1、4.1 引言引言数字滤波器的总体设计步骤包括：（1）按照设计要求，确定滤波器的性能指标；（2）采用一个因果、稳定的离散LTI系统的系统函数逼近该性能指标;（3）利用有限精度算法来实现该系统函数;（4）采用通用计算机软件、专用或通用的数字信号处理器（DSP）来实现。本章主要讨论其中的第（2）项和第（3）项中的运算结构等内容 4.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 按照频率特性，模拟滤波器可分为低通、高通、带通、带阻和全通等类型。模拟低通滤波器的传输函数经频率变换可以转换成模拟高通、带通和带阻滤波器。设计模拟低通滤波器是根据一组设计规范求得模拟系统函数，使其逼近理想低通滤波器的特性。通常可根据滤
2、波器的幅度平方函数进行逼近，也可根据相位特性或群延迟特性进行逼近。模拟低通滤波器的幅度平方逼近函数有巴特沃斯型、切比雪夫型和椭圆型函数等。4.2.1 低通模拟滤波器特性及幅度 平方逼近 1理想滤波器的幅频特性 上图给出了各种理想滤波器的幅频特性，这些 特性包括：(1)通带内传输函数的幅度是常数，相移特性 是线性的；(2)阻带内传输函数的幅度为零，对相移特性 没有要求；(3)从通带到阻带有一个过渡带，对于理想滤 波器为零。2.低通滤波器的技术指标及其幅频特性对于模拟低通滤波器，技术指标包括：(1)通带截止频率 及通带内的最大衰减（或通带边缘增益 ）或通带波纹 ；(2)阻带截止频率 及阻带内最小衰
3、减（或阻带边缘增益 ）或阻带波纹 。ppapa-pssasa-s 对于单调下降的幅度特性，如果 且 ，则 称为3dB截止频率或半功率截止频率。通带波纹 用来描述通带内最大和最小增益之差，即 。衰减为 。可得 与 的关系为：2)1(1log10ppacdB3pacp)j(1appH)1log(20ppap/2H1j2ca 阻带波纹 用来描述阻带内的最大增益，即 。衰减为 dB，可得 与 的关系为：21log10ssa)j(assH sslog20sas 给定技术指标后，模拟滤波器的设计任务就是求得一个系统函数 ，使其满足该技术指标。)(sHa3由幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器的幅度响应常用幅
4、度平方函数来表示，即)j()j()j(aa2aHHH 由于滤波器冲激响应是 实信号，有 ，所以)j()j(aaHH)t(ahjsaaaa2a)s()s()j()j()j(HHHHH 若已知 ，如何求得 呢？2a)j(H)s(aH 由于 为实信号，其系统函数中的极点（或零点）必以共轭对形式出现。又由于实际可实现的滤波器都是稳定的，其系统函数 的极点一定位于s左半平面，而 的极点一定位于s右半平面，即左半平面的极点属于 ，而右半平面的极点属于 。)t(ah)s(aH)s(aH)s(aH)s(aH4.2.2 巴特沃斯滤波器设计 1巴特沃斯滤波器的特性巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：N22a1
5、1)j(Hc式中，N为正整数，表示滤波器的阶数，为3dB截止频率。c 应用巴特沃斯幅度平方函数描述的低通滤波器具有如下特点。（1）当 时，。01)0 j(2aH（2）当 时，或 。c21)j(2acH707.021)j(caHdB3)j(lg20caH（4）当 时，即过渡带和阻带内，也随着 的增大单调减小，但比通带内衰减的速度快得多，且N越大，衰减速度越快，过渡带也就越陡峭，如图所示。c2a)j(Hc（3）当 时，即通带内，随着 的增加单调减小，且N越大，实际越慢，通带也就越平坦。c02)(jHac巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系2巴特沃斯滤波器的系统函数 N2caa2jsajs11)s(
6、)s()j(HHH将 代入式中，可得：js 1N2,2,1,0k,ej1sN21k221jccN21k 可见，巴特沃斯滤波器是一个全极点型滤波器。共有2N个极点，每个极点表示如下：由上可看出，的极点分布特点为：)s(H)s(Haa （1）极点在s平面是象限对称的，分布在半径为 的 圆（巴特沃斯圆）上，共有2N个极点。极点间的角度间 隔为 。cradN （2）极点绝不能落在虚轴上，这样滤波器才有可能稳 定。（3）N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上 无极点。选取在左半平面上的极点作为 的极点，因此有：1N0kkNca)ss()s(H sHa例例4-1 导出三阶巴特沃斯型低通滤波器 的系统
