1、上次课内容回顾 3.3 一般层合板的刚度一般层合板的刚度 3.4 层合板的强度层合板的强度3.3 一般层合板的刚度一般层合板定义对 、等没有任何限制的各种层合板单层材料铺设方向铺设顺序层合板刚度的三种表征形式刚度系数柔度系数工程弹性常数层合板内力-应变关系式的系数层合板应变-内力关系式的系数3.3.1 经典层合板理论 层合板刚度的推导需建立以下假设：层合板的各铺层间粘结层很薄且牢固，无层间滑移；层合板是薄板，层合板的厚度均匀，忽略 ，各个单层按平面应力状态分析。直法线假设 =0，=0，即层合板弯曲变形在小挠度范围，变形前垂直于中面的直线在变形后仍保持直线并垂直于中面，且该直线的长度不变，Z是中
2、面法向zzxzyz相当于忽略了垂直于中面的平面内的剪应变0,0,0ywzvxwzuzwyzxzzw仅为x、y的函数；u0、v0、w0，仅是x、y的函数通过上述假设，建立起经典层合板理论1.层合板的应变层合板的应变22xwkx22ywkyyxwkxy22层合板中面弯曲变形的曲率层合板中面弯曲变形的曲率层合板扭曲变形的曲率xyyxxyyxxyyxkkkz000 kz0层合板离中面任意距离z的应变可以用中面上相应点（x，y坐标相同的点）的面内应变和弯曲率来表示，同时层合板的应变沿厚度z是线性变化的。层合板应变表达式层合板应变表达式yxwzxuyvyuxvywzyvyyyxwzyxvyvxwzxuxx
3、yxwzyxuxuxyyx200220022002)(,),(),(,),(),(2.层合板的内力层合板的内力,2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/zdzMzdzMzdzMdzzMdzQdzQdzNdzNdzNdzNhhyxyxhhxzxyhhyyhhxxhhyzyhhxzxhhyxyxhhxyxyhhyyhhxx根据剪应力互等原理，剪力互等，扭矩互等，即Nxy=Nyx；Mxy=Myx将以上得到的这些内力定义在单位宽度上，可以得到下面的公式 设层合板中第k层的应力为 ，层合板的内力表达式可写为以下形式dzdzNNNnkZZkxykykxhhxyyxx
4、yyxkk1)()()(221)(kzdzzdzMMMnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(221层层合合板板的的内内力力表表达达式式依据以上经典层合理论，只考虑平面应力状态，不考虑各单层之间的层间应力。由于层合板各个单层的偏轴模量由于层合板各个单层的偏轴模量 是不是不同的，层合板的应力是不连续分布的，只能分层积分。同的，层合板的应力是不连续分布的，只能分层积分。ijQ dzNnkZZkkk1)(1 dzzMnkZZkkk1)(13.层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式 当层合板在载荷作用下变形，各个单层的应力应变关系仍然满足式（2.2.12），对于层合板的第k
5、层，在x-y坐标系中可写为kxyyxkkxyyxQQQQQQQQQ662616262212161211将其代入层合板内力表达式dzdzNNNnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(221zdzzdzMMMnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(2213.层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式dzdzNNNnkZZkxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1662616262212161211221zdzzdzMMMknkZZkxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1662616262212161211221xyyxxyy
6、xxyyxkkkz000层合板层合板应变表达式应变表达式dzkkkzdzNNNnkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(zdzkkkzzdzMMMknkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(层合板内力表达式课本中式3.3.10的变形3.层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式dzkkkzdzNNNnkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(zdzkkkz
7、zdzMMMknkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(在确定的载荷条件下，面移到积分与求和记号外值变化的，可以是不随和zk0 kkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkkdzzQkzdzQMzdzQkdzQN121)(11)(011)(11)(0）（）（模量矩阵在单层内是不模量矩阵在单层内是不变的变的，可以从每一层的积分号中提出来，但必但必须在各层的求和号之内须在各层的求和号之内3.层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式 kkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkkdzzQkzdz
