：注：弯曲容许正应力注：弯曲容许正应力 弯弯略大于轴向拉压容许正应力略大于轴向拉压容许正应力 轴轴，一般可取一般可取 弯弯=轴轴。当当 t t c c 时，需分别计算时，需分别计算tmaxtmax和和cmaxcmax，使，使 tmaxtmax t t ，cmaxcmax c c 。2 2、等截面
19、梁的切应力强度条件为、等截面梁的切应力强度条件为:校核强度；校核强度；设计截面；设计截面；求容许荷载。求容许荷载。强度计算：强度计算：maxmaxzMW*maxmaxmaxSzzFSI b注：注：一般情况下，只需按正应力强度条件来进行强度计算，一般情况下，只需按正应力强度条件来进行强度计算，不必对切应力作校核。不必对切应力作校核。特殊情况下，需校核切应力强度。特殊情况下，需校核切应力强度。a.a.F FS S 很大而很大而 M M 较小。较小。b.b.焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复板高度很高，板高度很高，厚度很小时，腹板上产生相当大
20、的切厚度很小时，腹板上产生相当大的切应力。应力。c.c.木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核顺顺。例例4.4.如图一简支木梁。已知：如图一简支木梁。已知：t t=c c=10 MPa=10 MPa，=2 MPa=2 MPa。梁截面为矩形，。梁截面为矩形，b b=80 mm=80 mm，求高度。，求高度。2m10kN/mhbz解：由正应力强度条件确定截面高度，解：由正应力强度条件确定截面高度，再校核切应力强度。再校核切应力强度。1 1按正应力强度条件计算按正应力强度条件计算h h。22max111()22228llMqlqql=-=max,zMW由3211010250
21、00N m843max65000510m1010zMW22110.0866zWbhh而可取可取 h h=200=200 mm mm。2 2切应力强度校核：切应力强度校核：3max1110 10210000N22SFqlmaxmax33100000.94MPa 22 0.08 0.2SFbh 故由正应力强度条件所确定的故由正应力强度条件所确定的h h=200mm=200mm能满足切应力能满足切应力强度条件。强度条件。465100.194194mm0.08hm例例5.5.一受载外伸梁及截面形状如图。已知一受载外伸梁及截面形状如图。已知:l l=2m,=2m,I Iz z=5493=54931010
22、4 4mmmm4 4;若材料为铸铁若材料为铸铁:t t=30 MPa=30 MPa，c c=90 MPa,90 MPa,=24MPa=24MPa。试求。试求q q的容许值的容许值,并校核切应力强度。并校核切应力强度。解：解：1 1画剪力、弯矩图，确定危险截面、危险点。画剪力、弯矩图，确定危险截面、危险点。lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-2 2求求 q q 。C C截面：截面：q q 12.3kN/m 12.3kN/m262max820.13443010549310ctzqM yIlqlqDllABCzy86134
23、40180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-ttccyy B B截面：截面：261max820.08623010549310BtzqMyIq q 9.6 kN/m 9.6 kN/m 该梁所受该梁所受q q 的容许值为：的容许值为：q q=9.6kN/m=9.6kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-3 3、校核切应力、校核切应力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-*32maxmax89.6 102 0
24、.1340.04/23.14MPa5493 100.04SzzFSI b 二、提高承载能力的措施二、提高承载能力的措施1 1、选择合理截面形式、选择合理截面形式即即W Wz z/A/A 越大越合理，此时越大越合理，此时I Iz z/A/A也较大，既可提高强度，也较大，既可提高强度，又可提高刚度。又可提高刚度。弯矩弯矩M M与与W Wz z成正比，成正比，maxzMW如设截面高度为如设截面高度为h h，216/0.167zWbhbhhA=0.27 0.34zWhA=（）可见，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆可见，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆截面合理。截面合理。选择截面的形