7、函数，已知s/rad2c解解 该巴特沃斯型低通滤波器的幅度平方函数为：62a211)j(H66aa2s11)s()s(HH即即 5,2,1,0k,e2s61k221jk各极点为：3j1e2s32j02e2s j13j1e2s32j23j1e2s31j32e2s2j43j1e2s31j5即 极点的分布如图所示。取s平面左半平面的极点 、和 组成 ：0s1s2s)s(aH8s8s4s8)ss)(ss)(ss()s(232103caH3巴特沃斯模拟滤波器的设计方法 确定技术指标，包括：通带截止频率 及通带内的最大衰减 ，阻带截止频率 及阻带内最小衰减 。ppassa根据式得到：N2cp2pa11)j
8、(HN2cs2sa11)j(H从而得到：1101101010Nspspaa则 sp1010lg110110lgNspaa 当 时，简化得：cpps2slg211lgN例例4-24-2 已知一个模拟低通滤波器通带截止频率 通带最大衰减 阻带起始频率 ，阻带最小衰减 ，试根据上述要求设计巴特沃斯低通滤波器。kHz5pfdB3pakHz10sfdB30sa解解 （1）确定滤波器的阶数 因为 ，由 及 可求得 cp2sas)j(1lg10Ha)j(sasH 0316.01010203020ssas则 9829.46021.00002.32lg210316.01lglg211lgN2ps2s取阶数N5。
9、因为 所以dB3pas/rad10523pc（2）计算s左半平面上的N个极点53jc0es 54jc1es jc2es 56jc3es 57jc4es（3）写出滤波器的系统函数2218214394552240kk5ca1006.3s10152.3s10624.1s10168.5s10017.1s1006.3)ss()s(H4.2.3 切比雪夫切比雪夫I型滤波器设计型滤波器设计 1切比雪夫滤波器的特性 若切比雪夫滤波器的幅度特性在通带内是等波纹的，而在阻带内是单调的，则称之为切比雪夫I型滤波器，如图所示 若幅度特性在通带内是单调的，而在阻带内是等波纹的，则称之为切比雪夫II型滤波器。这里主要介绍
10、切比雪夫I型滤波器的设计。N阶切比雪夫I型滤波器形状N阶模拟切比雪夫I型滤波器，其幅度平方函数定义为：p2N22aC11)j(H 式中，参数 为小于1的正数，为低通滤波器的截止频率（不一定是3dB频率）。是N阶切比雪夫多项式，定义为：p)x(NC1x)x(harccosNcosh1x)xarccos(Ncos)x(NC可知，幅度平方函数由阶数N和参数 确定。2切比雪夫模拟滤波器的设计方法 模拟切比雪夫I型滤波器的阶数N可由下式确定：psharccosharccosN式中，由阻带边缘增益 （如图所示）计算得到：112s参数 由通带边缘增益计算得到：1)1(12p则系统函数为：线性增益频谱图 ii
11、sssH11a2 例例4-3 一个模拟低通滤波器，要求通带截止频率为 3kHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带截止频率为12kHz，阻带最小衰减为60dB。应用切比雪夫I型滤波器的设计 方法求该滤波器的幅度函数。解解由 ，求得 ，则60lg20s001.0102060s10001001.011122s1523.019886.011)1(122p1.01lg20p 由 ，求得 。则9886.0101201.0p所需滤波器的阶数为：5957.40634.24828.9312harccos1523.01000harccosharccosharccosNps取N=5，则该模拟低通滤波器的幅度表示为：2
12、1523.01111j252p22aCCHN4.3 无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计 无限冲激响应滤波器也称为递归滤波器，其所对应的差分方程如下：00kMkkkknxbknya一般IIR滤波器的传输函数为：NN2211MM22110zzz1zzz)z(Haaabbbb具有M个零点和N个极点，可见递归滤波器不能保证其稳定性。所以，稳定性检验是许多IIR滤波器设计的重要组成部分。递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性相位；递归滤波器的优势在于，在实现类似的性能要求时，递归滤波器比非递归滤波器所需要的系数（或阶数）要小得多。设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法。递归滤波器与非递归滤波器之间
13、的区别还包括：（1）先按照技术指标设计一个模拟滤波器 ，然后再按照一定的映射关系将 转换成数字滤波器的 。（2）计算机辅助设计法。这是一种最优化的设计方法。这种设计需要进行大量的迭代运算，故需要计算机的支持。)s(aH)s(aH)(zH 我们主要介绍第一种方法，即利用模拟滤波器设计数字滤波器。那么，如何将模拟滤波器的传输函数 转换成数字滤波器的传输函数 呢？)s(aH)(zH 模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等，具体方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法和匹配z变换法。频域变换法是使数字滤波器在范围内的幅