8、QMzdzQkdzQN121)(11)(011)(11)(0）（）（将合并为矩阵形式kdzzQzdzQzdzQdzQMNkkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkk）（0121)(11)(11)(11)(3.层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式kdzzQzdzQzdzQdzQMNkkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkk）（0121)(11)(11)(11)(写成全矩阵形式xyyxxyyxzznkkijzznkkijzznkkijzznkkijxyyxxyyxkkkdzzQzdzQzdzQdzQMMMNNNkkkkkkkk000121)(11)(11)(11
9、)(应变表示内力的应变表示内力的一般层合板的物理方程一般层合板的物理方程层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式3.层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式kDBBAMN0简化形式xyyxxyyxxyyxxyyxMMMMNNNNkkkk,0000kkzznkkijijdzQA11)(kkzznkkijijzdzQB11)(kkzznkkijijdzzQD121)(000666261666261262221262221161211161211666261666261262221262221161211161211xyyxxyyxxyYXxyyxkkkDDDBBBDDDBBBDDDBB
10、BBBBAAABBBAAABBBAAAMMMNNN层合板的内力层合板的内力-应变关系式（矩阵全式）应变关系式（矩阵全式）子矩阵的数学计算公式xyyxxyyxzznkkijzznkkijzznkkijzznkkijxyyxxyyxkkkdzzQzdzQzdzQdzQMMMNNNkkkkkkkk000121)(11)(11)(11)(3.4 层合板的强度3.4.1 层合板各个单层的应力计算和强度校核尽管层合板在载荷作用下，应变沿着厚度方向的分布形式较为简单但是层合板各个单层中纤维的方向不一定相同纤维与基体材料也不一定相同也就是说层合板各个单层的偏轴模量 可以不同，所以应力沿着厚度的分布要复杂的多。
11、ijQ层合板层合板单层板单层板3.4 层合板的强度3.4.1 层合板各个单层的应力计算和强度校核从图中的例子可以看出，对于层合板来讲，应变是由中面应变和弯曲应变两部分组成，沿着厚度方向线性分布；而层合板各个单层的偏轴模量 可以是不同的，因为层合板各个单层的纤维方向不一定相同，纤维与基体也不一定相同。应变分布单层刚度分布层合板应力分布层合板的应力除了与应变有关之外，还与各个单层刚度特性有关，若各层的刚度不相同，则各层应力不连续分布，应力会在层间处发生突变，但在每一个单层内是线性分布的。左图表示一块由4层单层板组成的层合板ijQxyyxxyyxxyyxkkkz0003.4.1 层合板各个单层的应力
12、计算和强度校核3.4 层合板的强度由于方向角不同的单层叠合而成的多向层合板，强度校核时必须分析各个单层的应力，然后按照选定的强度准则对各个单层的强度做出判断。由于层合板具有层合的结构形式，在外载荷作用下，一般是逐层失效的，因此必须做出单层应力分析，可近似通过单层的强度来预测层合板强度。已知层合板正则化面内力和弯曲力矩，求出面内刚度系数由面内刚度系数求出柔度系数求出中面应变和弯扭曲率求出参考轴方向各个单层的应变按照应变转换公式得到各个单层正轴方向的应变值最后利用正轴应力-应变关系得到各单层正轴应力分量*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16
13、*12*11*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11*000313131313131313131xyyxxyyxxyyxxyyxMMMNNNkkk*000 xykkkzyxxyyxxyyx分析例题3.4.1算出各单层应力后，按选定强度准则对单层强度校核aij*=Aij*-1,本次课内容单层板的细观力学分析单层板的细观力学分析4.1 引言引言4.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数预测单向连续纤维复合材料弹性常数预测4.1 引言引言复合材料基本力学性能是指弹性常数基
14、本强度 由第二章可知，在平面应力状态下复合材料单层有四个独立的(正轴)工程弹性常数和五个基本强度：E1E2G12v1XtXcYtYcS 这些性能称之为复合材料单层表观性能，将复合材料单层看作均质材料时的等效性能，没有考虑两种或多种组分材料构成的事实。4.1 引言引言 要设计层合板或复合材料结构设计的需要，必须要得到单层复合材料的力学性能参数，虽然通过实验可以测定力学参数各组分材料的组合性能却不容易测试研究三者之间的定量关系研究三者之间的定量关系4.1 引言引言 除此之外，为了设计特定用途的最佳性能的复合材料结构，需要考虑如下问题：组分材料性能对复合材料单层性能的影响适宜组分材料的选取以满足工程