25、式时，还要考虑材料的性能。塑性：中性轴对选择截面的形式时，还要考虑材料的性能。塑性：中性轴对称；脆性：中性轴非对称称；脆性：中性轴非对称,；对圆形截面：对圆形截面：423240.125dzdWhAttccyy 2 2、采用强度较高的材料、采用强度较高的材料一般高强度材料的一般高强度材料的 和和 较高。较高。3 3、采用变截面梁、采用变截面梁采用变截面梁，可节省材料及减少自重。采用变截面梁，可节省材料及减少自重。FAB（a）l/2l/2x最合理的变截面梁是等强度梁最合理的变截面梁是等强度梁.max max=M=M(x x)/W/W(x x)=M M(x x)=Fx/=Fx/2 2W W(x x)
26、=bh=bh2 2(x x)/6 6当高度当高度b b=常数时常数时:由切应力强度条件由切应力强度条件:maxmaxminmin33/2 22SFFhbhb3()Fxh xb min34FhbFhmin-鱼腹梁鱼腹梁FhminF/2F/2Fy yFF4 4、改善梁的受力状况、改善梁的受力状况可通过调整支座和改变结构来完成。可通过调整支座和改变结构来完成。lqq0.6lql2/40ql2/50ql2/50l/2Fl/2l/4Fl/4l/4l/4ql2/8ABqABq5 5、增加梁的支座、增加梁的支座超静定梁超静定梁可减少可减少M Mmaxmax及位移。及位移。平面弯曲时外力作用的方向平面弯曲时外
27、力作用的方向设设 z z 为中性轴：为中性轴：又由又由当当中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心时，时，FN=0。C CyzdAzyO0NzAAEEFdAydASzMyI可见：可见：非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面必须平行于形心主惯性平面。必须平行于形心主惯性平面。此时此时，梁的轴线在形心主惯性，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。横截面上的另一根形心主轴即为平面内弯成一条平面曲线。横截面上的另一根形心主轴即为中性轴。中性轴。y、z轴为形心主轴轴为形心主轴（梁受到平行于（梁受到平行于y y轴的外力作用）轴的外力作用）=M=M=0 0C
28、yzdAzyOddyAAzMMzAyz AIdzAMyACxyzFxzyCFAe弯心平面：弯心平面：通过通过弯曲中心弯曲中心与形心主惯性平面与形心主惯性平面平行的平面平行的平面。弯曲中心弯曲中心：当梁在两个正交的形心主惯性平面内当梁在两个正交的形心主惯性平面内分别产生平面弯曲时，横截面上产生的相应两个分别产生平面弯曲时，横截面上产生的相应两个剪力作用线的交点，称为剪力作用线的交点，称为弯曲中心弯曲中心。xzyCFAe1111A*1SzzF SI*S=zzF SI dSHF eF h10dbHFu 202bSzFuhduI24SzF h bI 224zh beI 弯曲中心弯曲中心：当梁在两个当梁
29、在两个正交的形心主惯性平面内分正交的形心主惯性平面内分别产生平面弯曲时，横截面别产生平面弯曲时，横截面上产生的相应两个剪力作用上产生的相应两个剪力作用线的线的交点交点A A，称为称为弯曲中心弯曲中心。弯曲中心的确定弯曲中心的确定：截面剪力合力作用点的位置：截面剪力合力作用点的位置弯曲中心弯曲中心位置与位置与剪力大小剪力大小无关，仅与无关，仅与截面形状尺寸截面形状尺寸有关，有关，如图槽形截面弯曲中心位置：如图槽形截面弯曲中心位置：224zh beI 一些常见开口薄壁截面一些常见开口薄壁截面弯曲中心位置弯曲中心位置的确定的确定的原则：的原则：1.1.具有两根对称轴的截面具有两根对称轴的截面,其其交点交点就是就是弯曲弯曲中心。中心。zyCA（a a）2.2.具有一根对称轴的截面，弯曲中心必具有一根对称轴的截面，弯曲中心必定位于对称轴上。定位于对称轴上。(b)yCAz(c)CzyAzyCA(f)(d)zyCA 3.3.如果截面由中心如果截面由中心线相交一点的两个狭长线相交一点的两个狭长矩形所组成，此交点就矩形所组成，此交点就是弯曲中心。是弯曲中心。(c)CzyA(d)zyCA 4.4.反对称截反对称截面，反对称轴交点就面，反对称轴交点就是弯曲中心。是弯曲中心。y.zAC(e)zyCAAzyCzyC可编辑