14、度特性与模拟滤波器在范围内的幅度特性一致，具体方法有：双线性变换法、微分映射法。上述方法中得到广泛使用的有冲激响应不变法和双线性变换法。无论采用哪种方法，为了保证由 转换得到的 仍然满足技术指标并具有稳定性，复变量s到复变量z之间的映射关系必须满足以下两个基本要求：)s(aH)(zH（1）的频率响应要能够模仿 的频率响应。)(zH)s(aH)s(aH)(zH（2）因果稳定的 能够映射成因果稳定的 。4.3.1 冲激响应不变法 1 变换原理 冲激响应不变法是依据数字滤波器的冲激响应 与模拟滤波器的冲激响应 在采样点上值 相等，即 )(nh)t(ahnTta)t(h)nT()t()n(anTtah
15、hh 如果令 是 的拉普拉斯变换，是 的z变换，则由模拟系统的系统函数 求拉普拉斯逆变换得到模拟的冲激响应 ，然后采样得到 ，再取z变换得 。s平面和z平面之间的对应关系：)s(aH)t(ah)(zH)n(h)s(aH)t(ah)nT()n(ahh)(zHTesz 下图显示了冲激响应不变法的s域到z域的映射关系。若将 和 代入 ，可得 jrezjsTer T 分析结果表明：（1）当 ，即 时，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上；（2）当 时，即s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内；（3）当 时，即s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外。js 01z01z01zTesz 分析图不难发现，从s
16、平面到z平面是一种多值映射关系，因此，要求 必须在 内严格带限，且带限于折叠频率以内时，即 2 混叠失真混叠失真)j(HTT时才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真，即,)Tj(T1)e(ajHH 但是，任何严格设计的模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后会产生周期延拓分量的频谱交叠。0jaH,2s 由于 是实数，因而 的极点必成共轭对存在，则 变成 的映射关系为：，)t(ah)s(aH)s(aH)(zH3 模拟滤波器数字化kskkkzAssAe11ks1e1zAssAkkk例例4-4 已知模拟滤波器的系统函数为试用冲激响应不变法求出相应的数字滤
17、波器的系统函数。解22a)s(s)s(baaHbabaHjs21js21)s(a根据冲激响应不变法中z平面和s平面的映射关系可知，相应的数字滤波器在 处有一对极点，其系统函数为：这是一个二阶递归滤波器，在 处有一对共轭极点，在 和 处有两个零点。T)j(ebaz1TjT1TjT1T1TjT1TjTzee1zee1z)Tcos(e1zee121zee121)z(babaabababH()ajb Tze0z)Tcos(ezaTb将进行部分分式展开得4 冲激响应不变法的优缺点 冲激响应不变法的最大优点是保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，具有良好的时域逼近，而且模拟频率和数字频率之间呈线性映射关系。冲激
18、响应不变法的主要缺点是有频域混叠，所以它只适用于带限的模拟滤波器。4.3.2 双线性变换法 冲激响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但是由于从s平面到z平面是多值映射关系，所以产生了频率响应的混叠失真。为了克服这一缺点，可以采用双线性变换法。1变换原理 )e(jH)j(HT2TTTs1ez 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应 相近似的一种变换方法。它通过将整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一条横带里（宽度为 ，即 ），然后再通过标准变换关系 将此横带变换到整个z平面上去，如图所示，4.3.2 双线性变换法双线性变换法的映射关系将s平面整个 轴压缩到s