15、需要改变组分材料比例获得最佳力学性能细观力学研究范畴复合材料细观力学研究的内容？复合材料细观力学研究的内容？揭示揭示不同的材料组合不同的材料组合具有具有不同宏观性能不同宏观性能的内在机制的内在机制复合材料单层复合材料单层宏观性能宏观性能组分材料性能组分材料性能细观结构细观结构4.1 引言引言 当细观力学预测的单层复合材料的性能与实验测量结果一致当细观力学预测的单层复合材料的性能与实验测量结果一致时，就可以对材料的性能进行设计和改进时，就可以对材料的性能进行设计和改进细观力学是宏观力学分析的助手细观力学是宏观力学分析的助手复合材料细观力学的核心任务？复合材料细观力学的核心任务？建立复合材料结构在
16、一定工况下的响应规律，为复合材料建立复合材料结构在一定工况下的响应规律，为复合材料的优化设计、性能评价提供理论依据与手段的优化设计、性能评价提供理论依据与手段4.1 引言引言具体来讲，细观力学就是寻找两种函数关系具体来讲，细观力学就是寻找两种函数关系),(mmmfffjiVEVEfC),(mimffijiVXVXfX单层工程弹性常数单层强度4.1 引言引言 细观力学研究的对象是复合材料的多相结构，但又不可能包含各相材料细观力学研究的对象是复合材料的多相结构，但又不可能包含各相材料的所有因素，因此需要做如下假设：的所有因素，因此需要做如下假设：复合材料单层是宏观非均匀的、线弹性的、无初应力纤维是
17、均质的、线弹性的、各向同性（如玻璃纤维）的或横观各向同性（如石墨纤维、硼纤维）的，形状和分布是规则的基体是均质的、线弹性的、各向同性的各相间粘结完好，界面无孔隙4.1 引言引言 细观力学的分析模式及模型细观力学的分析模式及模型细观力学将复合材料作为结构来分析，必须建立相应分析模型从理想化复合材料中取出代表性体积单元代表性体积单元包含复合材料中的各个组分具有与复合材料相同特征的最小体积 细观力学的分析方法细观力学的分析方法材料力学法弹性力学法半经验法4.1 引言引言材料力学法材料力学法取出代表性体积单元，在简化假设基础上得到较为简单实用的结果弹性力学法弹性力学法运用弹性理论，导出冗长的理论公式，
18、实用较为困难半经验法半经验法通过宏观实验确定的经验系数对理论公式修正，使计算结果与实验值接近不同的分析模型、不同的分析方法，会导致不同分析结果，因不同的分析模型、不同的分析方法，会导致不同分析结果，因此必须通过试验验证来对预测结果进行判断此必须通过试验验证来对预测结果进行判断 通过实验之前的细观力学分析，可以减少实验数量和时间通过实验之前的细观力学分析，可以减少实验数量和时间 实际上，在目前复合材料的结构设计中，设计者几乎实际上，在目前复合材料的结构设计中，设计者几乎全部借助实验测定全部借助实验测定来获得复合材料的性能数据来获得复合材料的性能数据，而不贸然使用把握不大的细观力学进行估算。，而不
19、贸然使用把握不大的细观力学进行估算。细观力学的意义在于阐明复合材料性能的机理，并作为复合材料设计的细观力学的意义在于阐明复合材料性能的机理，并作为复合材料设计的理论基础。理论基础。),(mmmfffjiVEVEfC),(mimffijiVXVXfX4.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量 密度定义为单位体积的质量。复合材料的密度是一个平均性能，它取决于：复合材料中各相的密度各相之间的相对比例相对比例可用质量含量或体积含量来表示在复合材料的制备过程中或制成后均容易得到不容易直接测量，在细观力学中很重要需要建立必要的转换关系质量含量体积含量4.2 复合材料的密度和组分材
20、料的含量复合材料的密度和组分材料的含量 取一体积为Vc、质量为Mc的复合材料单元体，而Mc为纤维质量Mf与基体质量Mm之和。mfcMMM 体积Vc包括：纤维、基体和空隙（复合材料中夹杂空气、气体或空腔所占体积的总和）三部分所占的体积。vmfcVVVV 用Mc和Vc分别除以上面两式：mfmm 1vmfvvv14.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量按照密度的定义，可用Vc去除书中4.2.1式：mmffcmmffcmfcccvvVVVVMMVM 上式为复合材料密度的混合定律，表示复合材料的密度为组分材料密度与其体积含量的乘积之和。如用质量含量来表示，则有：cvmmffv
21、mmffcvmfccccvmmVMMMVVVMVM1cvmmffvmmffcvmfccccvmmVMMMVVVMVM14.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量)(1mmffcvmmv上式中复合材料密度可通过实验测定，因此上式可以改写为复合材料空隙体积含量计算公式复合材料空隙体积含量计算公式ccmmffcmmffvMMMmmv)(11)(14.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量)(1mmffcvmmv复合材料空隙体积含量计算公式复合材料空隙体积含量计算公式 复合材料的空隙含量是复合材料质量控制参数之一，对疲劳强度等力学性能和耐腐蚀性能有较
22、大影响。复合材料的孔隙率应小于2%，一般为1%左右。4.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量假设有近似关系vv=0，由以下四式联立：mfmm 1vmfvvv1mmffcvvcvmmffcvmm1可得mi和vi的关系：fmmfmmfffmmffmmffvmmvvvmm)(114.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量fmmfmmfffvmmv)(1fmmfvvvv11mfmmfmfmfmfmmmmv111fmffmfmfmfmmmmmv111质量分数表示体积含量质量分数表示体积含量4.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料