19、1平面轴 上的 一段上，可以通过以下的正切映射来实现：j1jTT11jTjT1e1e1c)2Ttan(jcj从而得到s平面和z平面的单值映射关系为：1z1zcz1z1cs11scscz则这两式就是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换方法称为双线性变换法。(1)(2)将 和 代入式得到模拟角频率 和数字角频率 之间的变换关系：js jez 2tanc 上式的逆双线性变换式为：ctan21下面讨论双线性变换法对变换条件的可满足性：（1）将 代入式(1)，可得即s平面的虚轴映射成z平面的单位圆。（2）将 代入式(2)，可得 因此有 j2tanjce1e1csjjj)c(j)c(scscz222
20、2)c()c(zjezjs 可见，当 时，；当 时，；当 时，。因此，稳定的模拟滤波器经过双线性变换后，所得的数字滤波器也一定是稳定的。01z01z01z2.频率预畸变 2tan c 双线性变换的最大优点是避免了频率响应的混叠现象。但是，由于 变换关系是非线性的，所以 和 之间存在着严重的非线性关系，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅度响应必须是分段恒定的。对应分段恒定的滤波器，经过双线性变换后，仍得到幅频特性为分段恒定的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变。这种现象可以通过频率的预畸变来加以校正，也就是将临界频率事先加以畸变（利用公式 ），然后再经过双线性变换后映射到所需要的频率上。
21、2tan c 3.模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化 )(asH)(zH 模拟滤波器的数字化可以由模拟滤波器的系统函数 通过式（1），得到数字滤波器的系统函数 ，即 11a11a1111zzcHsHzHzzcs 也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统或级联的子系统，使每个子系统函数都变成低阶的（如一、二阶），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换法。例例4-5 已知模拟滤波器的系统函数为 ，试利用双线性变换法将其转换成数字滤波器 。ssHa11)()(zH解解1111111112121111211112)()(11zfzzzzfzzfHsHzHsssazzfsas1131)(zzzH当T=1
22、或 时，则1sf1 冲激响应不变法设计数字低通滤波器 步骤如下：4.3.3 4.3.3 低通数字滤波器设计低通数字滤波器设计（）确定待求通带边缘频率 、待求阻带边缘频率 和待求阻带边缘增益 ，通带边缘频率一般对应3dB增益。（）用 把以Hz为单位表示的待求边缘频率转换成以rad为单位的数字频率，得到 和 。（）模拟频率 和数字频率 之间的转换关系为线性关系，即：，或 ，求得 和 ，单位是rad/s。（）由已知的阻带边缘增益 dB，确定阻带边缘增益 。1pfs1fslg20s2ff psT sfTpsslg20s（）用下式计算所需滤波器的阶数。（）将代入N阶巴特沃斯滤波器的传输函数中，求出的N个
23、极点。为整数NNpss,lg211lg2 2aa2jaj11jssHsHHs（7）用下面公式求得所需数字滤波器的传输函数。NkTskzeAzHk111)(1akkkssAsH2 双线性变换法设计数字低通滤波器 步骤如下：（）确定待求通带边缘频率 、待求阻带边缘频率 、待求的通带边缘增益 dB和待求阻带边缘增益 dB。（注意：这时，通带边缘频率不必一定对应-3dB增益。）p1fs1fp1lg20slg20（）用公式 把以Hz为单位的待求边缘频率转换成以rad为单位的数字频率，得到 和 。s2ff ps（）计算预扭曲模拟频率，以避免双线性变换带来的失真。由 求得 和 ，单位是rad/s。2tan2
24、fsps（4）由指定的通带边缘增益 dB，确定通带边缘增益 ，并由下式计算参数 ：（5）由指定的阻带边缘增益 dB，确定阻带边缘增益 ，并用下式确定 。p1lg20p11)1(12pslg20s112s（6）用下式确定所需滤波器的阶数N。（7）把 和 代入N阶切比雪夫I型滤波器的传输函数 中（由于系统函数通常非常复杂所以一般借助于滤波器设计软件来完成），并对 进行双线性变换得到N阶数字系统函数 。psN11coshcoshp)(sHa)(sHa)(zH（8）把 代入下式即可得到数字滤波器幅频特性 。2tan2fs 112azzfsssHzHjeH22a11jCH4.3.4 高通、带通和带阻高通
25、、带通和带阻IIR数字滤波数字滤波 器设计器设计 实际应用中的高通、带通和带阻数字滤波器的设计主要有如图所示的三种方法。数 字 化 模 拟 域 频 率 变 换 模 拟 归 一 化 原 型 c 1 模 拟 高 通、带 通、带 阻 数 字 低 通、高 通、带 通、带 阻 （a）方法一：先进行模拟域频率变换，再数字化 数字域频率变换 数字化 模拟归一化原型 c1 数字低通 数字低通、高通、带通、带阻（b）方法二：先数字化，再进行数字域频率变换 数字化 模拟归一化原型 c1 数字低通、高通、带通、带阻（c）方法三：直接对模拟原型进行数字化1.方法一：先进行模拟域频率变换，再数字化 设计步骤如下：（1）
26、将设计中所给出的数字技术指标转换为模拟技术指标。冲激响应不变法采用的转换公式为：sf 双线性变换法采用的转换公式为：2tan2fs（2）将模拟指标对截止频率进行归一化。（3）将其它类型模拟滤波器（高通、带通和带阻）的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。模拟高通滤波器到模拟低通滤波器（）的技术指标转换方法如图所示。LH LpLsHsHp增益 增益 频率 频率 模拟高通到模拟低通滤波器的技术指标转换,模拟带通滤波器到模拟低通滤波器（）的技术指标转换方法如图所示。LP 1Pp2Pp1Ps2PslsLp0P增益 增益 频率 频率 模拟带阻滤波器到模拟低通滤波器（）的技术指标转换方法如图所示。LS
27、1Sp2Sp1Ss2SslsLp0S增益 增益 频率 频率 模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟高通滤波器的系统函数：sHsHHpLpLH)(模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟带通滤波器的系统函数：)()(12212PpPpPpPpLpLBPssHsH（4）将模拟低通滤波器的系统函数转换为其它类型模拟滤波器的系统函数（包括去归一化）。21212)()(SpSpSpSpLpLBSssHsH 若以上各式中的为归一化后的模拟低通滤波器的系统函数，则 。1Lp（5）模拟滤波器的数字化采用冲激响应不变法或双线性变换法。模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟带阻滤波器的系统函数：2.方法二：先数字化，再进行数字
28、域频率 变换 具体转换公式如表所示。变 换类 型 变 换 公 式 变 换 参 数 低 通 1111aZaZz 2sin2sinLppLLppLa pL为 原 型 低 通 数 字 滤 波 器 的 通 带 截 止 频 率 Lp为 待 转 换 的 低 通 数 字 滤 波 器 的 通 带 截 止 频 率 高 通 1111aZaZz 2cos2cosHppLHppLa Hp为 高 通 数 字 滤 波 器 的 通 带 截 止 频 率 带 通 11211111212121ZkakZkkkkZkakZz 2cos2cos1212PpPpPpPpa 2tan212pLPpPpctgk 2Pp和1Pp为 带 通
29、滤 波 器 通 带 的 上、下 截 止 频 率 带 阻 11211111212121ZkaZkkkkZkaZz 2cos2cos1212SpSpSpSpa 2tan2tan12pLSpSpk 2Sp和1Sp为 带 阻 滤 波 器 通 带 的 上、下 截 止 频 率 3.方法三：直接对模拟原型进行数字方法三：直接对模拟原型进行数字化化具体转换公式如表所示。变 换类 型 变 换 公 式 变 换 参 数 高 通 11111zzCs 21ctgC 2tan1ccC c为 数 字 高 通 滤 波 器 的 通 带 截 止 频 率 c为 相 应 的 模 拟 低 通 原 型 滤 波 器 的 通 带 截 止 频
30、 率 带 通 22111zzEzDs Dsincoscos0 212PpPpcctgD 01212cos22cos2cos2EPpPpPpPp 2Pp和1Pp为 数 字 带 通 滤 波 器 通 带 的 上、下 截 止 频 率 0为 数 字 带 通 滤 波 器 的 中 心 频 率 带 阻 2112111zzEzDs 2tan121SpSpcD 012121cos22cos2cos2ESpSpSpSp 2Sp和1Sp为 数 字 带 阻 滤 波 器 通 带 的 上、下 截 止 频 率 0为 数 字 带 阻 滤 波 器 的 中 心 频 率 4.4 4.4 有限冲激响应（有限冲激响应（FIRFIR）数字
31、滤）数字滤 波器设计波器设计 4.4.1 FIRFIR数字滤波器的线性相位特性数字滤波器的线性相位特性 由于不同输入频率分量通过滤波器所产生的输出相位延迟不同，从而产生了相位失真。确保不产生相位失真的唯一办法是，使不同输入频率的信号通过滤波器时有相同的输出相位延迟。1相位失真 当信号通过线性滤波器后，输出信号的幅度和相位会发生改变。保证所有输出相位延迟相等的方法有两种：一种是使滤波器所有频率分量的相位特性为零，但这是不实际的；另一种方法是随着频率的变化而改变滤波器的相位特性，则可使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使滤波器相位特性为频率的线性函数来实现。下面讨论如何设计具有线性相位特性