23、的含量fmmfmffvvm也可以表示为mffmfmmvvm体积含量表示质量分数体积含量表示质量分数 玻璃纤维的密度一般为2.54g/cm3,热固性树脂浇注体的密度近似为1.27g/cm3，因此mmfmfmmfmfmfmfmmvmmmmv111114.2 复合材料的密度和组分材料的含量复合材料的密度和组分材料的含量 假设空隙含量为0.5%的几种复合材料的体积含量和质量含量列于表4.2.1中。复合材料类型复合材料类型CFRPBFRPCFRPGFRPKFRPBFRA纤维T300B(4)ASE-玻璃Kevlar49硼基体N520855053501环氧环氧铝纤维密度f1.752.61.752.61.44
24、2.6基体密度m1.21.21.21.21.23.5空隙含量vv0.0050.0050.0050.0050.0050.000纤维体积含量vf0.70.50.6660.4500.70.45基体基体含量vm0.2950.4950.3290.5450.2950.55复合材料密度c1.5791.8941.561.8241.3623.095纤维质量含量mf0.7760.6860.7470.6410.740.378基体质量含量mm0.2240.3140.2530.3590.260.6624.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测如图为复合材料单向板的薄片模型I和薄片模型I
25、I图为复合材料单向板的模型示意图采用薄片模型进行简化4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测复合材料单向板的薄片模型复合材料单向板的薄片模型I 模型模型I的纤维薄片和基体薄片在横向呈串联形式，称为串联的纤维薄片和基体薄片在横向呈串联形式，称为串联模型。该模型中纤维在横向完全被基体隔开，模型。该模型中纤维在横向完全被基体隔开，该模型适用于纤维该模型适用于纤维所占百分数较少的情况所占百分数较少的情况。4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测复合材料单向板的薄片模型复合材料单向板的薄片模型II 模型模型II的纤维薄片与基体薄片在
26、横向呈并联形式，故称为并的纤维薄片与基体薄片在横向呈并联形式，故称为并联模型。该模型中纤维在横向完全连通，联模型。该模型中纤维在横向完全连通，适用于纤维所占百分数适用于纤维所占百分数较高的情况较高的情况。实际情况介于二者之间（模型I和模型II）的状态。4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测4.3.1 串联模型的弹性常数串联模型的弹性常数 如图所示，从模型I上取出代表性体积单元，作用平均应力1，在平面应力状态下，纤维与基体构成并联模型。已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，推导其纵向弹性模量E1I。1 纵向弹性模量纵向弹性模量 E1I(1)静力
27、关系静力关系 假设单元体整个横截面为A，纤维应力f作用在纤维横截面Af上，基体应力m作用在基体横截面Am上，根据静力平衡关系：mmffAAA111mmffmmffvvAAAA111114.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测 已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，推导其纵向弹性模量E1I。1 纵向弹性模量纵向弹性模量 E1I(2)几何关系 按照材料力学平面假设（垂直于正轴1的平面，变形后仍为平面），纤维和基体具有相同的线应变，等于单元的纵向线应变。111mf4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测 已知纤维材
28、料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，推导其纵向弹性模量E1I。1 纵向弹性模量纵向弹性模量 E1I(3)物理关系 根据基本假设，单层板、纤维和基体都是线弹性的，因而都服从虎克定律，即11111111,mmmfffIEEE4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测(3)物理关系 综合以下三式可得：11111111,mmmfffIEEE111mfmmffmmffvvAAAA11111mmffIvEvEE11纵向弹性模量的混合法则公式 忽略空隙含量的影响，可得：1mfvv)1(1111fmffImmffIvEvEEvEvEE其中，E1I为单层板的纵向弹性模量，