32、的滤波器，及为了获得线性相位，FIR滤波器应该满足的条件。2.线性相位条件FIR滤波器的频率响应为：用欧拉恒等式展开为 10njjeennhH 1010jsinjcosennnnhnnhH因为 为实序列，则 的相位特性为1010)cos()()sin()(arctan)(NnNnnnhnnh)(nh有两类线性相位，其定义分别为：jeHl 第一类线性相位 式中，为用采样点数来表示的与 无关的常数。l 第二类线性相位 式中，为起始相位。严格地说，这样的 不具有线性相位，但它的群延迟仍是一个常数，即)(2)(2)(dd)(所以仍可将其视为具有线性相位，有时也称其为准线性相位。对于第一类线性相位，当
33、时，则有)(整理后有1010)cos()()sin()()(tan)cos()sin()tan(NnNnnnhnnh0)sin()(10Nnnnh0)cos()sin()()sin()cos()(1010NnNnnnhnnh 当 时，对称中心为 。这样，使上式成立的条件是 关于 偶对称，即要求)(nh2)1(N2)1(Nn2)1(N)1()(nNhnh对于第二类线性相位，当 时，可用类似的方法得到2)(0)(cos)(10Nnnnhn)(cos式中余弦函数 为偶对称函数，当 时，对称中心也为 。这样，使上式成立的条件是 关于 奇对称，即要求)1()(nNhnh2)1(N2)1(Nn)(nh2)
34、1(N FIR数字滤波器的线性相位特性仅取决于 的对称性，而与 的取值无关。但其幅频特性取决于 的取值。所以设计线性相位FIR滤波器时，在保证 的对称性条件下，只需考虑幅度的逼近。)(nh)(nh)(nh)(nh3.线性相位FIR滤波器的频率特性 )(j)(jjj)()()(eHeeHeH)(jeH)(H)(将频率特性 表示成：其中 为幅频特性，是一个纯实数，为相位特性。已知FIR滤波器的冲激响应满足式或式，因而系统函数可表示为进一步改写为)()()()1()()(1)1(10)1(10)1(1010zHzzmhzzmhznNhznhzHNNmmNNmmNNnnNnn2)()(21)()(21
35、)(21211021)1(101)1(nNnNNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH下面分两种情况讨论FIRFIR 滤波器的频率特性。（1）当 偶对称，即 时，频率特性函数为1021j-j21cos)()()(jNnN-eznNnhezHeH)(nh)1()(nNhnh1021cos)()(NnnNnhHN-21)(则幅频特性函数为相位特性函数为1)当N为奇数时因为 对于 偶对称，所以 对于 也为偶对称，即由于在 、和 时，所以可用来设计低通、高通、带通或带阻滤波器。2)1(1)cos(21221)(NnnnNhNhH)cos(n HH200)(H2)(H2)当N为偶数时因为 对
36、于 奇对称，所以 对于 也为奇对称，即由于在 和 时，而 时，所以可用来设计低通或带通滤波器。2121cos22)(NnnnNhH21cosn)(H HH2020)(H 0)(H（2）当 奇对称，即 时，频率特性为)1()(nNhnh)(nh102j21j-1021 j-j21sin)(21sin)(j)()(jNnN-NnN-eznNnhenNnhezHeH则幅频特性函数为1021sin)()(NnnNnhH221)(N-相位特性函数为1)当N为奇数时 因为 对于 奇对称，所以 对于 也为奇对称，即 由于在 、和 时，所以只能用它设计带通滤波器。2)1(1)sin(212)(NnnnNhH)
37、sin(n)(H HH2020)(H2)当N为偶数时因为 对于 偶对称，所以 对于 也为偶对称，即 由于在 和 时，而在 时，所以可用来设计高通或带通滤波器。2121sin22)(NnnnNhH21sinn)(H HH200)(H 20)(H4.4.2 窗函数设计法窗函数设计法1 窗函数设计法的基本思想 FIR数字滤波器的设计一般是先给出所要求的理想的滤波器频率响应 ，然后寻找一组 ，使由其所确定的频率响应逼近 。)(nhjdeHjdeH 10njjeennhH2.截断效应（吉布斯效应）截断效应（吉布斯效应）用窗函数 对进行直接截断，得到有限长序列 ，并以 替代 ，肯定会引起误差，表现在频域就
38、是通常所说的截断效应或吉布斯效应。)(nhd)(nh)(nh)(nhd下面以矩形窗为例分析截断效应对信号幅频特性的影响。)()()()()(nhnRnhnwnhdNd由于所以，应用复卷积定理可以得到（1）式dee21eeejjdjdjjRHRRH 其中 式中 )2sin()2sin()(NRN21Na aNNNnNnNNRNnRRj21j10nj10njje2sin2sineeee 是矩形窗的幅度函数，在 范围内形成主瓣，两侧形成许多逐渐衰减的旁瓣，如图所示。)(RNNN22将 和 代入式（1）中得其中)()()()(21)(RHdRHHNdNd21NajeNRjdeH aNaaNaHRHRH
39、Hjdjjjdjed21edee21e 上面两式表明，的相位特性函数 是线性的，幅度特性 是理想低通滤波器的幅度特性 与矩形窗的幅度特性 的卷积，其卷积过程如图（a）（f）所示。a)()(H)(RNjeH dH 从图中可以看出，对 加矩形窗处理后，其幅频特性 与原理想低通滤波器的幅频特性 有着明显的区别：)(nhd)(H dH（2）在截止频率 的两边 （即过渡带两侧）形成了逐渐衰减的波纹，在 处达到最大正肩峰，在 处形成最大负肩峰。Nc2c)(HNc2N2c（1）在理想特性不连续点 附近形成了过渡带，过渡带的宽度近似为窗函数频率响应 的主瓣宽度，即 。N4c)(RN 以上两点就是窗函数直接截断
40、 引起的截断效应在频域的反应。截断效应直接影响滤波器的性能，因此，减少截断效应也是FIR数字滤波器设计的关键之一。nhd3.常用的窗函数一个理想的窗函数应满足以下两项要求：（1）窗函数的幅频特性的主瓣要尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；（2）窗函数的幅频特性的最大旁瓣的幅度要尽 可能地小，从而使主瓣包含尽可能多的能量。3.常用的窗函数一个理想的窗函数应满足以下两项要求：常用的窗函数有以下几种：常用的窗函数有以下几种：（1 1）矩形窗矩形窗 ，矩形窗所对应的冲激响应 如图所示。)()(nRnwNNjNjNeReR21)()()2sin()2sin()(NRN1717N 矩形窗的冲激响应 矩形窗的幅
41、频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）矩形窗幅频特性（b）滤波器幅频特性（2 2）汉宁窗汉宁窗 当N1时，有 )(12cos5.05.0)(nRNnnwN21)()(NjjeWeW)2()2(25.0)(5.0)(NRNRRWNNN 汉宁窗的冲激响应 汉宁窗所对应的冲激响应如图所示。汉宁窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）汉宁窗幅频特性 （b）滤波器幅频特性（3 3）海明窗海明窗 当N1时，有 )2()2(23.0)(54.0)(NWNWWWRRR)(12cos46.054.0)(nRNnnwN21)()(NjjeWeW 海明窗的冲激响应 海明窗所对应的冲激
42、响应如图所示。海明窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）海明窗幅频特性 （b）滤波器幅频特性（4 4）布莱克曼窗布莱克曼窗当N1时，有)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN21)()(NjjeWeW)4()4(04.0)2()2(25.0)(42.0)(NWNWNWNWWWRRRRR布莱克曼窗冲激响应 布莱克曼窗所对应的冲激响应如图所示。布莱克曼窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图4.25所示。（a）布莱克曼窗幅频特性 （b）滤波器幅频特性（5）凯塞窗其中 为第一类零阶修正贝塞尔函数。定义为：10,)(1121)(020NnINnIn
43、w120!)2(1)(jjjxxI)(0 xI 是一个可以自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣电平。越大，则窗越窄，而幅频特性的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加。因而改变 值就可以对主瓣宽度和旁瓣衰减进行选择。)(nw4.4.3 线性相位线性相位FIR滤波器的设计滤波器的设计1.窗函数法的设计步骤（1）给定所要求的频率响应函数 。（2）求 ，为了保证线性相位，将 右移 个采样点，使此滤波器为因果的。jdeH)(dnh2)1(Na jddeIDTFT Hnh（3）由过渡带宽度和阻带最小衰减的要求，选择窗函数 的形状及N的大小。窗函数形式的选择原则是：在保证阻带衰减满足要求的条件下，尽量选择