29、角标I表示由模型I所得到。4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测2 横向弹性模量横向弹性模量 E2I 由模型I取出代表性体积单元，在正轴2方向作用平均应力2，如下图。如同材料力学中两种不同材料串联组成的杆受拉时的分析。已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，求横向弹性模量E2I。从单层板来看，单元的形变量b为bb24.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测2 横向弹性模量横向弹性模量 E2I 从细观力学来看，mmffmmffvvbbbb222222 对于串联模型，各部分应力相同。因此，单元体、纤维和基体的应变分
30、别为：mmffIEEE22222222,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测2 横向弹性模量横向弹性模量 E2ImmffIEEE22222222,mmffvv222mmffIvEvEE11122横向弹性模量的预测式横向弹性模量的预测式)1(11122222fffmmfImmffIvEvEEEEvEvEE横向弹性模量的预测式（改写形式）横向弹性模量的预测式（改写形式）4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测3 泊松比泊松比1I和和2I 确定纵向泊松比v1的方法与E1的确定方法类似，当正轴1方向受1作用时，纵向泊松比的定义
31、为121I 如右图所示，从单层板来看，单元体的横向变形量b为112Ibbb)()()()(1122222mmmfffmmffmfbvbvbbbbbb 从细观力学来看，单元体的横向变形量等于纤维与基体的横向变形量之和：4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测1122222mmmfffmmffmfbvbvbbbbbb3 泊松比泊松比1I和和2I因为单元体的应变与基体、纤维的应变相等111mf所以mmffImmffmmmfffmmmfffvvvvvvbbbvbvb11221111纵向泊松比也服从混合定律IIIIEE1122横向泊松比可由该式得到：4.3 单向连续纤
32、维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测4 面内剪切模量面内剪切模量G12I由模型I取出代表性体积单元，作用应力12如下图所示。从单层板来看，单元体的剪切变形为bGbI1212124.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测4 面内剪切模量面内剪切模量G12I由模型I取出代表性体积单元，作用应力12如下图所示。从细观力学来看，单元体的剪切变形等于纤维剪切变形与基体剪切变形之和mmmfffmmffmfbGbGbb121212124.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测假设基体和纤维中剪应力相等，即121212m
33、f于是有如下变形bGbI121212121212mfmmmfffbGbG1212）（或fffmmfImmffImmffImmmfffIvGvGGGGvGvGGbGbGbGbGbGbG-1111111121212121212124 面内剪切模量面内剪切模量G12I4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测4.3.2 并联模型的弹性常数并联模型的弹性常数 从上图中可以看出，模型II中的代表性体积单元，在正轴1方向作用平均应力1与模型I的正轴1方向相同也为并联结构，因此纵向弹性模量E1II与E1I相同：mmffIIIvEvEEE11（1）纵向弹性模量纵向弹性模量 E
34、1II4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测（2）横向弹性模量）横向弹性模量 E2II 并联模型的横向弹性模量与纵向弹性模量相同，因此有：mmffIIIIvEvEEE124.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测（3）泊松比）泊松比v1II和和v2IImmffmmmfffIIvEvEvEvE1 从模型II取出代表性体积单元，利用静力、几何和物理三方面关系，可推出纵向泊松比 同时也可以推导出IIII21mmffmmmfffIIvEvEvEvE1推出纵向泊松比mmffmmmfffmmffmmmfffmmffmmmfffmmmf
35、ffmmmmffffmmmfffmmmfffmmffmmffIIIIIIvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvEvvvvEE111111111111221122121122121)()(/4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测（4）面内剪切模量）面内剪切模量G12II 从模型II取出代表性体积单元，作用剪应力12，如下图(a)，纤维薄片和基体薄片的变形如图(b)。静力关系为mmffvv1212124.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测单向连续纤维复合材料弹性常数的预测静力关系为mmffvv121212几何关系为121212mf物理关系为mmmfffIIGGG12121212121212,121212mfmmmfffIIGGG12121212121212,mmffvv121212mmffIIvGvGG12（4）面内剪切模量）面内剪切模量G12II