44、主瓣窄的窗函数。)(nw（4）求得所设计的FIR滤波器的单位冲激响应。1,1,0,)()()(Nnnwnhnhd（5）求 ，并检验是否满足设计要求，若不满足，则需要重新设计，选择其他的窗函数 或改变窗口长度N，重复（3）、（4）、（5）步。)(nw nhHDTFTej2.低通低通FIR数字滤波器的设计举例数字滤波器的设计举例 举例来说明线性相位FIR低通数字滤波器的设计过程。例例4-6 根据下列指标设计FIR低通数字滤波器：（1）通带边缘频率 2kHz（2）阻带边缘频率 3kHz（3）阻带衰减 40db（4）采样频率 10kHzpf1sfssf解解（1）求出各对应的数字频率。通带截止频率为 阻
45、带截止频率为 阻带衰减为 dB4.010000200022ffspp6.0100003000221ffsss40s（2）确定频率响应函数 。其中：5.02)6.04.0(2spcc10jde其他HjdeH（3）确定 ，并进行因果化。其中)(nhdanananananannhccd,5.0,)()(5.0sin()()(sin()(2)1(Na（4）由阻带衰减 确定窗函数，由过渡带宽度确定窗口长度N。因为阻带衰减为40db，所以可以选择汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗。考虑布莱克曼窗 的过大，而在 比较接近的情况下，汉宁窗的阻带衰减不及海明窗，所以选择了海明窗：sDD 海明窗的过渡带宽度归一化因子 ，
46、从而可确定窗口长度N为：N取为最接近的奇数，即N35。4.344.06.088.644.322psDN44.3D)(12cos46.054.0)(nRNnnwN（5）求得所设计的FIR滤波器的单位冲激响应。因为 则 172)1(Na340,17cos46.054.0)(nnnw340,)17()17(5.0sin()21()21(5.0sin()(nnnNnNnnhd所以有340,)17cos(46.054.0)17()17(5.0sin)()()(nnnnnwnhnhd（6）由 求 ，并检验各项指标是否满足设计要求，如不满足要求，则需要 选择其他的窗函数 或改变窗口长度N，来重新进行设计。的
47、图形在图中给出，它已经满足设计要求。)(nh)(nwjeH nhHDTFTej 0500100015002000250030003500400045005000-120-100-80-60-40-20020Frequency(rad)Magnitrde(db)Frequency response设计出的线性相位FIR低通滤波器的幅频特性（海明窗，N35）4.4.4 高通、带通和带阻FIR数字滤波 器的频率移位设计法1.高通和带通FIR数字滤波器的设计 如果将频域中的单个脉冲函数置于待求滤波器的中心频率处，则脉冲函数与低通滤波器形状的卷积就可把双边低通滤波器形状的副本移位到新的位置，结果就可得到
48、与低通原型有相同形状的高通或带通滤波器。下图正说明了这种关系。以下是高通和带通FIR数字滤波器的频率移位设计步骤。（1）将高通或带通滤波器的设计要求转换为低通滤波器的设计要求。1)高通到低通的技术指标的转换如图所示 阻 带 边 缘 频 率 对 应 阻 带 边 缘 频 率 通 带 边 缘 频 率 对 应 通 带 边 缘 频 率 中 心 频 率 对 应 原 点 高通到低通的技术指标的转换具体转换内容包括：l 高通滤波器的通带边缘频率对应低通滤波器的通带边缘频率l 高通滤波器的阻带边缘频率对应低通滤波器的阻带边缘频率l 高通滤波器关于该点对称的中心频率为，对应低通滤波器的原点处；l 高通滤波器的过渡
49、带宽度等于低通滤波器的过渡带宽度。2)带通到低通的技术指标的转换如图所示具体转换内容包括：l 带通滤波器的通带边缘频率（通带上截止频率）对应低通滤波器的通带边缘频率；l 带通滤波器的阻带边缘频率（阻带上截止频率）对应低通滤波器的阻带边缘频率；l 带通滤波器的中心频率介于之间，对应低通滤波器的原点处；l 带通滤波器的过渡带宽度等于低通滤波器的过渡带宽度。中 心 频 率 对 应 原 点 阻 带 上 截 止 频 率 对 应 阻 带 边 缘 频 率 通 带 上 截 止 频 率 对 应 通 带 边 缘 频 率 带通到低通的技术指标转换（2）按照低通FIR数字滤波器的设计步骤，确定窗函数 ，并计算该低通数
50、字滤波器的冲激响应 。)(nw nhL（3）将低通数字滤波器的冲激响应 与 相乘，即可得到相应的高通或带通滤波器的冲激响应 和 。)cos(0n nhL nhH nhp1)对于高通滤波器，此中心频率 ，即 。则有00sff0022sf2sf2)对于带通滤波器 为其中心频率，介于 之间，即 。则有 nhnhnnhnLLH1cos nhfnfnhnnhsL0L0B2coscos2.带阻FIR数字滤波器的设计 对于带阻滤波器，只要选择了准确的通带边缘频率，通过把低通和高通滤波器结合起来，就可以构造出带阻滤波器。低通滤波器为带阻滤波器的低端规定了通带边缘频率，同时，高通滤波器为带阻滤波器的高端设定了通
